善析條件結論，實現一題多解

胡澳麗

摘要：幾何證明在中學數學教學中有著重要的作用，同時也是考卷中的重點考查部分.學生面對幾何證明題一籌莫展的重要原因之一是缺乏分析能力，不善于運用數學思維分析題目條件和結論，從而失去提升數學解題能力的機會.在教學中，教師應引導學生用所學知識分析思考，實現知識間的融會貫通，同時引導學生在不同視角下對題目進行多角度分析思考，實現一題多解.

關鍵詞：初中幾何；解題技巧；一題多解

1 問題呈現

如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD為對角線，AC=2AB.

求證：BC2+CD2=2BD2.

2 試題分析

該題是初中的一道綜合性幾何證明題，考查的知識點較多，重在培養學生對知識的掌握以及運用能力，實現對知識的巧妙運用，達到舉一反三的效果.從題目所給條件及結論入手，可從四個不同的角度對題目進行分析證明.

3 特色解法

視角一：根據條件AB=AD，利用等腰三角形構造旋轉，形成“手拉手”模型.

證法1：如圖2，將△ADC繞點A按順時針方向旋轉到△ABE，連接CE.

∴△ADC≌△ABE.

∵∠DAB=∠CAE，

ADAC=ABAE=12，

∴△ADB∽△ACE.

∴BDEC=ADAC=12.

∴EC=2BD.

又∠ABE=∠ADC，∠BAD+∠BCD=90°，

∴∠EBC=90°.

在Rt△EBC中，由勾股定理，得

BC2+BE2=EC2.

∵BE=CD，EC=2BD，

∴BC2+CD2=2BD2.

證法2：如圖3所示，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉到△ADE，連接CE（按證法1步驟同理可得結論，解答過程略）.

視角二：根據條件∠BAD+∠BCD=90°，利用互余條件巧構直角，尋找特征線段間的數量關系.

證法3：如圖4，過點C作線段BC的垂線，截取CE=CD，連接BE，DE.

∵BC⊥EC，

∠BAD+∠BCD=90°，

AD=AB，DC=EC，

∴∠BAD=∠DCE，ADCD=ABCE.

∴△DAB∽△DCE.

∴DEDB=CDAD=CEAB，∠ADB=∠CDE.

又∠ADC=∠BDE，DEBD=CDAD，

∴△ADC∽△BDE.

∴BE=BD·ACAD=2BD.

在Rt△BCE中，由勾股定理，得BC2+EC2=BE2.

∴BC2+CD2=2BD2.

證法4：如圖5，過點A作線段AB的垂線，取點E，使得

∠EDA=∠BDC.

∵EA⊥AB，

∠BAD+∠BCD=90°，

∴∠DAE=∠DCB.

又∠EDA=∠BDC，

∴∠AED=∠CBD.

∴△BCD∽△EAD.

∴ADCD=DEDB=AECB，

∠BDE=∠CDA.

∴△EDB∽△ADC.

∴ACAD=EBED=2.

∴EB=2ED.

設ADCD=DEDB=AECB=k.

∵AD=AB，

∴AE=kBC，AB=kCD，DE=kBD.

在Rt△AEB中，有AE2+AB2=BE2.

代入化簡，得BC2+CD2=2BD2.

視角三：根據條件AC=2AB，利用比例線段構造相似三角形進行證明.

證法5：如圖6，分別延長AB，AD至點E和點F，使DF=AD，BE=AB，連接CF，CE，EF，則BD是△AEF的中位線，EF=2BD.

∵AB=AD，

AC=2AB，

∴AEAC=2ABAC=2=ACAB.

∴△ABC∽△ACE.

∴∠4=∠5，CECB=ACAB=2.

同理，∠3=∠6，CFCD=ACAB=2.

∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°，

∴∠1+∠2+∠5+∠6=90°.

∴∠FCE=90°.

由勾股定理，得CE2+CF2=EF2.

∴（2BC）2+（2CD）2=（2BD）2.

∴BC2+CD2=2BD2.

證法6：如圖7，取AC的中點E，連接ED，EB.

∵AC=2AB，AC=2AE，

∴ACAB=ABAE=2.

又∠BAC=∠EAB，

∴△BAC∽△EAB.

∴CB=2BE，∠EBA=∠ACB.

同理，可得CD=2DE，∠EDA=∠DCA.

∵∠BAD+∠DCB=90°，

∴∠EBA+∠EDA+∠BAD=90°.

由三角形內角和為180°，得∠BED=90°.

由勾股定理，可得BE2+ED2=BD2.

∴（2BE）2+（2ED）2=2BD2.

∴BC2+CD2=2BD2.

視角四：根據AC=2AB，利用特征結論構造直角三角形進行證明.

證法7：如圖8，過點B作BE⊥BC，使得BE=CD，連接AE，CE.

在四邊形ABCD中，

∠ADC=270°－∠ABC.

∵∠ABE=270°－∠ABC，

∴∠ADC=∠ABE.

∴△ADC≌△ABE（SAS）.

∴∠DAC=∠BAE.

∴∠DAB=∠CAE.

又AD=AB，AC=AE，

∴△ABD∽△AEC.

∴ACAB=ECBD=2.

∴EC=2BD.

在Rt△CBE中，由勾股定理，可得

BC2+BE2=CE2.

又BE=CD，EC=2BD，

∴BC2+CD2=2BD2.

4 結語

對于證明題的作答，學生首先要認真審題，挖掘題目所涉及的知識點以及它們之間的內在聯系，體會其中的數學思想，把握命題者的出題意圖，從而高效解題.

善于分析題目，巧挖掘條件，從題目中抓重點，嘗試從不同角度解題，實現一題多解.一題多解不僅能擴寬學生解題思路、提高學生解決問題的能力，而且能讓學生體會其中的數學思想，發展數學學科的核心素養.