GeoGebra輔助下螺旋運動模型可視化分析

溫文玉?宋善炎

以螺旋運動為背景的問題在高中物理中較為典型，在習題中尤為常見。這類問題常以不等距螺旋線運動和等距螺旋線運動兩種類型出現。帶電粒子在磁場中的運動是高中物理磁場教學的重點與難點之一。對帶電粒子在有界磁場中運動問題的探析可細分為探討動態問題、分析臨界問題和求解多解問題。在磁場中，若帶電粒子射入勻強磁場內的速度方向與磁場方向平行，則帶電粒子不受洛倫茲力；帶電粒子射入勻強磁場內的速度方向與磁場方向垂直，帶電粒子受洛倫茲力，若帶電粒子僅受洛倫茲力，則做勻速圓周運動；當帶電粒子射入勻強磁場內的速度方向與磁場方向存在一定夾角，若僅受洛倫茲力，帶電粒子做等距螺旋運動，當處于電場與磁場的疊加場中，帶電粒子可做不等距螺旋運動。帶電粒子在磁場中的運動軌跡復雜多變，學生難以理解和掌握，構建不同類型的復雜運動也存在困難。教師運用GeoGebra軟件，能夠直觀形象地演示帶電粒子的運動情況，清晰呈現動態化的運動過程，化抽象為形象，幫助學生構建物理模型，提高想象和思維能力。

一、GeoGebra軟件在物理教學中的應用

目前，在物理教學中，GeoGebra軟件主要應用于物理概念教學、習題教學、實驗教學和輔助教學探究等方面^[1]。在物理教學中會遇到許多抽象的物理模型，如果僅靠教師依據教材或題目等靜態資料進行講解，學生難以理解，應用GeoGebra等交互軟件能夠對物理過程進行有效動態模擬^[2]。教師借助GeoGebra將數字符號轉化為圖像表征，有利于學生構建知識體系，提高思維能力^[3]。GeoGebra在物理教學中的深度融合涉及很多物理知識的教學與研究，包含動態平衡、磁場、電場、光的干涉、勻速圓周運動、波函數疊加與簡諧振動、追及與相遇等。

二、問題情境

如圖1所示，真空中的立方體邊長為0.4 m，底面中心有一能向水平各個方向均勻發射α粒子的點狀放射源（不考慮其他方向產生的α粒子），所有α粒子的速度都是v=3.0×10⁶m/s，已知α粒子電荷量與質量之比????=5.0×10⁷C/kg，立方體內有豎直向上的勻強電場和勻強磁場。abfe面放有一個屏，該屏可以沿z軸左右平移。

（1）要使所有粒子均能從上表面離開，勻強磁場最小值B₁為多少？

（2）調整勻強磁場的大小，當勻強磁場B₂=1 T時，要使所有粒子剛好都能從上表面中心P離開，所加勻強電場的最大值和離開P點時速度方向與defg水平面的夾角分別是多少？

（3）保持勻強磁場B₂=1 T，勻強電場為第（2）問中的最大值，現讓abfe屏沿z軸負方向移動0.11 m，求abfe屏上射出粒子x坐標取得最大值和最小值時對應點的y軸坐標。

三、GeoGebra建模助力學生想象與思考

此題考查的知識點是帶電粒子在磁場中做不等距螺旋運動。帶電粒子在磁場中做不等距螺旋運動，一般可分解為垂直于磁場方向平面內的勻速圓周運動和沿磁場方向的勻加速直線運動^[4]。

（一）借助軟件求解磁場臨界問題

要使所有粒子均從上表面離開是一個研究磁感應強度取值的問題。由于帶電粒子速度不同，磁感應強度不定，帶電粒子在有界磁場中的運動軌跡發生變化。這類問題的特點在于，帶電粒子受磁場邊界的約束會出現“恰好”不穿出磁場區域的臨界情形。學生解答這類問題，需要探究帶電粒子恰好不穿出磁場區域的臨界條件，畫出帶電粒子軌跡圖。為了了解條件改變對粒子軌跡的影響，教師應用GeoGebra軟件進行直觀演示，讓學生學習基本操作。軟件作圖標準且美觀，更利于學生展開探究活動。

粒子在電磁場中的運動是水平面的勻速圓周運動與豎直方向（y方向）的勻加速直線運動的合成。學生經過問題（1）“要使所有粒子均從上表面離開”的分析可知，粒子在磁場力作用下圓周運動半徑最大值為R_m=????。qvB₁=m，代入數據可得B₁=0.6 T，即要使所有粒子均從上表面離開，勻強磁場最小值為0.6 T。

下面，借助GeoGebra軟件精確繪制帶電粒子的運動軌跡。

第一步：構建題干情境。

設置m、q、B滑動條，在3D視圖工具欄中選擇正六面體工具繪制磁場所在區域：邊長0.4 m的正六面體a₁，在工具欄中選用平面工具繪制與abfe面相交的屏。分別作出Oabc、defg兩個平面的對角線，將Oabc、defg平面對角線的交點分別設置為S、P。設置磁場空間序列B=序列（序列（向量（（i，0，z），（i，0.4，z）），i，0，0.4，（（ 0.2 ）/（B））），z，0，0.4，（（ 0.2 ）/（B））），如圖2所示。

第二步：繪制帶電粒子在磁場中的運動軌跡。

設置t、v_ox滑動條，v_oz=?? （9-v_ox²），帶電粒

子入射磁場的初速度v₀=向量（S， （x（S）+v_ox，y（S），z（S）+v_oz））。設置α=angle （v₀）為初速度v₀與x軸夾角，半徑r=??????????。描點C（{x（S）-rsin （α+90°），y（S），z（S）-rcos （α+90°）}）。作出帶電粒子在磁場Oabc平面以C為圓心，r為半徑的軌跡 （如圖3）。

如何利用繪制的粒子軌跡尋找所有粒子均能從上表面離開時磁感應強度的最小值？學生拖動滑動條B改變磁感應強度，觀察可知，當勻強磁場小于0.6 T時，部分粒子未到達上表面已射出磁場；當勻強磁場大于0.6 T時，粒子均從上表面離開。對于帶電粒子均能從上表面離開的運動分析，涉及的知識包含洛倫茲力、勻速圓周運動。學生抓住臨界條件并尋找幾何關系，進行定性分析與定量計算可求出勻強磁場最小值。該問題難度不大，用于測評學生獲取信息能力、推理能力和運算能力。為有效探究磁感應強度對粒子運動軌跡的影響，并可視化分析其他因素對粒子運動軌跡的影響，教師讓學生對影響粒子運動軌跡的條件進行理論推導后再應用軟件操作，使其感受動態軟件模擬的直觀便捷，體會條件改變對帶電粒子運動軌跡的影響。

（二）?求解勻強電場最大值和有關夾角

當帶電粒子在磁場條件的限制下均能從立方體上表面離開，又如何利用電場限制帶電粒子從立方體上表面的中心離開磁場？這是一個復合場的問題。學生面對帶電粒子在復合場中的運動問題，往往有畏難情緒。對于帶電粒子在復合場中的運動，學生需要作圖輔助探究，其中對作圖要求較高。在例題中，由前述可知，所有粒子均能從上表面離開，若粒子需從P點離開，則粒子的運動時間恰好為運動周期T的整數倍。此時，勻強電場的取值并不唯一，如何讓所加勻強電場為最大值？結合牛頓運動定律作受力分析是常用的分析方法。分析可知，當粒子只運動一個周期離開P點時，所加勻強電場為最大。由題（1）可知，當勻強磁場B₂=1 T時，所有粒子均只能從上表面離開，運動周期為T=???????。當粒子只運動一個周期離開P點時，所加勻強電場為最大，即L=T²，代入數據得E=??????????????????????×10^{7 ?}N/C。離開P點時y方向速度大小為v_y=???????T，設離開P點時方向與defg水平面的夾角為θ，則有tanθ=???????，代入數據得tanθ=???????。

在第一問的基礎上，繼續繪制帶電粒子在磁場中的運動軌跡。

第一步：繪制帶電粒子在三維空間的運動軌跡。

設置E滑動條，a_y=為帶電粒子在y方向上的加速度。帶電粒子在三維空間的軌跡S₁為（x（C）+rcos （ωt+α），y（C）+1/2a_yt²，z（C）-rsin（ωt+α）），如圖4所示。

第二步：模擬帶電粒子從上表面P點離開。

學生改變E滑動條，可以清楚地觀察帶電粒子從上表面離開的位置變化。學生發現要使粒子剛好都從上表面中心P離開，則帶電粒子的軌跡恰好為運動一周期的整數倍。

第三步：繪制任意位置速度與xOz平面夾角。

設置任意位置速度v、沿xOz平面速度及沿y方向速度v_y。任意位置速度與xOz平面夾角θ=angle （v，v_x）。

觀察θ變化則能夠直觀地感受帶電粒子任意位置的速度與xOz平面夾角的變化。

由題意可知，當調整勻強磁場至B₂=1 T，帶電粒子運動軌跡的半徑和周期不變。學生借助GeoGebra軟件建模發現，當電場強度E逐漸增大時，到達defg表面所需時間逐漸變短，即粒子從defg表面離開所需的時間變短。問題（2）中任務的要求不僅要使粒子從defg表面離開，而且是從P點離開。學生借助GeoGebra軟件建模發現，只有當帶電粒子的運動時間恰好為帶電粒子做圓周運動周期的整數倍時才能滿足從P點離開的條件。對比發現，理論推理過程較為復雜，如參數變化，學生用作圖的方式探究更為復雜的粒子運動，難度很大。學生應用GeoGebra軟件，拖動滑動條即可進行探究，不僅作圖效率高，而且更加精確。教師引導學生改變勻強電場進而改變粒子運動軌跡，直觀展示螺旋運動模型。學生很快掌握螺旋運動特征，深入思考螺旋運動模型的應用，有利于提高發散性思維能力。

探討帶電粒子如何從defg表面P點離開，意在測評學生對與帶電粒子在磁場與電場復合場中運動情況的分析，以及涉及帶電粒子在三維空間的曲線運動。學生需要具備較強的空間想象能力。在解決該問題的過程中，學生需要運用電場力、洛倫茲力、勻速圓周運動、運動的合成與分解等物理概念和物理規律進行思考，建立與發展物理觀念。教師引導學生控制變量及根據題干信息推理求解勻強電場的電場強度的最大值，旨在培養學生獲取信息能力、推理能力、模型構建能力、證據意識，在解決問題的過程中提升學生的科學思維能力，提高學生物理學科核心素養。

（三）求解極值對應坐標

在勻強磁場與勻強電場取值均已確定，帶電粒子在復合場中的運動軌跡的半徑及周期不變的情況下，帶電粒子可從不同角度入射至復合場，當abfe屏左移0.11 m后，是否所有粒子依然能從上表面離開？由于磁場邊界發生變化，學生需要結合幾何關系對從abfe屏上射出粒子x坐標的最大值和最小值求解。相關計算和繪圖可借助GeoGebra軟件完成。

由qvB₂=m，R=0.06 m。P₁為abfe屏上射出粒子x坐標最大值位置，M為過S點垂直于abfe屏的垂線與abfe屏的交點，由幾何關系可得x_max=???? +P₁M，由于SM=0.9 m，可得x_max= （ 20+

）×10^-2m，對應的y方向坐標值為y₁=

=0.1 m。abfe屏上射出粒子x坐標最小值位置，由幾何關系可得x_min=????-R= （0.2-0.03????） m，對應的y方向坐標值為y₂=

=??????m。

在問題（2）的基礎上，教師借助軟件模擬當abfe屏左移0.11 m后，在abfe屏射出粒子x坐標取得最大值和最小值時對應點的y軸坐標。學生在工具欄中選用平面工具，繪制左移0.11 m后的abfe屏，查看俯視圖，找到帶電粒子的運動軌跡與abfe屏的交點位置。改變v_ox滑動條可改變帶電粒子的運動軌跡，觀察找到在abfe屏上射出粒子x坐標取得最大值和最小值所在位置。

勻強磁場、勻強電場均保持不變，教師將abfe屏左移0.11 m，讓學生分析x值最大和最小時的情況。學生要完成這一任務需要具備較強的想象能力，能夠建立物理模型與幾何圖形的聯系，數形結合解決物理問題。借助數形結合分析解決物理問題，有利于培養學生的模型建構能力并增強空間想象能力。

教師借助GeoGebra 軟件繪制帶電粒子在磁場中做螺旋運動的軌跡，將抽象問題形象化，增強了學生利用信息技術分析物理問題的主動性，激發學生以多種形式探索物理的勇氣，拓展物理學習的寬度。教師利用可視化動態圖引導學生動眼觀察、動手體驗、動腦猜想，讓學生經歷嚴謹的探究過程，使其養成了科學嚴謹的態度，學會深度思考。高中物理教師在教學過程中需要講解許多抽象但又重要的知識。教師用GeoGebra等軟件對相應模型進行直觀動態的可視化展示，有利于培養學生應用科學技術解決實際問題的自主學習能力，讓他們在構建物理模型和深入探究物理規律的過程中提升物理核心素養。

為豐富學生求解物理問題的手段和方式，教師可以將信息技術與課堂教學深度融合。教師常態化地借助信息技術輔助講解教學重難點和關鍵點，為學生賦能，有利于培養學生的科學精神與創新能力。

參考文獻

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[2] 劉健智，程婷.GeoGebra軟件在物理可視化教學中的應用[J].物理教師，2021（6）：70-73.

[3] 黃北京，劉毓球.用GeoGebra輔助高中物理微元思想的教學[J].物理教師，2013（4）：58-59.

[4] 徐華兵.帶電粒子在磁場中做螺旋運動類試題分類剖析[J].物理教師，2022（11）：90-92.

（作者溫文玉系湖南師范大學研究生；宋善炎系湖南師范大學教授，博士生導師）

責任編輯：祝元志