有限域上兩類線性碼的構造

李文婷 衡子靈 李曉茹

摘? 要：利用定義集的方法構造了兩類p元線性碼，研究了它們的參數和重量分布.第一類線性碼為三重極小碼，可用于構造具有安全高效訪問結構上的密鑰共享方案.第二類線性碼為二重線性碼，且當p=3時為自正交射影碼，可用于構造量子碼和強正則圖.

關鍵詞：線性碼；自正交碼；極小碼；重量分布

中圖分類號：O236.2????? 文獻標志碼：A文章編號：1000-2367（2024）03-0098-08

令q=pm，其中p為素數，m為正整數，Fq表示有q個元素的有限域.設非空集合CFnq，若C是Fnq的線性子空間，則稱C是q元線性碼.如果線性碼C的碼長為n，維數為k，最小漢明距離為d，則記C的參數為［n，k，d］，其中k表示C的信息位數，k/n稱為C的傳輸效率，d可用于刻畫C的檢錯和糾錯能力［1］.特別地，線性碼的最小漢明距離即為其中非零碼字漢明重量的最小值.令Ai是碼長為n的線性碼C中所有漢明重量為i的碼字個數，則稱序列（1，A1，A2，…，An）為C的重量分布，稱多項式A（z）=1+A1z+A2z2+…+Anzn為C的重量計算器.線性碼的重量分布既能用來計算信息在傳輸過程中發生錯誤的概率，又能用來衡量碼的糾錯能力.

對于Fq上的［n，k］線性碼C，定義碼字c=（c1，c2，…，cn）∈C的支撐集為supp（c）=｛i∶ci≠0，1in｝.對于C中任意與c線性無關的碼字c′，如果總滿足supp（c′）supp（c），則稱c為極小碼字.所有碼字都是極小碼字的線性碼稱為極小碼.判定線性碼為極小碼的充分條件如下.

引理1［2］? 設C為有限域Fq上的線性碼，C中非零碼字的最小漢明重量和最大漢明重量分別用wmin和wmax表示.若wminwmax＞q-1q，則C為極小碼.

定義線性碼C的對偶碼為C⊥=｛c⊥∈Fnq∶〈c⊥，c〉=0，c∈C｝，其中〈c⊥，c〉表示c⊥與c的標準內積.顯然C⊥為Fq上的［n，n-k］線性碼.若d（C⊥）3，則稱C為射影碼.若CC⊥，則稱C為自正交碼.當p=3時，判定Fp上線性碼為自正交碼的充要條件如下.

引理2［3］? 設C為有限域Fp上的線性碼，p=3，則C為自正交碼當且僅當它的每個碼字的重量都能被3整除.

線性碼具有良好的代數結構以及易于描述和加解密等特性，在計算機系統、通信系統、信息安全、數字簽名、多方安全計算以及密鑰共享等領域具有廣泛的應用.極小碼可用于構造具有安全高效訪問結構的密鑰共

收稿日期：2022-10-24;修回日期：2022-11-15.

基金項目：國家自然科學基金（12271059;11901049）;陜西省高校科協青年人才托舉計劃項目（20200505）;長安大學中央高校基本科研業務費專項資金（300102122202）.

作者簡介（通信作者）：衡子靈（1990-），男，河南南陽人，長安大學教授，博士，研究方向為編碼與密碼，E-mail：zilingheng@chd.edu.cn.

引用本文：李文婷，衡子靈，李曉茹.有限域上兩類線性碼的構造［J］.河南師范大學學報（自然科學版），2024，52（3）：98-105.（Li Wenting，Heng Ziling，Li Xiaoru.Construction of two families of linear codes over finite fields［J］.Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2024，52（3）：98-105.DOI：10.16366/j.cnki.1000-2367.2022.10.24.0001.）

享方案.密鑰共享方案是一種設計秘密拆分和恢復方式的方法.2006年，YUAN等［4］提出利用極小碼構造密鑰共享方案的方法.自正交碼在量子碼的構造中有重要應用.在量子計算和量子通信中，量子碼用于檢測和糾正量子噪聲引起的錯誤.文獻［5-6］分別給出了量子碼的CSS構造和Steane構造方法.利用這兩種構造方法，滿足一定條件的自正交碼可用于構造量子碼.射影二重碼可用于構造強正則圖.文獻［7］建立了射影二重碼和特定參數強正則圖之間的關系.

近年來，大量文獻構造了線性碼并研究了它們的重量分布［8-16］.DING等［15］提出利用定義集構造線性碼的方法.令D=｛d1，d2，…，dn｝Fq，Trq/p（x）=x+xp+xp2+…+xpm-1表示從Fq到Fp的跡函數.構造p元線性碼

CD=｛（Trq/p（bd1），Trq/p（bd2），…，Trq/p（bdn））：b∈Fq｝，

其中D稱為CD的定義集.通過選取合適的定義集D，可以構造具有良好性能的線性碼.YANG等［16］構造了線性碼CD=｛（Trq/p（ax2））x∈D∶a∈Fq｝，其中D=｛x∈F*q∶Trq/p（x）∈〈α2〉｝，F*p=〈α〉.文獻［17］構造了線性碼CD=｛（Trq/p（a1x21+a2x22+…+atx2t））（x1，x2，…，xt）∈D∶（a1，a2，…，at）∈Ftq｝，其中D=｛（x1，x2，…，xt）∈Ftq＼｛（0，0，…，0）｝∶Trq/p（x1+x2+…+xt）=0｝.

本文主要構造如下兩類p元線性碼并研究它們的參數及其重量分布.

構造1? 令q=pm，S=｛（x1，x2）∈F2q：Trq/p（x1+x2）∈〈α2〉｝，其中m＞1為奇數，p為奇素數且F*p=〈α〉.構造線性碼CS=｛（Trq/p（a1x21+a2x22））（x1，x2）∈S∶（a1，a2）∈F2q｝.

構造2? 令q=pm，其中p為奇素數，t為正整數，F*p=〈α〉.取定義集

D=｛（x1，x2，…，xt）∈Ftq∶Trq/p（x1+x2+…+xt）∈〈α2〉｝.

構造p元線性碼CD=｛（Trq/p（a1x1+a2x2+…+atxt））（x1，x2，…，xt）∈D∶（a1，a2，…，at）∈Ftq｝.

結果表明，第一類線性碼為三重極小碼，可用于構造具有安全高效訪問結構上的密鑰共享方案.第二類線性碼為二重線性碼，且當p=3時為自正交射影碼，可用于構造量子碼和強正則圖.

1? 預備知識

令q=pm，其中p為素數且m為正整數，ζp表示p次本原復單位根，F*q=〈β〉.

對任意a∈Fq，定義有限域Fq的加法特征為函數φa（x）=ζTrq/p（ax）p，x∈Fq.特別地，當a=0時，稱φ0為Fq的平凡加法特征；當a=1時，稱φ1為Fq的典范加法特征.顯然，對任意a∈Fq，φa（x）=φ1（ax）.加法特征滿足如下正交關系［18］：

∑x∈Fqφ1（ax）=q，若a=0，0，若a∈F*q.

定義有限域Fq的乘法特征為函數ψj（βk）=ζjkq-1，k=0，1，…，q-2，0jq-2.特別地，ψ0和η∶＝ψ（q-1）/2分別稱為平凡乘法特征和二次乘法特征.乘法特征ψ的共軛定義為（x）=ψ（x），x∈F*q.乘法特征滿足如下的正交關系［18］：∑x∈F*qψj（x）=q-1，若j=0，0，若j≠0.

令φ為Fq的非平凡加法特征，f∈Fq［x］為正次數多項式.形如∑c∈Fqφ（f（c））的特征和稱為Weil和［18］.令φ為Fq的加法特征，ψ為Fq的乘法特征，定義有限域Fq上的高斯和為G（ψ，φ）=∑x∈F*qψ（x）φ（x）.

令η表示Fq的二次乘法特征，η′表示Fp的二次乘法特征.對于任意z∈F*p，η（z）=1，若m為偶數，η′（z），若m為奇數.

引理3［18］? 令q為奇素數p的方冪.f（x）=a2x2+a1x+a0∈Fq［x］且a2≠0，φ為Fq的非平凡加法特征，則∑c∈Fqφ（f（c））=φ（a0-a21（4a2）-1）η（a2）G（η，φ）.

引理4［18］? 令q=pm，p為奇素數且m為正整數.令η，φ1分別表示Fq的二次乘法特征與典范加法特征，則G（η，φ1）=（-1）m-1q，若p≡1（mod 4），（-1）m-1（-1）mq，若p≡3（mod 4）.

引理5［18］? 令φ是Fq的非平凡加法特征，ψ是Fq的d階乘法特征，d=gcd（n，q-1），則對于任意a，b∈Fq，a≠0，∑c∈Fqφ（acn+b）=φ（b）∑d-1j=1j（a）G（ψj，φ）.

引理6［18］? 令q為奇素數p的方冪，則-2是Fq中的平方元當且僅當q≡1（mod 8）或q≡3（mod 8）.

令q-1=sN，其中s，N為正整數，且s＞1，N＞1，α為Fq的本原元.定義Fq上N階分圓類C（N，q）i=βi〈βN〉，i=0，1，…，N-1，則|C（N，q）i|=q-1N.N階高斯周期定義為η（N，q）i=∑x∈C（N，q）iφ1（x），其中φ1表示Fq的典范加法特征.

引理7［19］ ?令q=pm，p為奇素數且m為正整數.則

η（2，q）0=-1+（-1）m-1q2，若p≡1（mod 4），-1+（-1）m-1（-1）mq2，若p≡3（mod 4）.? ?η（2，q）1=-1-η（2，q）0.

令q=pm，p為奇素數，m為正整數，令χ1，φ1分別表示有限域Fq和Fp的典范加法特征，ψ表示Fq的乘法特征，η和η′分別表示Fq和Fp的二次乘法特征.將G（η，χ1）簡記為G（η），將G（η′，φ1）簡記為G（η′），將線性碼中碼字c的漢明重量記為wt（c）.設β是Fq的本原元，則α∶＝βq-1p-1是Fp的本原元.

2? 三重極小碼的構造

令S=｛（x1，x2）∈F2q∶Trq/p（x1+x2）∈〈α2〉｝，其中m＞1為奇數，p為奇素數且F*p=〈α〉.構造p元線性碼CS=｛（Trq/p（a1x21+a2x22））（x1，x2）∈S∶（a1，a2）∈F2q｝.顯然CS的碼長為nS=p-12p2m-1.下面研究其重量分布.記N0=|｛（x1，x2）∈F2q∶Trq/p（x1+x2）=0，Trq/p（a1x21+a2x22）=0｝|，

N=|｛（x1，x2）∈F2q∶Trq/p（x1+x2）∈〈α2〉，Trq/p（a1x21+a2x22）=0｝|，

N1=|｛（x1，x2）∈F2q∶Trq/p（x1+x2）∈α〈α2〉，Trq/p（a1x21+a2x22）=0｝|，

B=|｛（x1，x2）∈F2q∶Trq/p（a1x21+a2x22）=0｝|.

引理8? 令q=pm，p為奇素數且m為正奇數，則B=p2m，若a1=a2=0，

p2m-1，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，p2m-1+p-1pG（η）2η（a1a2），若a1a2≠0.

證明? 由加法特征和乘法特征的正交關系以及引理3可得：B=∑（x1，x2）∈F2q1p∑y∈Fpφ1（yTrq/p（a1x21+a2x22））=1p∑（x1，x2）∈F2q（1+∑y∈F*pχ1（y（a1x21+a2x22）））=

p2m-1+1p∑y∈F*p∑x1∈Fqχ1（ya1x21）∑x2∈Fqχ1（ya2x22）.

若a1=a2=0，則B=p2m-1+1p（p-1）q2=p2m.若a1=0，a2≠0，則B=p2m-1+qp∑y∈F*p∑x2∈Fqχ1（ya2x22）=p2m-1+pm-1G（η）η（a2）∑y∈F*pη′（y）=p2m-1.

同理，若a1≠0，a2=0，則B=p2m-1.若a1a2≠0，則

B=p2m-1+1pG（η）2η（a1）η（a2）∑y∈F*pη（y）2=p2m-1+p-1pG（η）2η（a1a2）.

引理9? 令q=pm，p為奇素數且m為正奇數，則N0=p2m-1，若a1=a2=0，

p2m-2，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，

p2m-2+p-1pG（η）2η（a1a2），若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）=0，

p2m-2，若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）≠0.

證明? 由加法特征的正交關系以及引理3得，

N0=∑（x1，x2）∈F2q（1p∑y∈Fpφ1（yTrq/p（x1+x2）））（1p∑z∈Fpφ1（zTrq/p（a1x21+a2x22）））=

1p2∑（x1，x2）∈F2q（1+

∑y∈F*pχ1（y（x1+x2）））（1+∑z∈F*pχ1（z（a1x21+a2x22）））=p2m-2+1p2（Ω1+Ω2+Ω3），（1）

其中Ω1∶＝∑y∈F*p∑x1∈Fqχ1（yx1）∑x2∈Fqχ1（yx2）=0，（2）

Ω2∶＝∑z∈F*p∑x1∈Fqχ1（za1x21）∑x2∈Fqχ1（za2x22）=（p-1）p2m，若a1=a2=0，

0，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，

（p-1）G（η）2η（a1a2），若a1a2≠0，（3）

Ω3∶＝∑y∈F*p∑z∈F*p∑x1∈Fqχ1（za1x21+yx1）∑x2∈Fqχ1（za2x22+yx2）.

下面分情況計算Ω3.當a1a2=0時，顯然Ω3=0.當a1a2≠0時，根據引理3，

Ω3=∑y∈F*p∑z∈F*pχ1（-y24za1-y24za2）η（za1）η（za2）G（η）2=

G（η）2η（a1a2）∑z∈F*p（∑y∈Fpφ1（-y24zTrq/p（a-11+a-12））-1），

若Trq/p（a-11+a-12）=0，易知Ω3=（p-1）2G（η）2η（a1a2）.若Trq/p（a-11+a-12）≠0，根據引理3可得Ω3=G（η）2η（a1a2）（∑z∈F*pG（η′）η′（-Trq/p（a-11+a-12）4z）-（p-1））=G（η）2η（a1a2）（G（η′）η′（-Trq/p（a-11+

a-12））∑z∈F*pη′（14z）-（p-1））=（1-p）G（η）2η（a1a2），

綜上所述，Ω3∶＝（p-1）2G（η）2η（a1a2），若Trq/p（a-11+a-12）=0，（1-p）G（η）2η（a1a2），若Trq/p（a-11+a-12）≠0.（4）

由式（1）～（4）可得N0的值.

引理10? 令q=pm，p為奇素數且m為正奇數，則

N+N1=（p-1）p2m-1，若a1=a2=0，（p-1）p2m-2，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，

（p-1）p2m-2，若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）=0，（p-1）（p2m-2+1pG（η）2η（a1a2）），若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）≠0.（5）

證明? 由N0+N+N1=B以及引理8、引理9可得N+N1的值.

引理11? 令q=pm，p為奇素數且m為正奇數，

S2=∑y∈F*p∑z∈F*p∑x1∈Fqχ1（za1x21+y2x1）∑x2∈Fqχ1（za2x22+y2x2），

則S2=0，若a1a2=0，（p-1）2G（η）2η（a1a2），若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）=0，

-（p-1）G（η）2η（a1a2），若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）≠0.

證明? 若a1a2=0，顯然S2=0.若a1a2≠0，則由引理3得

S2=∑y∈F*p∑z∈F*pχ1（-y44za1-y44za2）η（za1）η（za2）G（η）2=

G（η）2η（a1a2）∑z∈F*p（∑y∈Fpφ1（-Trq/p（a-11+a-12）4zy4）-1）.

當Trq/p（a-11+a-12）=0時，S2=（p-1）2G（η）2η（a1a2）.下面設Trq/p（a-11+a-12）≠0.為了計算S2，考慮以下兩種情況.

情況1? 令p≡3（mod 4），則gcd（4，p-1）=2.由引理5得

S2=G（η）2η（a1a2）∑z∈F*pη′（-Trq/p（a-11+a-12）4z）G（η′）-（p-1）G（η）2η（a1a2）=

G（η）2η（a1a2）∑z∈F*pη′（-Trq/p（a-11+a-12））η′（z）G（η′）-（p-1）G（η）2η（a1a2）=

G（η）2G（η′）η（a1a2）η′（-Trq/p（a-11+a-12））∑z∈F*pη′（z）-（p-1）G（η）2η（a1a2）=

-（p-1）G（η）2η（a1a2）.

情況2? 令p≡1（mod 4），則gcd（4，p-1）=4.定義高斯周期η（4，p）i=∑x∈C（4，p）iφ1（x），其中C（4，p）i=αi〈α4〉，i=0，1，2，3.方便起見，將η（4，p）i記為ηi，將C（4，p）i記為Ci.令tz≡logα（-Trq/p（a-11+a-12）4z）（mod 4），tz∈｛0，1，2，3｝.從而

S2=G（η）2η（a1a2）∑z∈F*p∑y∈F*pφ1（-Trq/p（a-11+a-12）4zy4）=4G（η）2η（a1a2）∑z∈F*pηtz=

4G（η）2η（a1a2）（∑z∈C0ηtz+∑z∈C1ηtz+∑z∈C2ηtz+∑z∈C3ηtz）.

①若p≡5（mod 8），則-1∈C2.根據引理6，4∈C2.若Trq/p（a-11+a-12）∈C0，則

當z∈C0時，-Trq/p（a-11+a-12）4z∈C0；當z∈C1時，-Trq/p（a-11+a-12）4z∈C3；

當z∈C2時，-Trq/p（a-11+a-12）4z∈C2；當z∈C3時，-Trq/p（a-11+a-12）4z∈C1.

由η0+η1+η2+η3=-1可得，S2=4G（η）2η（a1a2）p-14（η0+η3+η2+η1）=-（p-1）G（η）2η（a1a2）.

同理，若Trq/p（a-11+a-12）∈Ci（i=1，2，3），則S2=-（p-1）G（η）2η（a1a2）.

②若p≡1（mod 8），則-1∈C0.由引理6，4∈C0.類似①可得，S2=-（p-1）G（η）2η（a1a2）.

引理12? 令q=pm，p為奇素數且m為正奇數，則N=N1.

證明? 令A=∑（x1，x2）∈F2q∑y∈Fpφ1（y2Trq/p（x1+x2））∑z∈Fpφ1（zTrq/p（a1x21+a2x22））.一方面，由引理3和加法特征的正交關系得：

∑y∈Fpφ1（y2Trq/p（x1+x2））=p，若Trq/p（x1+x2）=0，

G（η′），若Trq/p（x1+x2）∈〈α2〉，-G（η′），若Trq/p（x1+x2）∈α〈α2〉，

∑z∈Fpφ1（zTrq/p（a1x21+a2x22））=p，若Trq/p（a1x21+a2x22）=0，0，若Trq/p（a1x21+a2x22）≠0.

從而A=N0p2+（N-N1）pG（η′）.（6）

另一方面，A=q2+∑（x1，x2）∈F2q∑y∈F*pχ1（y2（x1+x2））+∑（x1，x2）∈F2q∑z∈F*pχ1（z（a1x21+a2x22））+S2，其中S2=∑（x1，x2）∈F2q∑y∈F*p∑z∈F*pχ1（y2（x1+x2）+z（a1x21+a2x22））.由加法特征的正交關系，

∑（x1，x2）∈F2q∑y∈F*pχ1（y2（x1+x2））=∑y∈F*p∑x1∈Fqχ1（y2x1）∑x2∈Fqχ1（y2x2）=0.

由引理3，∑（x1，x2）∈F2q∑z∈F*pχ1（z（a1x21+a2x22））=（p-1）p2m，若a1=a2=0，0，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，（p-1）G（η）2η（a1a2），若a1a2≠0.

再由引理11可得：A=p2m+1，若a1=a2=0，p2m，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，

p2m+p（p-1）G（η）2η（a1a2），若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）=0，p2m，若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）≠0.（7）

由等式（1）、（6）～（7）可得N-N1的值.

定理1? 令p為奇素數，m＞1為奇數.則線性碼CS是參數為［p-12p2m-1，m，（p-1）22p2m-2-p-12pm-1］三重極小碼，其重量分布如表1所示.

證明? 記碼字c=（Trq/p（a1x21+a2x22））（x1，x2）∈S∈CS的漢明重量為wt（c）.則wt（c）=nS-N.由引理4、引理10以及引理12可得N的值.當p≡1（mod 4）時，

wt（c）=0，若a1=a2=0，（p-1）22p2m-2，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0或a1a2≠0，Trq/p（a-11+a-12）=0，

（p-1）22p2m-2+p-12pm-1，若a1a2≠0，Trq/p（a-11+a-12）≠0且η（a1a2）=-1，（p-1）22p2m-2-p-12pm-1，若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）≠0且η（a1a2）=1.

由于A0=1，從而CS的維數為m.下面計算每個非零重量的頻次，設C（2，q）i=βi〈β2〉，i=0，1，η（2，q）i=∑x∈C（2，q）iχ1（x）.當a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0或a1a2≠0，Trq/p（a-11+a-12）=0時，對應重量記為w1.根據跡函數的性質可得Aw1=2（pm-1）+（pm-1）2+（p-1）p.

當a1a2≠0，Trq/p（a-11+a-12）≠0且η（a1a2）=-1時，對應重量記為w2，下面計算Aw2.顯然|｛a1∈F*q，a2∈F*q：η（a1a2）=-1｝|=（q-1）22.記T-1=|｛a1∈F*q，a2∈F*q：Trq/p（a-11+a-12）=0，η（a1a2）=-1｝|.

從而T-1=1p（∑a1∈C（2，q）0∑a2∈C（2，q）1（1+∑y∈F*pχ1（y（a1+a2）））+∑a1∈C（2，q）1∑a2∈C（2，q）0（1+∑y∈F*pχ1（y（a1+a2））））=

（q-1）22p+1p∑y∈F*p∑a1∈C（2，q）0χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）1χ1（ya2）+1p∑y∈F*p∑a1∈C（2，q）1χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）0χ1（ya2）=

（q-1）22p+1p（∑y∈C（2，q）0∑a1∈C（2，q）0χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）1χ1（ya2）+∑y∈C（2，q）0∑a1∈C（2，q）1χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）0χ1（ya2）+

∑y∈C（2，q）1∑a1∈C（2，q）0χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）1χ1（ya2）+∑y∈C（2，q）1∑a1∈C（2，q）1χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）0χ1（ya2））=（q-1）22p+

p-12p（η（2，q）0，η（2，q）1+η（2，q）1η（2，q）0+η（2，q）1η（2，q）0+η（2，q）0η（2，q）1）=（q-1）22p+2（p-1）pη（2，q）0η（2，q）1.

由引理7得Aw2=（q-1）22-T-1=p-12pm-1（pm-1）.當a1a2≠0，Trq/p（a-11+a-12）≠0且η（a1a2）=1時，同理可得Aw3=p-12pm-1（pm-3）.

當p≡3（mod 4）時，同理可得CS的重量分布.這兩種情形下重量分布相同.此外，由引理1容易驗證CS是一個極小碼.

3? 二重線性碼的構造

令q=pm，t為正整數，F*p=〈α〉.取定義集D=｛（x1，x2，…，xt）∈Ftq：Trq/p（x1+x2+…+xt）∈〈α2〉｝.構造p元線性碼CD=｛（Trq/p（a1x1+a2x2+…+atxt））（x1，x2，…，xt）∈D：（a1，a2，…，at）∈Ftq｝.

定理2? 令p為奇素數，t為正整數.則CD是一個二重線性碼，參數為［p-12ptm-1，m，（p-1）2ptm-22］，其重量分布如表2所示.特別地，當p=3時，CD既是一個自正交碼，又是一個射影碼.

證明? 利用與定理1類似證明方法，易證CD重量分布如表2所示.特別地，當p=3時，CD的重量可以被3整除.由引理2得，CD是一個三元自正交碼.由Pless冪等式易知CD是一個三元射影碼.

下面給出一些由Magma生成的例子，由http：//www.codetables.de/中的Code Table可以驗證其為最優碼.

例1? 令t=2，m=2，p=3，則CD為［27，4，18］最優碼，C⊥D為［27，23，3］最優碼.

例2? 令t=2，m=3，p=3或t=3，m=2，p=3，則CD為［243，6，162］最優碼，C⊥D為［243，237，3］最優碼.

例3? 令t=3，m=1，p=3，則CD為［9，6，3］最優碼，C⊥D為［9，3，6］最優碼.由參數易知CD為NMDS碼.

4? 總? 結

本文通過選取定義集的方法構造了兩類具有良好性質的p元線性碼，確定了其參數和重量分布.主要結果及其應用如下：1）定理1中構造的線性碼CS為三重線性碼，且為極小碼.

2）定理2中構造的線性碼CD為二重線性碼.當p=3時，CD是一個自正交碼，且為射影碼.特別地，CD在一些情形下是最優碼.

3）本文得到的極小碼可用于構造具有安全、高效訪問結構上的密鑰共享方案.三元自正交碼可用于構造量子碼.二重射影碼可用于構造強正則圖.

參? 考? 文? 獻

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Constructions of two families of linear codes over finite fields

Li Wenting， Heng Ziling， Li Xiaoru

（School of Science， Chang'an University， Xi'an 710064， China）

Abstract： Two families of linear codes are constructed based on the defining-set method. The parameters and weight distributions of the codes are studied. The first family of linear codes have three weights and are minimal. They can be used to construct secret sharing schemes with interesting access structures. The second family of linear codes have two weights. If p=3， they are projective and self-orthogonal codes which can be used to construct strongly regular graphs and quantum codes.

Keywords： linear code; self-orthogonal code; minimal code; weight distribution

［責任編校? 陳留院? 趙曉華］