基于M估計強混合重尾序列結(jié)構(gòu)變點的魯棒檢驗

朱 玲，金 浩，喬寶明

（1.西安科技大學a理學院；b計算機科學與技術(shù)學院，西安 710054；2.重慶移通學院 公共大數(shù)據(jù)安全技術(shù)重慶市重點實驗室，重慶 401420）

0 引言

自20 世紀20 年代以來，變點問題一直是國內(nèi)外學者研究的熱點，變點檢測在經(jīng)濟、金融、工業(yè)等領(lǐng)域均有著重要的應(yīng)用，尤其是對位置參數(shù)的統(tǒng)計推斷研究引起了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注。目前，對位置參數(shù)的統(tǒng)計推斷研究主要從數(shù)據(jù)殘差序列、變點數(shù)量、統(tǒng)計量、估計方法、抽樣方法等方面展開。在殘差序列方面，對于獨立正態(tài)分布序列，Sen 和Srivastava（1975）[1]、Worsley（2012）[2]較早使用極大似然估計方法對相似的獨立正態(tài)序列位置參數(shù)變點進行遞歸檢驗，但此類檢驗方法的功效不足。隨后，Hawkins（2012）[3]分別利用貝葉斯和最大似然比兩種方法研究了結(jié)構(gòu)變點，得到了原假設(shè)下的漸近分布。

上述變點研究只考慮了時間序列獨立或?qū)儆诟咚狗植嫉那闆r，然而，對于具有尖峰重尾特點的經(jīng)濟和金融數(shù)據(jù)，傳統(tǒng)的研究方法可能不再適用。如高奎（2020）[4]結(jié)合金融數(shù)據(jù)的特點，對尖峰重尾序列的位置參數(shù)變點進行統(tǒng)計推斷，發(fā)現(xiàn)當尾部分布顯著偏離正態(tài)分布時，基于最小二乘估計的累積和檢驗的經(jīng)驗水平會出現(xiàn)嚴重扭曲。金浩等（2022）[5]研究了動態(tài)序列下的時變方差相依序列位置結(jié)構(gòu)變點的比值型檢驗。針對具有尖峰重尾特點的序列，Robert等（2006）[6]提出了一種基于LAD的穩(wěn)健KPSS檢驗，證明了在重尾情況下LAD 顯著優(yōu)于基于最小二乘估計的KPSS檢驗。隨后，MacKinnon等（2021）[7]討論了無限方差高階自回歸在M估計下的檢驗，并證明了在原假設(shè)下漸近分布是一個布朗橋，進一步拓展了M估計的研究。然而，累積和檢驗方法仍然需要對長期方差進行估計，而長期方差形式復(fù)雜，極大地增加了估計的難度。為了解決這個難題，Horvath 等（2008）[8]提出了比值型檢驗統(tǒng)計量，并探討了采用其他比值型檢驗統(tǒng)計量進行研究的可行性。大量研究表明，比值型檢驗統(tǒng)計量對于需要估計長期方差的變點檢驗較為適用。

為獲得更精確的臨界值，針對序列的強混合性，常用的方法是通過重抽樣方法逼近統(tǒng)計量的漸近分布。Bertail（1994）[9]研究了殘差為獨立同分布序列的重抽樣性質(zhì)。針對序列的特點，MacKinnon 等（2021）[7]介紹了Wild Bootstrap抽樣方法，并根據(jù)不同核函數(shù)研究其逼近的有效性。Paparoditis 和Dimitris（2003）[10]指出，對于強混合序列，簡單的重抽樣方法存在較大的不足，而Block Bootstrap抽樣方法可最大程度地保留原始序列的相依性，從而使得檢驗統(tǒng)計量不會因序列強相依性而出現(xiàn)經(jīng)驗勢值偏低的現(xiàn)象。因此，本文從序列的強混合性特點、統(tǒng)計量及其魯棒性檢驗三個方面考慮，選擇Block Bootstrap抽樣方法，基于M估計構(gòu)建強混合重尾序列下的比值型檢驗統(tǒng)計量，以達到有效檢測位置參數(shù)結(jié)構(gòu)變點的目的。

1 假設(shè)與檢驗統(tǒng)計量構(gòu)造

假定序列y1,y2,…,yn最多存在一個變點，其基本模型為：

其中，μ1、μ2是固定但未知的水平位置結(jié)構(gòu)參數(shù)，s*是變點位置，εt是隨機誤差項，I{?}是示性函數(shù)，[·]表示向上取整。

若時間序列y1,y2,…,yn滿足式（1），則考慮位置參數(shù)變點的檢驗問題。設(shè)原假設(shè)下不存在位置參數(shù)變點，即：

H0：μ1=μ2=μ

而備擇假設(shè)下最多存在一個變點，變點時刻s*?(0,1)，即：

為保證檢驗的漸近有效性，對新息過程{εt} 和M估計函數(shù)ψM(?)提出如下假設(shè)：

假設(shè)1：{εt} 是嚴平穩(wěn)α-混合序列，對于某些有限的χ>0,χ'>0，存在常數(shù)C(χ,χ')>0 滿足：

其中，α(h)（h=0,1,…）是α-混合系數(shù)。

假設(shè)2：{εt} 的分布F位于穩(wěn)定吸收域中，其尾部指數(shù)κ?(0,2]，當κ>1 時，有E(εt)=0；當κ≤1 時，{εt} 是一個對稱分布。

假設(shè)3：隨機變量ψM(εt)滿足如下假設(shè)：

（1）E(ψM(εt))=0；

（3）0<|E(ψ'M(εt))|<+∞，且對某些β>1有E|ψ'M(εt)|β<+∞；

M估計是穩(wěn)健統(tǒng)計中最基本的方法，由Huber在1954年對極大似然估計加以推廣而來。在考慮比值型檢驗統(tǒng)計量前，先給出參數(shù)M估計的定義。選定一個在R上的非負凸函數(shù)ρ，令：

其中，ρ是損失函數(shù)，有ρ'=ψM。為了方便統(tǒng)計量的構(gòu)建，以ψM函數(shù)的形式重新表示式（3）：

其中，θ?為θ的M估計。

M 估計是一個大框架，包括經(jīng)典的最小二乘估計、標準的Huber 函數(shù)、最小絕對偏差估計、截尾函數(shù)估計等。由于累積和統(tǒng)計量需要對長期方差進行估計，而該估計較為困難，因此，為了避免該缺陷，本文在Horvath 等（2008）[11]、Pestova 和Pesta（2018）[12]檢驗思想的啟發(fā)下，提出基于M估計的比值型檢驗。統(tǒng)計量定義如下：

其中，μ?(ψM)是對據(jù)數(shù)據(jù)y1,y2,…,yn進行M 估計得到的位置參數(shù)估計值；類似地，μ?1(ψM)和μ?2(ψM)分別是對y1,y2,…,y[ns]和y[ns]+1,y[ns]+2,…,yn進行M 估計得到的位置參數(shù)估計值。

2 檢驗統(tǒng)計量的相關(guān)性質(zhì)及證明

2.1 檢驗統(tǒng)計量的漸近分布

為得到檢驗統(tǒng)計量在原假設(shè)下的漸近分布，先給出M估計相合性的引理。

引理1：如果假設(shè)1 至假設(shè)3 成立，那么在原假設(shè)H0下，有：

其中，B(?)表示一般的布朗運動。

證明：首先定義凸函數(shù)ρ，其表示為：

其中，u=n12(μ-μ?(ψM))。對Zn(u)在u=0 附近進行一階泰勒展開，有：

結(jié)合式（6）和式（7），本文重寫式（5），得到：

利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)計算式（8）的最小值。令：

本文得到原假設(shè)下參數(shù)基于M估計的一致性，其可表示為：

引理1得證。(μ-μ?1(ψM))和(μ-μ?2(ψM))的證明過程與之類似，本文不再贅述。

定理1：假設(shè)yt由式（1）生成，若原假設(shè)H0和假設(shè)1至假設(shè)3成立，則當n→+∞時，有：

證明：假設(shè)μ=0，有：

其中，B(s)（0

在滿足假設(shè)1 至假設(shè)3 的條件下，結(jié)合Huskova 和Marusiakova（2012）[13]的研究中的引理4.3 和引理4.4，本文定義Ξn的分子為Λ1：

其中，ψM(ε?t)=ψM(εt+μ-μ?(ψM)) 。重新構(gòu)造基于M估計的殘差形式為：

利用微分中值定理、引理1關(guān)于參數(shù)u的全覆蓋定理和ψ'M(εt)的中心極限定理，有：

因此，本文得到分子的漸近分布形式是一個布朗運動，即：

類似地，定義Ξn的分母為Λ2：

進一步區(qū)分分母的兩個部分，分別用Λ21和Λ22表示：

與分子的證明類似，在滿足中心極限定理的條件下，對應(yīng)分母第一部分的漸近分布形式為：

同理，得到分母第二部分的漸近分布形式為：

結(jié)合式（10）至式（12），得到原假設(shè)下檢驗統(tǒng)計量的漸近分布，即當n→∞時，有：

定理1得證。

引理2：如果假設(shè)1 至假設(shè)3 成立，那么在原假設(shè)H1下，有：

（1）當i=1,2 時，μ?(ψM)-μi=Op(1)；

（2）當s*≠s時或者（1）成立；

（3）當s*=s時，n12(μ?1(ψM)-μ1) 和n12(μ?1(ψM)-μ2)有與引理1相同的漸近分布。

證明：以引理2 中的第（1）條為例，與引理1 的證明思想類似，先定義備擇假設(shè)下的凸函數(shù)ρ，零變點時刻為s*,則有：

利用反證法，先假設(shè)u=(μ-μ?(ψM))=op(1)。為了證明的方便，定義Zn(u)=Z1n(u)+Z2n(u)，具體可表示為：

固定Z2n(u) ，使得Z1n(u) 達到最小，且對Z1n(u)（式（14））在u=0 處進行一階泰勒展開，有：

當滿足u=(μ-μ?(ψM))=op(1)時，Z1n(u)達到最小。而在備擇假設(shè)下，參數(shù)估計的一致性還要求Z2n(u)同時達到最小。因此，利用相同的思想，對Z2n(u)（式（15））在u=0處進行泰勒展開，有：

并且滿足：

此時，備擇假設(shè)下參數(shù)估計的一致性與式（16）和式（17）矛盾，所以u=(μ-μ?(ψM))=op(1) 只能使Z1n(u) 或者Z2n(u)其中一個達到最小，不能使Zn(u)的兩個部分同時達到最小，與反證法中的原假設(shè)矛盾。因此，在備擇假設(shè)下，參數(shù)估計是不一致的。同理，μ?1(ψM)和μ?2(ψM)各自的有偏估計證明與之類似，本文不再贅述，且最終對參數(shù)估計的分類如引理2中的第（2）條和第（3）條所示。引理2得證。

定理2：假設(shè)yt由式（1）生成，若備擇假設(shè)H1和假設(shè)1至假設(shè)4成立，則有Ξn=Ξn(s*)。當n→∞時，有：

證明：受變點的影響，備擇假設(shè)下檢驗統(tǒng)計量的發(fā)散性證明需要考慮三種情況：（1）s>s*;（2）s

當s>s*時，用μ1表示基于觀察數(shù)據(jù)y1,y2,…,y[ns*]的位置參數(shù)，用μ2表示基于觀察數(shù)據(jù)y[ns*]+1,y[ns*]+2,…,yn的位置參數(shù)。在備擇假設(shè)下，結(jié)合引理2，具體考慮μ?(ψM)-μ1=Op(1)，μ?(ψM)-μ2=op(1)的情況，其中，μ?(ψM)是參數(shù)μ的M估計值。令Ξn的分子為Γ1：

式（18）中的第二項起決定性作用。

當s>s*時，變點在前半部分，分母的第一項受變點影響，而分母的第二項與原假設(shè)相同，且對應(yīng)分母的第二項的發(fā)散速度為n12，只需將分母的第一部分重寫為：

進一步考慮μ?1(ψM)-μ1=Op(1) ，μ?1(ψM)-μ2=Op(1) ，μ?2(ψM)-μ2=op(1)的情況：

因此，結(jié)合式（19）和式（20）可知，分母的第一部分的發(fā)散速度為n。最后，結(jié)合式（18）至式（20）可得：

綜上，統(tǒng)計量Ξn=Op(1) 。當s

定理2得證。

2.2 檢驗統(tǒng)計量的有限樣本性質(zhì)

從理論角度分析，檢驗統(tǒng)計量在原假設(shè)下的漸近分布的顯式形式是布朗運動的泛函，但其十分復(fù)雜，不能有效確定臨界值。因此，選擇一個科學的方法確定臨界值意義重大。不失一般性，本文考慮重抽樣方法中較為合適的Block Bootstrap抽樣方法。后文將分別用經(jīng)驗水平和經(jīng)驗勢體現(xiàn)原假設(shè)和備擇假設(shè)下的檢驗功效。具體步驟如下：

步驟1：基于觀測值y1,y2,…,yn計算M估計μ?(ψM)。

步驟2：計算殘差ε?t=yt-μ?(ψM),t=1,2,…,n。

步驟4：選擇正整數(shù)m（m

定理3：如果定理1成立，且m→∞，m/n→0，那么當n→∞時，有：

證明：定理3的證明與定理1的證明類似，只需要補充證明Block Bootstrap 樣本下參數(shù)估計的一致性即可。首先，有與式（9）相同的定義：

其次，需要證明Block Bootstrap 樣本中殘差部分和的收斂性。定義[hs]=[[Ls]/m]，得到：

最后，當?shù)玫脚c引理1 相同的前提后，構(gòu)造類似的凸函數(shù)ρ。同理，可得到與引理1相似的結(jié)論，有：

樣本前半段和后半段子樣本對應(yīng)參數(shù)估計的一致性證明過程與之類似，本文不再贅述。

定理3證畢。

3 數(shù)值模擬

本文通過蒙特卡洛數(shù)值仿真來闡明基于Block Bootstrap抽樣的比值型檢驗在結(jié)構(gòu)變點研究中的有效性。大量文獻認為m=Cn13是較為合適的，本文沿用該思想，定義C=5，在數(shù)值模擬中進行具體研究。設(shè)定基于M 估計的比值型檢驗統(tǒng)計量Ξn(s)包含的損失函數(shù)為ψM(x)=x,x?R，表示經(jīng)典的最小二乘估計（LS）；ψM(x)=xΙ{|x|≤K}+Ksgn(x)Ι{|x|>K},x?R ，表示標準的Huber 函數(shù)，K=1.345。進一步，設(shè)定數(shù)據(jù)yt的生成過程為：

其中，{εt} 是一個強混合序列。為了分析不同相依程度下檢驗統(tǒng)計量的檢測效果，本文主要考慮兩種情況：（1）{εt}是一個AR（1）過程，εt=βεt-1+ηt，其中，{ηt} 是獨立同分布的重尾序列；（2）{εt} 是一個AR(1)-AR(1)過程，εt=βεt-1+ηt且ηt=θηt+ξt，其中，{ξt} 是獨立同分布重尾序列。尾指數(shù)κ?{0.2,0.4,0.6,0.8,1.2,1.4,1.6,1.8,2.0}。不失一般性，設(shè)定β=-0.6,θ=0.6,跳躍幅度??{0.5,1,1.5}，變點位置s*?{0.3,0.5,0.7} ，顯 著 性 水 平α=0.05 ，樣 本 量N?{300,500,1000}，循環(huán)3000次。

圖1表示在弱相依情況下最小二乘估計和Huber函數(shù)估計對應(yīng)的經(jīng)驗水平，橫軸表示尾指數(shù)，縱軸表示檢驗統(tǒng)計量在原假設(shè)下的經(jīng)驗水平，其中實線代表基于最小二乘估計（LS）的拒絕概率，虛線代表基于Huber函數(shù)估計（Huber）的拒絕概率。根據(jù)觀察，圖1展示的最小二乘估計和Huber 函數(shù)估計對應(yīng)的經(jīng)驗水平都在5%的水平附近波動，在弱相依情況下，能夠較好地支持原假設(shè)。

圖1 比值型檢驗在H0 下的經(jīng)驗水平，εt ～AR(1)

圖2表示在強相依情況下，最小二乘估計出現(xiàn)輕微扭曲，但該扭曲在可接受范圍內(nèi)，且隨著尾指數(shù)和樣本容量的增加，扭曲程度逐漸減小。而Huber函數(shù)估計的經(jīng)驗水平仍然在5%的水平附近波動，說明Huber 函數(shù)估計較最小二乘估計能更好地支持原假設(shè)。同樣，隨著樣本量N的增大，經(jīng)驗水平波動程度減小。因此，在原假設(shè)下，基于Block Bootstrap 抽樣的Huber 函數(shù)估計統(tǒng)計量能有效控制強混合重尾序列的經(jīng)驗水平。

圖2 比值型檢驗在H0 下的經(jīng)驗水平，εt ～AR(1)-AR(1)

圖3表示在弱相依情況下最小二乘估計和Huber函數(shù)估計對應(yīng)的經(jīng)驗水平，橫軸表示尾指數(shù)，縱軸表示檢驗統(tǒng)計量在備擇假設(shè)下的經(jīng)驗水平，其中低灰度的實線、虛線、點線分別代表變點位置在0.3、0.5 和0.7 處基于最小二乘估計（LS）的拒絕概率，高灰度的代表基于Huber函數(shù)估計（Huber）的拒絕概率。基于M估計的比值型檢驗統(tǒng)計量在備擇假設(shè)下的經(jīng)驗水平受樣本量、跳躍幅度、變點時刻、尾指數(shù)等因素的影響。

圖3 比值型檢驗在H1 下的經(jīng)驗勢，εt ～AR(1)，s*=0.3,0.5,0.7

不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)驗勢具備以下特點：（1）經(jīng)驗勢隨著樣本容量N的增加而增加，且逐漸趨于1。（2）跳躍幅度?的增加使得經(jīng)驗勢也相應(yīng)增加。（3）當變點位置s*=0.5 時，LS的經(jīng)驗勢略大于變點位置為s*=0.3,0.7 時對應(yīng)的經(jīng)驗勢。這說明，變點時刻越接近樣本中心，LS 的經(jīng)驗勢越大，也越易檢測；而當變點位置在前端和后端時，經(jīng)驗勢有所下降，雖兩者相差不大，但檢測效果均有一定的降低，該結(jié)果與已有結(jié)果相似。（4）Huber 函數(shù)估計下統(tǒng)計量的經(jīng)驗勢隨著變點時刻的靠后而變大，尤其當變點時刻s*=0.7時，經(jīng)驗勢達到最大，這是因為變點時刻越靠后，統(tǒng)計量發(fā)散得越快。本文發(fā)現(xiàn)上述特征與定理2 的結(jié)論一致。（5）經(jīng)驗勢隨著尾指數(shù)增加而增加。

圖4 表示在強相依情況下，最小二乘估計和Huber 函數(shù)估計對應(yīng)的經(jīng)驗勢。

圖4 比值型檢驗在H1 下的經(jīng)驗勢，εt ～AR(1)-AR(1)， s*=0.3,0.5,0.7

圖4中展現(xiàn)的規(guī)律與圖3基本類似，但需要注意的是，在強相依情況下，LS 的經(jīng)驗勢明顯低于弱相依情況下的經(jīng)驗勢，這是因為序列的強關(guān)聯(lián)性導(dǎo)致統(tǒng)計量過于保守，無法有效拒絕原假設(shè)。并且，在強相依情況下，當跳躍幅度?=0.5 時，統(tǒng)計量在Huber函數(shù)估計和最小二乘估計下的經(jīng)驗勢均較小，但Huber 經(jīng)驗勢略高；而當跳躍幅度?=1,1.5 時，Huber 經(jīng)驗勢隨之顯著增加，且在尾部較重的情況下拒絕概率仍比LS經(jīng)驗勢高。說明當跳躍幅度較小時，經(jīng)驗勢主要由跳躍幅度控制；但當跳躍幅度較大時，統(tǒng)計量對應(yīng)的尾部異常值在Huber 函數(shù)估計下的經(jīng)驗勢中起主導(dǎo)作用。而受強相依情況的影響，經(jīng)驗勢隨著尾指數(shù)增加的程度與弱相依情況下的程度不同。當κ≤0.8時，LS的經(jīng)驗勢不超過0.1，這說明基于最小二乘估計的比值型檢驗對重尾序列的位置參數(shù)變點檢測幾乎是失效的；當κ>0.8 時，隨著尾指數(shù)的增加，LS 的經(jīng)驗勢隨之增加；尤其是當κ>1.6 時，LS 的經(jīng)驗勢增加幅度較為顯著。當0.6<κ≤1.4 時，Huber的經(jīng)驗勢明顯高于LS的經(jīng)驗勢；而當1.4<κ≤1.8 時，Huber的經(jīng)驗勢和LS的經(jīng)驗勢相差不大。

結(jié)合圖3 和圖4 不難發(fā)現(xiàn)，雖然在近高斯過程下，LS的經(jīng)驗勢略高于Huber的經(jīng)驗勢，但這種情況會隨著樣本量和跳躍幅度的增加而消失。即使在不同尾指數(shù)和相依程度下，估計方法也各有優(yōu)勢，但對于強混合重尾序列，尤其是在異常值較多的情況下，最小二乘估計不再適用，而以Huber函數(shù)估計為例的M估計將更有效。

4 實證分析

本文通過一組財經(jīng)數(shù)據(jù)對所提方法在實際應(yīng)用中的可行性進行說明。采用2020年10月15日至2022年8月3日共370 個交易日的港幣對人民幣匯率數(shù)據(jù)進行實證分析，數(shù)據(jù)來源于https：//www.chinamoney.com.cn/chinese/bkccpr/。港幣對人民幣匯率標準化后的數(shù)據(jù)為yt，如圖5所示。

圖5 港幣對人民幣匯率標準化后的數(shù)據(jù)（2020年10月15日至2022年8月3日）

從圖5中可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)yt在水平方向存在明顯的結(jié)構(gòu)變化，將數(shù)據(jù)yt代入檢驗統(tǒng)計量，得到Ξn=1.0083。由數(shù)值模擬可知，利用Block Bootstrap 抽樣方法確定的臨界值Ξ0.05=0.8466。因此，在顯著性水平α=0.05 的條件下，Ξn>Ξα，應(yīng)當拒絕不存在變點的原假設(shè)。利用Pestova 和Pesta（2018）[11]的研究中的變點估計思想，選擇Huber 函數(shù)估計對變點時刻進行估計，得到s*=0.8297。根據(jù)變點位置，匯率在2022年1月13日發(fā)生突變，整個樣本序列被分為[1,306]和[307,370]兩段，并計算得到前半段樣本的水平位置參數(shù)估為-0.3588，后半段樣本的水平位置參數(shù)為1.7154，其跳躍幅度大約為2。究其原因，2022年國家根據(jù)國內(nèi)實體經(jīng)濟運行情況選擇降準和降息，即中美貨幣政策脫鉤，人民幣承壓貶值，因此相應(yīng)港幣對人民幣匯率上升。

5 結(jié)束語

本文提出基于M 估計的比值型統(tǒng)計量來檢驗強混合重尾序列位置參數(shù)結(jié)構(gòu)變點。首先，在基于最小二乘估計的累積和統(tǒng)計量對強混合重尾序列位置參數(shù)變點進行檢驗的基礎(chǔ)上，將尾指數(shù)拓展到(0,2]，并構(gòu)造基于M 估計的比值型統(tǒng)計量，從而避免了長期方差估計的問題；其次，不同于傳統(tǒng)最小二乘估計下統(tǒng)計量的漸近分布是列維分布泛函，基于M估計的比值型統(tǒng)計量在原假設(shè)下的漸近分布是布朗運動的泛函，并證明了備擇假設(shè)下統(tǒng)計量的一致性；最后，考慮到序列的強混合性，利用Block Bootstrap 抽樣方法來逼近極限分布以獲得更為精確的臨界值，從而實現(xiàn)對重尾序列位置參數(shù)變點的檢驗。數(shù)值模擬和實證分析結(jié)果表明，在重尾情況下，本文給出的基于M估計的檢驗方法是檢測強混合序列位置參數(shù)變點的有效工具。