核心素養視角下高中數學建模的教學實踐研究

摘 要：數學建模就是運用數學符號、式子、圖形等對實際問題進行抽象而又簡潔的刻畫，以此解釋問題、預測問題、解決問題.本文立足高中數學，結合教學實際，從興趣培養、思維啟迪、信息融入、類型歸納、豐富形式等方面，提出可行性的教學實踐策略，促進學生發展，落實核心素養.

關鍵詞：數學建模；高中數學；教學實踐；核心素養

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）06-0032-03

數學建模是溝通現實世界與數學領域的重要橋梁，更是高中階段重要的教學內容之一，它能夠啟迪學生解決問題的思路，使學生實現從“盲目無知”到“自我認知”的轉變.高中階段要重視數學建模教學內容，結合實際的考情、教情與學情，發展學生的數學核心素養，落實數學建模育人目標[1].

1 激發興趣，結合生活調動學生建模意愿

皮亞杰曾說過：“所有智力方面的工作都要依賴于興趣.”數學建模與生活緊密相連，這更有利于激發學生學習數學的興趣，為學生認知數學建模、學習數學建模增強引導與提供動力.數學概念高度抽象，不便于學生理解，課堂相對就顯得枯燥，即便是高中生，其課堂學習的注意力也很難保持長時間集中.因此，教師要梳理數學概念中的變量關系，結合學生的實際生活，再聯系學生的當前的認知水平，將實際生活變成數學問題拋給學生，引導幫助學生運用課堂所學的數學知識，建立模型去解決身邊的實際問題.邊學習，邊建模，邊應用，在問題解決的過程中感受數學的獨特魅力與學習意義，激發學生“我想學”的興趣與“我要學”的意愿，讓學生在興趣的帶動下始終保持數學學習的主動性與積極性.

如，現在一些農商為了增加蔬菜的產量，讓蔬菜有個好看的外觀，都會打很多的藥物助力蔬菜生長，即使多次清洗，仍會有藥物殘留.我們要如何用一定量的水去清洗蔬菜，才能安心食用呢？筆者將這一問題拋出后，學生七嘴八舌地發表意見，有的說要清洗兩次，有的說要清洗不少于三次.筆者引領學生建立數學模型去分析問題，解決問題.

筆者將這一生活問題轉化為一般性數學問題.假設我們要用10斤的水去清洗蔬菜，每次清洗后蔬菜上還會殘留1斤的水，那么我們僅清洗一次.那么藥物的殘留量就是原來的1／11.如果清洗兩次，第一次3斤水，第二次7斤水，那么藥物的殘留量就是原來的1／（4×8）=1／32.如果平均兩次，每次5斤水，那么藥物的殘留量就是原來的1／（6×6）=1／36，效果更好.可見多次清洗、平均分配清洗的水量，蔬菜藥物殘留最少.同時，筆者又提出現實的問題，我們不可能用10斤的水去清洗蔬菜，浪費水資源.每次清洗蔬菜也不可能剩1斤的水，不符合實情.筆者將一般問題轉化為數學思考，引導學生去運用代數的方式，建立數學模型去解決生活中的實際問題.

2 立足教材，精選案例啟迪學生建模思想

“數學建模”是數學學科核心素養之一，在高中教材中主要有兩方面的作用.一方面，是用函數模型來反映現實中的常見問題[2]；另一方面，是通過數學模型創設情境，引導新的教學內容.課本教材中的案例存在普遍的共性問題，就是被精心加工過，優化了條件與過程，重點放在各個變量之間的邏輯關系，結構良好，數學性強.但弱化了真實情境的假設，偏離了學生實際生活，生活性弱，學生體驗感不強.

與此同時，發展學生核心素養的教學與啟迪學生思想的教學并沒有本質上的區別.如，現實生活中“1”并不存在，我們需要假借生活真切存在的事物，一斤水，一筐蔬菜等才會感知“1”的存在.因此，數學建模也要有跡可循，結合具體事情的具體問題引導學生，才會讓學生感受到抽象的數學概念.因此，在學生初學數學建模時，教師要精選生活案例，立足考情、教情與學情，按著建模的基本步驟，引導學生認識數學建模、學習數學建模，讓學生感受數學建模在現實世界的重要意義，鼓舞學生學習與應用數學建模的動力，幫助學生知識遷移，建立起嚴謹的數學思維邏輯.

如“函數模型及其應用”一課教學中，筆者提出假設，老師現在有一筆資金，現在有三種投資方案.方案一是每天回報400元；方案二是第一天回報100元，以后每天前一天多回報100元；方案三是每天回報4元，以后每天的回報比之前翻一番.請學生幫忙做出選擇.首先，教師要帶領學生共同分析問題.這是學生所熟悉的“一次函數模型”“二次函數模型”“指數函數模型”，問題相對簡單，學生很容易找到問題之間的數量關系.其次，教師要幫助學生進行模型分析.這里的變量是天數，用x表示，且x為大于0的自然數，用數學符號表示則為x∈N+.再次，教師引導學生建立數學模型.此投資回報存在兩個變量，一個是x（時間），一個是y（金額），那么方案一可用一次函數模型表示為y1=400x；方案二可用函數模型表示y2=（1+x）x／2100；方案三可以指數函數模型表示y3=4×2x-1.最后，教師與學生共同求解模型.學生如何幫助教師選擇投資方案，轉化為數學問題就是比較y1、y2、y3之間的大小，通過函數圖象的比較，給出教師正確的選擇方式.

筆者通過背景分析、模型分析、建立模型、解決問題四個步驟，將生活問題轉化為數學模型，呈現了用數學符號與語言解決生活問題的全部過程，讓學生真切感受到數學模型在生活中的重要性.

3 分門別類，數學模型分類形成系統認知

孔子曰：“學而不思則罔.”任何知識的學習，都是在大量的吸收后進行歸納與總結，找到知識一般性的規律，進而了解知識的本質特征，加快知識學習的速度與實際應用遷移能力.因此，在高中數學模型教學中，教師要幫助與引導學生能夠對各類數學模型進行有效的分類，掌握數學模型的一般性規律.以建模的思維去思考問題，以建模的能力去解決問題，使學生的數學建模能力得到切實的提高.

高中教學中的數學模型涵蓋面較淺，依照模型所使用的數學工具來分，大致可以分為：函數模型、幾何模型、復數模型、三角模型等.由于高中數學模型是優化后較為理想的模型，與實際中的數學建模還存在一定的差異性，因此，教師在教學中除了教授學生構造數學模型去解決實際生活問題外，還應該引導學生利用數學建模的思想，來解決理論性的“純”數學問題.一方面，提高學生的解題能力，使學生的數學成績有一個質的飛躍；另一方面，讓學生熟知數學建模的一般性過程，使學生逐漸形成數學建模的表達能力、應用能力、邏輯能力及數學與生活的連接能力，真切將數學知識應用到生活之中，用建模思維去解決生活中遇到的各類難題，使學生的數學核心素養得以發展[3].

如，數學中常見的“最值”問題，就函數y=x2+9+（5-x）2+4的最小值.通過觀察上述“純”數學問題的特征，發現這屬于“幾何模型”類型.因此，上述函數可變形為y=（x-0）2+（0+3）2+（5-x）2+（2-0）2，變成兩點之間的距離公式.那么，函數y的幾何意義也就變成了點P（x，0），點A（0，-3）與點B（5，2）之間的關系，也就是|PA|+|PB|取最小值，即P，A，B三點共線.

上述問題就是“純”數學問題，學生通過建立數學模型，能夠使復雜的問題淺顯化，啟迪解題思路，從而解決問題.而這些就需要學生在腦海中有完善的數學知識結構，知道這個問題屬于哪一類，用哪一種方式去解決.這是學生熟知各類數學模型后，將不同概念、性質的知識在腦海中產生聯結，舉一反三、觸類旁通的結果.因此，教師在教學中，幫助與引導學生對數學模型進行分類是十分有必要，也是十分重要的教學內容.這能夠使學生在遇到問題后，明確解決問題的方法與手段，也能夠使學生將各種數學知識融會貫通，熟練掌握與使用，即讓學生用建模去解決問題，也使學生具備建模化的思維邏輯.

4 多元教學，基于教情開展多樣教學形式

數學建模課與其他數學知識授課有很大的不同.因為數學是極度抽象的形式學科，有特定的數學語言、符號、定理、公式等，是虛無縹緲的“理論研究”，因此實踐性較差.而數學建模課，就是用“模型”將現實世界與理論研究連接起來，讓學生在實踐中經歷用數學建模去解決實際問題的過程，將學生已學過的知識、已具備的數學能力調動起來，進而培養學生縝密的數學思維和嚴謹的數學邏輯.因此，數學建模課更需要學生積極、主動地參與進來，教師引導為主，開設多樣的教學形式來調動學生的學習熱情[4].

其一，結合一般教學形式，找準數學建模課的“切入點”.數學建模課與其他數學知識授課存在著一定的聯系，教師在其他數學知識授課中，如概念課、復習課、講評課等，講到與數學建模聯系緊密的知識點時，可以無聲滲透數學建模知識.一方面，可以加深學生對數學建模的理解與認知，強化學生數學模型的應用意識；另一方面，純粹的數學建模課學時有限，可以緩解“內容多，課時少”的教學壓力.

其二，學情導向教學形式，攻克學生學習建模的“困難點”.多數教師在數學建模課中只講授建模與求解這兩個環節，簡化數學建模的問題分析、條件及模型檢驗等環節.但學情不同，學生對于建模各環節的掌握情況也不盡相同.同時，不同的教學內容、各數學建模步驟的重要程度也不盡相同.因此，教師應找準數學建模課的重點與難點，結合學情需要具體分析.

其三，欣賞學習教學形式，帶領學生學習優秀建模案例.高中階段的數學知識較淺，數學模型也就有著很大的局限性，距離真正意義上的數學建模有著一定的差距.盡管如此，學生高考之中可能用不到這樣的數學建模知識，但教師也十分有必要讓學生了解數學建模的真實面，帶領學生了解更為復雜的數學模型案例.如國家年度糧食產量預測、長江水流量預測、大學排名問題、交巡警服務平臺的設置與調度問題等，開闊學生的眼界，提高學生的認知，真正用建模貫通“數學”與“生活”的橋梁，體現數學的價值，讓學生對數學學科有更高層次的認識、更深層次的熱愛.

5 結束語

教師要基于學情，以學生的情趣為出發點，調動學生學習數學建模的熱情；基于教情，精選并優化教材中的案例，啟迪學生數學建模的思想；基于考情，幫助與引導學生對數學模型進行分類；再基于數學建模課的特點，開展多樣的教學形式，切實提高學生的數學建模能力，使學生的數學核心素養得以發展.

參考文獻：

［1］ 康文山.核心素養下高中生數學建模能力鍛煉與培養[J].數學學習與研究， 2022（11）：116-118.

[2] 狄聞于.高中數學建模與核心素養的分析和探究[J].中學數學（高中版）， 2022（10）：92-93.

[3] 楊惠凱.基于學科核心素養的高中數學建模案例[J].天津教育， 2022（19）：87-89.

[4] 王淑萍.核心素養背景下高中生數學建模能力培養研究[J].學周刊， 2022（32）：51-53.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-25

作者簡介：楊曉芳（1980.12-），女，江蘇省常州人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：本文系2021度江蘇省中小學教學研究課題“核心素養視角下高中數學建模的教學實踐研究”的研究成果（課題立項號：2021JY14-L56）