如何利用微元法解答高中物理問題

張玥琳

【摘要】在高中物理問題中有一類題目其中的物理量并不是恒定的量，它們?cè)谝欢ǖ臅r(shí)間中或者是一定的狀態(tài)下連續(xù)的變化.這一類問題常常作為壓軸題來考查，學(xué)生在“恒定量”的思維慣性下常常找不到解題的思路.解答此類問題最常用的方法就是微元法，本文結(jié)合幾道例題談?wù)勅绾卫梦⒃ń獯鸶咧形锢韱栴}.

【關(guān)鍵詞】高中物理；微元法；恒定量

微元法的內(nèi)涵就是將所要研究的物體或者運(yùn)動(dòng)過程分割成無限小塊，而在這無限小塊內(nèi)，物理量可以看做是恒定的.這時(shí)就可以先利用已學(xué)知識(shí)計(jì)算這一小塊內(nèi)所求物理量的大小，之后再綜合起來，即可求得總的大小，得到問題的答案，這就是微元法的解題思路.下面用三個(gè)典型例題闡述微元法的應(yīng)用.

類型1 時(shí)間元

對(duì)于物理量隨時(shí)間連續(xù)變化的問題，一般利用微元法來構(gòu)造出時(shí)間元，在每一小段時(shí)間內(nèi)對(duì)物理過程進(jìn)行研究.

例1 草原上有一只羊被狼追逐，羊以恒定的速度v1沿著直線AB逃跑，狼則以恒定的速率v2追擊，狼的速度方向始終對(duì)準(zhǔn)著羊.已知在某一時(shí)刻羊在草原上的F處，狼在草原上的D處，且FD⊥AB，如圖1所示，求出此時(shí)狼的加速度大小.

解 雖然狼在做勻速率運(yùn)動(dòng)，但是FD⊥AB，其速度的方向在不斷的變化，因此其加速度方向也在不斷的變化.

從所求的時(shí)刻開始的一段很小的時(shí)間（Δt→0）內(nèi)，結(jié)合圖2，狼的運(yùn)動(dòng)軌跡可近似看做是一段圓弧（其本質(zhì)上是一條條很小的線段，但是因?yàn)棣→0，就可以看做是圓弧，此處運(yùn)用了微元法）.

設(shè)圓弧的半徑為R，則可得狼的加速度a=v22R.在Δt時(shí)間內(nèi)，設(shè)羊和狼分別到達(dá)了點(diǎn)F′和D′，則此時(shí)狼的速度方向轉(zhuǎn)過的角度Δθ=v2ΔtR，而羊在這段時(shí)間里跑過的距離是v1Δt=LΔθ.

聯(lián)立上述兩式可得v2ΔtR=v1ΔtL，故可得R=v2v1L，所以代入公式a=v22R可得a=v1v2L.

評(píng)析 此題的解答過程與求解做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的向心加速度的過程相類似.將無數(shù)個(gè)很小的時(shí)間內(nèi)的直線運(yùn)動(dòng)合成為圓弧運(yùn)動(dòng)是解答物理問題的一個(gè)常用方法，在解答此題時(shí)就可以轉(zhuǎn)化為圓周運(yùn)動(dòng)問題來求解.運(yùn)用相關(guān)的公式，代入即可解得物理量的大小.

類型2 質(zhì)量元

對(duì)于質(zhì)量連續(xù)變化的問題，微元法的使用對(duì)象是微小的質(zhì)量元.并且由于此質(zhì)量元很小，其它物理效應(yīng)可以忽略，所以可以看成質(zhì)點(diǎn)來研究.

例2 某糧店為了方便顧客買米，購買了一個(gè)自動(dòng)稱米機(jī)，如圖3所示.但是細(xì)心的顧客認(rèn)為在稱米的過程中容器底部會(huì)受到米流落下來所帶來的沖力的影響，導(dǎo)致實(shí)際的米量與稱上的數(shù)值并不相同；而賣家則反對(duì)，并認(rèn)為當(dāng)顧客所需的米量滿足時(shí)，仍然有一部分米在空中下落，并沒有對(duì)稱造成影響，這些米相當(dāng)于送給了顧客.雙方因?yàn)檫@個(gè)問題爭(zhēng)執(zhí)不下，那么哪一方才是正確的呢？

解 設(shè)米的流量恒定為Q，米流在出口處的速度可以看做是零，不計(jì)空氣阻力.

自動(dòng)稱米機(jī)能夠在出口處立即切斷米流，使其不再下落.若切斷后，裝米的容器內(nèi)的米的總質(zhì)量為m1，正在空氣中下落的米的質(zhì)量為m2，設(shè)落到容器內(nèi)米堆上的一小部分米的質(zhì)量為Δm.

在Δt時(shí)間內(nèi)可知Δm=QΔt.以Δm為研究對(duì)象，設(shè)其落到米堆上之前的速度大小為v，經(jīng)過Δt時(shí)間，其變?yōu)殪o止?fàn)顟B(tài).如圖4所示，Δm受到兩個(gè)力的作用，即其本身的重力Δmg和米堆對(duì)其的支持力F.

對(duì)此過程使用動(dòng)量定理可得：（F－Δmg）Δt=Δmv，

即F=ΔmΔtv+Δmg=Qv+QgΔt.

設(shè)米在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則m2=Qt，v=gt，故Qv=m2g，F(xiàn)=m2g+Δmg.

設(shè)F′為反作用力，根據(jù)牛頓第三定律，則稱米機(jī)的讀數(shù)應(yīng)為：

M=Ng=（m2g+F′）g=m1+m2+Δm.

可見，稱米機(jī)的讀數(shù)包含了容器中靜止的米的質(zhì)量，也包含了剛落到容器中米的質(zhì)量，還有在空中下落的米的質(zhì)量，所以其讀數(shù)是準(zhǔn)確的，雙方的說法都是錯(cuò)誤的.

評(píng)析 由此題可以看出，將質(zhì)量元看做是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，同樣可以使用物理定律來研究其與其它物體的關(guān)系，之后再將質(zhì)量元合成即可得到總質(zhì)量與物體的關(guān)系.

類型3 電荷元

在電磁學(xué)中微元法將原本總的電荷變成多個(gè)連續(xù)分布的小電荷，或者是在電荷增加或者減小的連續(xù)變化過程中構(gòu)造電荷元.

例3 空間內(nèi)有一個(gè)帶正電的半徑為R的圓環(huán)，電荷量為Q，圓環(huán)的圓心為O.在通過O點(diǎn)與圓面垂直的直線上有一點(diǎn)A，距離O點(diǎn)為L(zhǎng)，A點(diǎn)有一帶電荷量為q的點(diǎn)電荷，求該點(diǎn)電荷受到的電場(chǎng)力的大小.

解 直接分析圓環(huán)對(duì)點(diǎn)電荷的作用力大小不好分析，也無法求出圓環(huán)在點(diǎn)電荷處的電場(chǎng)，所以可以利用微元法將圓環(huán)分割成若干個(gè)點(diǎn)電荷q′，其總的電荷量為Q.

則q′=QN，由庫侖定律可以算得點(diǎn)電荷q′對(duì)點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)力大小為F=kq′qr2=kQqN（L2+R2）.由于對(duì)稱性，庫侖力豎直方向上的分量相互抵消，所以圓環(huán)對(duì)點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)力是庫侖力水平方向上分力的和.

設(shè)F與水平方向的夾角為θ，則

cosθ=LL2+R2，F(xiàn)合=kQqL（L2+R2）32.

評(píng)析 在將總的電荷量進(jìn)行分割，從而將難以研究的電量載體分解為獨(dú)立的帶點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)來計(jì)算，大大簡(jiǎn)化了解題的難度.

結(jié)語

上述三道例題從三種不同的方面介紹了微元法的應(yīng)用情境：時(shí)間元，質(zhì)量元，電荷元.除此之外，還有很多能夠使用微元法的題目，需要學(xué)生在平時(shí)的練習(xí)過程中多加總結(jié)，理解微元法的本質(zhì)內(nèi)涵，體會(huì)“以小見大”的物理思想.