畫(huà)里有話：“可視化”視域下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)

程婭

［摘 ?要］ 設(shè)計(jì)怎樣的活動(dòng)才能實(shí)現(xiàn)“學(xué)為中心”和破解分?jǐn)?shù)教學(xué)“單位”理解、“量”“率”兩難的困境？文章以“分?jǐn)?shù)的意義”一課教學(xué)為例，嘗試設(shè)計(jì)多維活動(dòng)，以比畫(huà)出來(lái)、畫(huà)出來(lái)、說(shuō)出來(lái)等形式清晰地表征學(xué)生的思維。

［關(guān)鍵詞］ 可視化；高觀點(diǎn)；大空間；主問(wèn)題；思想性

隨著課程改革的不斷深入，“由教轉(zhuǎn)向?qū)W”“學(xué)為中心”“讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)歷程”“讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生”等觀念已成為教師的共識(shí)，越來(lái)越多的教師開(kāi)始關(guān)注學(xué)生的“學(xué)”，力圖設(shè)計(jì)豐富多樣的活動(dòng)為學(xué)生的探索活動(dòng)提供支撐。但在具體教學(xué)中，教師要怎樣設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)才能看得見(jiàn)學(xué)生思考的過(guò)程、看得見(jiàn)學(xué)生思維的發(fā)展，這是困惑教師的一大難題。

分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容之一，理解分?jǐn)?shù)的意義是學(xué)生數(shù)學(xué)概念發(fā)展的重要里程碑。但是分?jǐn)?shù)的意義，尤其分?jǐn)?shù)“單位”非常抽象。因此，許多教師嘗試設(shè)計(jì)豐富的活動(dòng)來(lái)破解分?jǐn)?shù)的教學(xué)困境。該設(shè)計(jì)怎樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)才能看得見(jiàn)學(xué)生的思考，看得見(jiàn)思維的發(fā)展呢？本文以“分?jǐn)?shù)的意義”一課為例，探索“可視化”視域下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)要領(lǐng)。

一、游戲引入，“劃”里有話，滲透本質(zhì)意象——讓學(xué)生思考“劃”出來(lái)

師：咱們玩一個(gè)游戲“說(shuō)一不二”，活躍一下氣氛。（手勢(shì)比畫(huà)“1”）說(shuō)一個(gè)數(shù)字？

生1：1。

師：這是幾？（手勢(shì)比畫(huà)“2”）

生2：2。

師：（搖頭）我們的游戲是說(shuō)“1”不“2”，只說(shuō)“1”，可以怎么說(shuō)？

生3：1對(duì)。

生4：1雙。

師：這樣呢？（手勢(shì)比畫(huà)“5”）

生5：1個(gè)手掌。

師：學(xué)得很快！那這些呢？（出示一群鳥(niǎo)、一排路燈的圖片）

……

師：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開(kāi)對(duì)數(shù)的研究，今天我們一起來(lái)研究有關(guān)數(shù)的問(wèn)題。1、2、3、4……這樣的數(shù)是自然數(shù)，把3和4組合在一起，你想到了什么數(shù)？

生6：34、43、3.4、4.3。（整數(shù)、小數(shù)）

生7：我還想到了、。

師：這是分?jǐn)?shù)，三年級(jí)時(shí)我們就學(xué)過(guò)分?jǐn)?shù)，回顧一下分?jǐn)?shù)，你都知道些什么？

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生認(rèn)知角度界定，數(shù)數(shù)的方法有兩種：一種是一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，另一種是一群一群地?cái)?shù)。這兩種數(shù)法的“單位”不同，對(duì)應(yīng)于分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的兩個(gè)階段，即以一個(gè)為單位“1”與以一群為單位“1”。新課伊始，教師以“說(shuō)一不二”的有趣游戲激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在各種手勢(shì)的比畫(huà)中向?qū)W生滲透單位“1”的意象，調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的積極性和主動(dòng)性，達(dá)到“未成曲調(diào)先有情”的境界，看似簡(jiǎn)單的活動(dòng)，不僅讓學(xué)生真切地體會(huì)到“數(shù)學(xué)在身邊”，而且很巧妙地蘊(yùn)含了整體“1”的內(nèi)涵。游戲活動(dòng)不僅幫學(xué)生喚醒了原有的生活和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，而且為下面的初步感知單位“1”做好鋪墊。教師以3和4的組合，引導(dǎo)學(xué)生從自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)自然地認(rèn)識(shí)過(guò)渡到分?jǐn)?shù)這個(gè)主題上來(lái)。

二、畫(huà)圖表征，喚醒舊知，找到認(rèn)知起點(diǎn)——讓學(xué)生思考“畫(huà)”出來(lái)

活動(dòng)要求：畫(huà)圖表示。

展示，如圖1。

圖1

師：圖1中的①圖涂色部分是3個(gè)正方形，為什么還用來(lái)表示呢？

生1：這里是把4個(gè)正方形看成一個(gè)整體，用“1”來(lái)表示，涂色部分就是。

師：表示一個(gè)整體，我們可以在這些正方形的外面畫(huà)一個(gè)圈。（示范畫(huà)集合圈）

師：那么圖1中的②圖，你是怎樣想的？

生2：把一個(gè)蛋糕平均分成4份，取其中3份，就是。

師：這里的圓除了可以表示一個(gè)蛋糕，還可以表示什么？

生3：月餅、燒餅……任意物體。

師：（出示平均分的長(zhǎng)方形）這也可以表示嗎？和剛才的有什么相同之處？

生4：其實(shí)都是把一個(gè)物體平均分成4份，取其中的3份，只是表示的物體不一樣或是形狀不一樣。

師：圖1中的③圖，這里的3份可以用表示嗎？

追問(wèn)：如果用這條線段表示1米、1分米、1千克呢？

（總結(jié)對(duì)比）

師：觀察這些不同的表示方法，它們有什么相同和不同的地方嗎？

生5：它們的相同點(diǎn)在于都是把一個(gè)物體或一個(gè)整體看作“1”，都是把“1”平均分成4份，其中的3份都可以用來(lái)表示。

生6：不同點(diǎn)在于平均分的對(duì)象不同，有的是一個(gè)物體，有的是一個(gè)圖形，有的是一個(gè)計(jì)量單位，還有的是幾個(gè)物體組成的一個(gè)整體。

設(shè)計(jì)意圖：表征概念是學(xué)生理解和建立概念的重要方式，這一過(guò)程中任何單一的表征方式都是不夠的，教師要鼓勵(lì)學(xué)生用多種方式去表征同一概念。操作表征有利于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)先分后取的過(guò)程性本質(zhì)，初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的時(shí)候教師可以采取這種教學(xué)方式。本課是學(xué)生在三年級(jí)兩次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)后的再次認(rèn)識(shí)，畫(huà)圖表征，給不同學(xué)生表征同一分?jǐn)?shù)的不同樣態(tài)提供了開(kāi)放的素材。通過(guò)讓學(xué)生獨(dú)立表征典型分?jǐn)?shù)，喚醒他們對(duì)分?jǐn)?shù)的意義的個(gè)性化理解。這種開(kāi)放的活動(dòng)設(shè)計(jì)，既是教師對(duì)學(xué)生真實(shí)認(rèn)知水平的一次前測(cè)，也為課堂教學(xué)提供了多元而豐富的學(xué)習(xí)資源，并為進(jìn)一步揭示單位“1”的概念做好了鋪墊。畫(huà)圖表征讓學(xué)生在不同表征的基礎(chǔ)上進(jìn)一步比較，抽象出分?jǐn)?shù)的本質(zhì)的內(nèi)涵和廣闊的外延。

三、分類比較，畫(huà)里有話，凸顯本質(zhì)意義——讓學(xué)生思考“說(shuō)”出來(lái)

活動(dòng)要求：畫(huà)圖表示或。

（選取學(xué)生作品并進(jìn)行分類，分為分母相同、分子相同兩類）

師：仔細(xì)觀察圖2中的4幅圖，有什么相同？

生1：分母都是8。

師：為什么都可以用表示？

生2：都是平均分成了8份。

師：所以產(chǎn)生了，這些分?jǐn)?shù)里面分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)，我們把表示1份的分?jǐn)?shù)稱為分?jǐn)?shù)單位。

圖3

師：仔細(xì)觀察圖3，有什么相同？

生3：分子相同。

師：為什么分子會(huì)相同？

生4：因?yàn)槎既×?份。雖然平均分的份數(shù)不一樣，但是都取了3份，所以分子都是3 。

師：就是都取了3個(gè)分?jǐn)?shù)單位。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在概念形成的過(guò)程中需要一定數(shù)量的經(jīng)驗(yàn)，在這一過(guò)程中起主要作用的是分類和抽象。上述環(huán)節(jié)，通過(guò)對(duì)分?jǐn)?shù)的再次表征和分類比較找相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，讓學(xué)生感知分子、分母對(duì)分?jǐn)?shù)的不同影響，找到影響分母、分子的共同點(diǎn)，順應(yīng)了學(xué)生的思維。從教學(xué)的實(shí)踐來(lái)看，這既是一個(gè)挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)任務(wù)，也是一個(gè)趣味性的數(shù)學(xué)活動(dòng)。許多學(xué)生感覺(jué)不可思議，分子是幾都不知道，怎么畫(huà)呢？教師運(yùn)用這個(gè)信息不完整的“符號(hào)”，加上語(yǔ)言的激勵(lì)，引發(fā)學(xué)生深度思考分母表示的含義、與分?jǐn)?shù)單位之間的密切關(guān)聯(lián)以及分子和分?jǐn)?shù)單位之間的密切關(guān)聯(lián)。同時(shí)，因?yàn)樾畔⒌牟煌晟?，給學(xué)生創(chuàng)造分?jǐn)?shù)提供了多種可能，為教學(xué)分?jǐn)?shù)單位提供了開(kāi)放的素材。

數(shù)起源于“數(shù)（shǔ）”，分?jǐn)?shù)的測(cè)量意義就在于分?jǐn)?shù)可以看成是單位分?jǐn)?shù)累加的結(jié)果，也就是說(shuō)分?jǐn)?shù)可以是“數(shù)”出來(lái)的。所以，活動(dòng)中教師有意識(shí)地帶領(lǐng)學(xué)生一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)分?jǐn)?shù)單位，感知分?jǐn)?shù)單位的疊加，這些活動(dòng)對(duì)學(xué)生感受數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程、領(lǐng)悟概念的本質(zhì)內(nèi)涵十分有益。

四、總結(jié)完善，圖里甄別，完善概念意象——讓學(xué)生思考“辨”出來(lái)

師：說(shuō)一說(shuō)分?jǐn)?shù)表示什么意思？

生1：（嘗試總結(jié)）它表示把一個(gè)圖形、一個(gè)計(jì)量單位、一個(gè)整體（教師點(diǎn)撥：就是“單位1”）平均分成幾份（教師點(diǎn)撥：換一個(gè)詞可以說(shuō)“若干份”），取其中的幾份。（教師點(diǎn)撥：為了解決不能“取”的情況，可以換一個(gè)詞說(shuō)“表示”）

師：誰(shuí)能將同學(xué)們說(shuō)的概括一下，到底什么是分?jǐn)?shù)？

生2完整地總結(jié)敘述。

學(xué)生結(jié)合課件說(shuō)，教師直觀演示（如圖4）：小時(shí)表示的是把1小時(shí)平均分成3份，取其中的2份。

師：把1小時(shí)看作了單位1，1節(jié)課的呢？

生3：表示的是把1節(jié)課平均分成3份，取其中的2份。

師：把1節(jié)課看作了單位1。單位1還可以這樣逐漸累加，分?jǐn)?shù)單位也逐漸遞增，產(chǎn)生新的分?jǐn)?shù)，你能說(shuō)說(shuō)表示的意思嗎？

生4：就是把1小時(shí)平均分成3份，“取”其中的4份。

師：“取”這個(gè)詞語(yǔ)用在這里還恰當(dāng)嗎？

生5：應(yīng)該是把1小時(shí)平均分成3份，“表示”其中的4份。

設(shè)計(jì)意圖：核心素養(yǎng)落實(shí)到數(shù)學(xué)上不僅是要讓學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，還要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界。在學(xué)生初步感知核心概念后，教師一是要引導(dǎo)學(xué)生自己歸納概括分?jǐn)?shù)的意義，培養(yǎng)其歸納概括能力，將所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分類、總結(jié)，并形成一套便于自己使用的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去分析世界；二是要鼓勵(lì)學(xué)生暢所欲言，從用生活的語(yǔ)言去描述世界到用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去描述世界，是學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的體現(xiàn)。此外，練習(xí)不是做得越多就越好，有比較才會(huì)有甄別，這個(gè)辨分?jǐn)?shù)活動(dòng)強(qiáng)調(diào)了單位“1”不同，對(duì)于分?jǐn)?shù)意義也不同。同時(shí)，讓學(xué)生感知多個(gè)單位“1”的累計(jì)和疊加，為后續(xù)認(rèn)識(shí)假分?jǐn)?shù)埋下伏筆，對(duì)為什么要用“表示”一詞來(lái)總結(jié)分?jǐn)?shù)的意義做出呼應(yīng)。

五、圖里深化，類比想象，拓展認(rèn)知邊界——讓學(xué)生思考“想”出來(lái)

師：（出示小棒，如圖5）看著這些小棒，你想到了哪一個(gè)數(shù)？

生1：、、、……

師：只看到了分子是1的分?jǐn)?shù)嗎？

生1：這些都是分?jǐn)?shù)單位，因?yàn)槲抑灰吹竭@些就能說(shuō)出所有的分?jǐn)?shù)。

師：了不起，一下子把所有分?jǐn)?shù)都說(shuō)完了。孩子們，這里還有別的數(shù)嗎？

生2：（急切地舉手）我看到了1 （給所有小棒比畫(huà)了一個(gè)集合圈）。

師：你認(rèn)識(shí)了單位“1”，真了不起。

生3：去掉集合圈，就是30，這是30根小棒，也就是30個(gè)一。

生4：（急切地舉手）我還想到了3，3個(gè)十（把10根小棒畫(huà)一個(gè)圈）。

師：有了計(jì)數(shù)單位的眼光，優(yōu)秀！

師：把30看作單位1，平均分成幾份，就有幾個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位，這其實(shí)和整數(shù)的計(jì)數(shù)單位很像，把它想成整數(shù)的時(shí)候，我們可以以“1”為計(jì)數(shù)單位，也可以以“十”為計(jì)數(shù)單位。

師：分?jǐn)?shù)單位，其實(shí)和整數(shù)的計(jì)數(shù)單位一樣，平均分的份數(shù)確定了，分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位就確定了，像這樣平均分成3份，每份是，一共有3個(gè)；平均分成6份，每份是，一共有6個(gè)。

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)驗(yàn)不經(jīng)過(guò)提升、內(nèi)化，難以成為學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在支撐，教師需要及時(shí)將學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行適當(dāng)提升，讓學(xué)生將活動(dòng)過(guò)程獲得的個(gè)性經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化、概括成為數(shù)學(xué)事實(shí)。分?jǐn)?shù)單位是構(gòu)成分?jǐn)?shù)的基本單位，是理解分?jǐn)?shù)的意義的重要概念，看似簡(jiǎn)單，實(shí)則是分?jǐn)?shù)的意義理解的重難點(diǎn)。因此，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)單位進(jìn)行多層次的感知、歸納、概括，不僅是課堂教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，也是幫助學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的一個(gè)重要渠道。因此，本節(jié)課進(jìn)一步用小棒圖設(shè)計(jì)了一個(gè)開(kāi)放的活動(dòng)，讓學(xué)生展開(kāi)聯(lián)想和想象，給學(xué)生留足了思考與討論的空間，在學(xué)生思考的過(guò)程中，分?jǐn)?shù)單位在不斷地摒棄無(wú)關(guān)特征、暴露本質(zhì)特征中逐漸明朗起來(lái)。學(xué)生利用知識(shí)的遷移，水到渠成地聯(lián)想到整數(shù)、小數(shù)都有計(jì)數(shù)單位，分?jǐn)?shù)也不例外，理解分?jǐn)?shù)正是由若千個(gè)分?jǐn)?shù)單位組成。

筆者認(rèn)為，“可視化”教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，不能孤立地圖畫(huà)表征，除了簡(jiǎn)單地用比畫(huà)、畫(huà)圖、語(yǔ)言辨析、想象說(shuō)理等形式表征，還需要一些輔助實(shí)現(xiàn)“可視化”的思想、方法等。

（1）“高觀點(diǎn)”立意，滲透本質(zhì)感知：新課開(kāi)始，即在引入環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)活動(dòng)，讓學(xué)生感知單位“1”“群”和集合，立意高遠(yuǎn)。

（2）“大空間”探索，活動(dòng)明晰表象：在活動(dòng)中，教師給學(xué)生提供了多元的學(xué)習(xí)素材、多樣的學(xué)習(xí)表征方式、多層次的對(duì)比類比、多角度的反思追問(wèn)，給予了足夠的時(shí)間和空間進(jìn)行探索，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)走向更深、更遠(yuǎn)、更廣。

（3）“主問(wèn)題”統(tǒng)領(lǐng)，交流挖掘本質(zhì)：在活動(dòng)中，一是通過(guò)主要問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、交流，并歸納、概括出分?jǐn)?shù)的“新”的意義，在主問(wèn)題的引領(lǐng)下，進(jìn)一步思辨、完善概念；二是通過(guò)兩個(gè)例子進(jìn)行對(duì)比，在主問(wèn)題的引領(lǐng)下，抓住分?jǐn)?shù)意義的核心要義，進(jìn)一步甄別完善分?jǐn)?shù)意義的內(nèi)涵和外延。

（4）“思想性”駕馭，拓展認(rèn)識(shí)邊界：在活動(dòng)中，學(xué)生有了不同的計(jì)數(shù)單位的眼光，能用這樣的眼光溝通整數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的脈絡(luò)。教師引導(dǎo)學(xué)生在平均分的份數(shù)和分?jǐn)?shù)單位之間架設(shè)起來(lái)一座橋梁，在小數(shù)的計(jì)數(shù)單位和整數(shù)的計(jì)數(shù)單位之間架設(shè)了一座橋梁，使學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位的理解更深刻。