引導自主探究 發展數學思維

鄧兆琴

［摘 ?要］ 在小學數學教學中，教師應為學生提供一個自主探究、平等交流的舞臺，讓學生在探究和交流中有所思、有所悟、有所感，以此鍛煉學生的數學思維，提高學生分析和解決問題的能力。文章以“雞兔同籠”為例，引導學生通過自主探究發現解決問題的多種方法，構建“雞兔同籠”問題的模型，有效地訓練了學生的邏輯思維，提高了學生的綜合學習能力。

［關鍵詞］ 自主探究；平等交流；數學思維

“雞兔同籠”是一個經典名題，在不同版本的教材上有不同的編排，在不同的年級用不同的方法演繹，比如列表、湊數、假設、抬腿、方程等，旨在通過不同思路和方法訓練學生的數學思維，培養學生的數學學習能力；同時，通過多角度探究讓學生感悟數形結合、轉化、假設等數學思想方法的價值，并在解決問題的過程中培養學生的邏輯推理能力。筆者以假設法為例，引導學生通過自主探究和互動交流逐漸厘清問題的來龍去脈，進而有效提高學生的邏輯分析和推理能力。

一、課前分析

筆者在課堂調研中發現，大多數學生認為假設法的學習難度較大，雖然能夠通過模仿解決問題，但是很難對該方法形成深刻印象，也很難靈活應用該方法解決問題。為了幫助學生突破這一難點，筆者整理歸納了學生存在的問題：一是學生通過獨立思考和合作探究發現可以應用湊數、畫圖或列表等方法解決問題，很少有學生想到用假設法解決問題。因受到“先入為主”思想的影響，學生更喜歡用前面幾種方法解決問題；二是受生活經驗的影響，學生很難理解“雞兔同籠”中只有一種動物的特殊情況；三是學生難以理解為什么明明假設的是雞，但是得出的結果卻是兔；四是學生對假設法的理解不夠深入，對問題的解決僅停留在模仿和套用的層次上，未能形成深刻認知。分析以上問題不難發現，學生對假設法的學習還停留于一個較淺的層次，沒有形成完整的解題策略。為了讓學生更好地掌握本課內容，充分發揮其在鍛煉學生數學思維、提高學生邏輯推理能力等方面的價值，筆者結合教學實際對教材進行適度的微調，以期通過循序漸進地引導讓學生切身體驗假設法在解題中的價值，幫助學生建構“雞兔同籠”數學模型，以此提高學生解決實際問題的能力。

二、課堂實施

1. 合理引入，規避干擾

教材是教學之本，在教學中教師既要尊重教材又不要局限于教材。在實際教學中，教師可以根據學生實際情況靈活調整教材內容，從而使教材更具普適性，更激發學生的探究熱情。在本課教學中，為了規避負面因素的影響，筆者對例題進行了微調，以更好地落實教學目標。

師：今天我們要開啟一個神秘之旅。

生（學生疑惑）：去哪？

師：去農場購物。（教師用PPT展示農場圖片）

師：老師今天打算買些兔和雞帶回來，不過我的籠子只能裝下8只，你們幫我想一想，我可以怎么買呢？

在引入階段，教師借助生活情境引導學生進行有序的思考，從而避免負面因素的干擾。

生1：1只雞7只兔，2只雞6只兔，……7只雞1只兔，共有7種買法。

師：哦？你們也是這樣想的嗎？難道不可以單買一種嗎？（學生恍然大悟）

生2：加上全買雞和全買兔共有9種買法。

師：老師今天買的雞和兔共有26條腿，你知道老師分別買了幾只雞和兔嗎？

思考：巧妙的提問激發了學生參與的熱情。通過設計購買方案，自然引入了包括全買雞或兔的9種購買方案，為接下來利用假設法進行探究掃清了障礙。

2. 互動交流，以學定教

數學課堂是師生互動交流的平臺，只有師生多邊活動才能提高課堂教學的有效性。在日常教學中，教師應以學生為出發點，根據課堂動態調整教學方案，以此激發學生的學習動機。在本課新授環節，教師沒有直接講授，而是鼓勵學生從自己的認知出發，通過畫一畫、湊一湊等方法嘗試尋找解決問題的方法，以此通過多角度探究點燃學生數學學習熱情。

教師讓學生獨立嘗試后，通過互動交流探尋不同的算法。

師：誰來說一說，老師是怎么買的呢？

生1：3只雞5只兔。

師：為什么是3只雞5只兔？

生1：3只雞有6條腿，5只兔有20條腿，合起來剛好26條腿。

師：具體你是怎么想的？

生1：我是先猜想再驗證的。

師：不錯，利用湊數法得到了結論，還有其他的方法嗎？

生2：我用的是畫圖法，先畫8只雞，一共有16條腿，這樣還少10條腿，再畫5只兔就變成26條腿，這樣就變成了3只雞5只兔。（生2一邊說，一邊畫）

師：非常好，還有其他方法嗎？

生3：我用的是列表法，通過剛才的分析我們知道共有9種購買方案，第一種是8只全是雞，共有16條腿，7只雞1只兔共有18條腿，以此類推，3只雞5只兔共有26條腿。

學生回答后，教師給出表1。

師：觀察表1，你們發現了什么規律嗎？

為了便于學生觀察并總結規律，教師用動畫演示雞變成兔的腿數變化的過程，進而將畫圖法和列表法建立聯系。

生4：我知道了，當1只雞轉化為1只兔時，腿數增加2條。

師：你們太棒了，很好的發現。

思考：該環節教師將主動權交給學生，鼓勵學生通過自主探究探尋不同的解決方案。從學生反饋來看，學生通過湊數、列表、畫圖等方法順利地解決了問題。為了進一步呈現學生的思維過程，教師通過追問“為什么是3只雞5只兔”，將學生的思考過程顯性化，通過互動交流豐富學生認知。此外，學生給出列表法后，教師用課件跟進，引導學生通過觀察發現雞轉化為兔后腿數的變化關系，以此加強學生的數學思維訓練，為假設法教學做好充足的知識準備。

3. 直觀感知，感悟思想

在數學教學中，通過課件、動畫等直觀演示可以有效淡化數學的抽象感，降低思維難度，激發學生數學學習興趣。在教學中通過列表、畫圖、演示幫助學生建立直觀的表現，以此促進知識的自然生成。

師：若先畫的全是雞，總腿數如何計算呢？

生1：總腿數為8×2=16（條）。

師：很好，在你剛才的圖上畫一畫，如果增加1只兔，減少1只雞，即變成7只雞1只兔又該如何計算呢？

生2：7×2+4=18（條）。

師：還有其他的方法嗎？

生3：16+2=18（條）。

師：請說一說你的理由。

師：通過“畫一畫”可知，當1只雞轉化成1只兔，腿數增加了2條，所以為16+2=18（條）。

師：很好，如果是6只雞2只兔，如何列式計算呢？說一說你的理由？

生4：6×2+2×4=20（條）或16+2×2=20（條）。前面式子易于理解，后面一個式子表示當2只雞轉化為2只兔后，腿數增加了2×2=4（條）。

接下來教師給學生3分鐘的時間繼續畫一畫、算一算，3分鐘后教師給出了表2。

師：對比以上兩種算法有何不同呢？（學生沉思）

生5：第一種算法，雞的腿數＋兔的腿數；第二種算法，全部是雞的腿數＋雞轉化為兔后增加的腿數。

師：很好，假設8只全是雞共有16條腿，再加上幾條腿能夠變成30條腿呢？

生（齊聲答）：14條。

師：那么需要將幾只雞轉化為兔子呢？

生（齊聲答）：7只。

師：所以說若有30條腿應該是幾只雞、幾只兔呢？

生（齊聲答）：1只雞7只兔。

師：很好，觀察表2，是否與你計算的結果一致呢？（教師引導觀察驗證）

師：請在紙上畫一畫這個過程？

教師預留時間讓學生通過“畫”進一步感悟轉化的過程，再用動畫展示雞轉化兔的過程，如圖1。

師：非常好，若我們第一步先假設全是兔又該如何計算呢？

生6：假設8只全是兔共有32條腿，減掉2條腿就是30條腿，1只兔轉化為1只雞少2條腿，這樣只要將1只兔轉化為1只雞即可，所以是1只雞7只兔。

師：非常好，通過畫一畫，應該如何表示這一轉化過程呢？

教師先讓學生畫一畫，然后動畫展示變化過程，如圖2。

思考：此環節教師先引導學生通過“畫一畫”思考假設全是雞時共有多少條腿，然后逐漸將雞轉化為兔，通過直觀觀察發現蘊含其中的規律，得到兩種不同的算法。為了進一步引出假設法，教師在“畫一畫”的基礎上又通過列表的方法進行演示，以此通過對比分析自然地引出假設法。在教學過程中，教師引導學生思考假設全是兔時該如何計算，進一步深化學生對假設法的理解。以上過程中，教師引導學生通過畫圖、列表、動畫等直觀演示呈現了推理過程，讓學生體驗了數學研究的樂趣，培養了學生的邏輯推理能力。

4. 語言表述，升華認知

筆者在教學中發現，大多數學生只會做不會說。部分教師認為學生只要會做即可，對“說”不做過多的要求，但是教師對“說”的不重視影響了學生提升語言表達能力，影響了學生發展數學思維。語言是思維的外殼，表達越連貫，思維就越嚴謹，因此，在日常教學中教師應關注學生語言表達能力的培養。經過前面的思考和探究，學生已經理解并掌握了解決問題的過程，接下來教師預留時間讓學生進行總結歸納，并開展語言表述活動，以此提高學生的語言表達能力，鍛煉學生的數學思維。

師：剛才我們用假設法解決了雞兔同籠的問題，結合表2、圖1、圖2，你們能再來說說具體的解題過程嗎？

教師先讓學生自由展示，然后點名讓學生表述解決過程，多名學生用多種形式講解了不同的解題過程。

師：你們能總結歸納一下，利用假設法解決此類問題的步驟嗎？

教師預留時間鼓勵學生通過互動交流進行總結歸納，以此培養學生的數學抽象能力。

思考：在教學中預留時間讓學生“說一說”，在深化知識理解的基礎上，培養學生的口頭表達能力和思維的嚴謹性。

5. 巧借練習，鞏固知識

適度的練習有助于學生鞏固知識、提升技能、啟迪思維以及提高解決問題的能力。經過前面的探究，學生已經掌握了多種解決雞兔同籠問題的方法，此時大多數學生已經迫不及待地想驗證了?；诖耍P者設計了如下問題讓學生練習鞏固：

問題1：某農場共賣出30只雞和兔，雞和兔共有88條腿，問農場賣出兔子幾只、雞幾只？

問題2：小明用10元錢購買了20分和50分的郵票共35張，問小明兩種郵票各買了多少張？

問題3：一次數學競賽共有20道題，答對1道得5分，答錯1道扣3分，小明在這次競賽中考了52分，小明答對了幾道題？

思考：問題1為學生熟悉的內容，學生通過假設全是雞或全是兔可輕松地解決問題。問題2、問題3的難度略有提升，目的是引導學生運用“雞兔同籠”中的數學思想方法解決更多實際問題，以此培養學生思維的靈活性，豐富學生的已有認知。

三、教學思考

在傳統教學中，為了追求效率，部分教師很少帶領學生參與推理和轉化的過程。因此，學生雖然能夠利用假設法得到計算結果，但是不知道自己算出來的是雞還是兔。在本課教學中，教師通過列表、畫圖等方法帶領學生經歷了雞轉化為兔和兔轉化為雞的過程，幫助學生厘清了問題的來龍去脈，有效地發展了學生的數學思維，提高了學生解決問題的能力。

從課堂反饋來看，大部分學生通過自己的分析、實踐、推理等學習活動理解了其中的關系。其實，能達到這樣的效果離不開教師的啟發和指導。首先，在教學中，教師秉承“以生為本”“以學定教”的教學理念，引導學生通過列表、畫圖等方法自主發現規律；其次，教師以學生的發現為基礎，引導學生通過直觀觀察親身經歷假設法形成的過程，增進學生對假設法的理解；最后，教師引導學生通過“說”進一步理解推理的過程，提高了學生的語言表達能力，訓練了學生的數學思維。以上教學過程充分地發揮了學生的主體作用，讓學生體驗了數學探究的樂趣，有效激發了學生的數學學習熱情。

從練習反饋來看，大多數學生能夠靈活地應用假設法解決“雞兔同籠”等相關問題，分析問題和解決問題能力得到了進一步的提升，數學思維能力得到了進一步發展。

總之，學生思維能力的發展會經歷一個漫長的過程。在實際教學中，教師切勿急于求成，應尊重學生的認知發展水平，為其提供合適的學習素材，創設合理的問題情境，鼓勵學生進行自主探究，充分發揮其主觀能動性，以此推動學生學習能力和思維能力的全面提升。