例談小學數學數與運算一致性的教學探究

劉金花

［摘 ?要］ “數與運算”是小學階段涉及內容非常多、學習時間很長的一個主題。教師要抓住這個主題的核心概念和內容，重視一致性教學，讓學生學會舉一反三，讓課堂真正做到減負增效。

［關鍵詞］ 計數單位；位值制；核心素養 一、數的一致性

1. 認知過程的一致性：數是對數量的抽象

無論是對整數、小數還是分數的認識，學生都要經歷兩個層次的數學活動：第一個層次是從具體的數量到抽象的數，第二個層次是從抽象的數又回到具體的數量。

比如，小學一年級認識10以內的數時，第一個層次的數學活動是教師要引導學生認識“5本書、5個人、5塊餅干”等具體情境，再到“5根小棒”表示“5”這個符號，這就是從具體到抽象的過程，把生活情境進行數學化；第二個層次的數學活動是讓學生用“5”這個數字說一句話，這就是從抽象回到具體，加深他們對數字“5”的認識。

比如，三年級對小數“0.1”的認識時，第一個層次的數學活動是結合生活中的具體情境來理解這個小數。比如生活中的“0.1元”“0.1千克”“0.1米”，學生結合自己的生活和學習經驗，用自己喜歡的方式來說明“0.1”這個抽象概念；第二個層次是學生透徹理解之后，換一個情境解釋其他小數（比如0.3厘米、1.7千克），起到深化建模意識的作用。

從認識數的過程來說，不管是自然數、小數還是分數，都要經歷從現實背景抽象的過程，然后脫離現實背景建立一般性的表達，最后應用于具體問題，這個認識過程是一致的。

2. 表達方式的一致性：數+計數單位

在《義務教育數學課程標準（2022年版）》的解讀中提到，數是由數字符號及其所在位置（數位）表達的。數的表達的一致性，不管表示多大的自然數或者小數時都會反復運用位值制。在位值制中，學生最熟悉的是十進制。從小學一年級開始，學生就知道“滿10進1”，知道“10個1是1個10”。隨著學習的繼續，學生逐步將自然數的數位順序表學習完整，知道自然數的進位法則都是十進制。學生從三年級開始接觸小數，五年級進一步完善對小數的認識，在對小數的意義的探究和理解中，知道了1平均分成10份得到0.1，0.1平均分成10份得到0.01，0.01平均分成10份得到0.001……由此可知，整個數的系統都可以由十進制來表達，學生從而知道沒有最大的數，也沒有最小的數。位值制的一致性體現在自然數和小數中，但在分數的認識中行不通。分數的表達必須要用上分數單位，可以把分數單位歸結為計數單位的一種特殊形式。

有了位值制之后，要表達一個數，就可以用“數+計數單位”的形式。比如：19=19個1；1.9=19個0.1；5/9=5個1/9。這樣，自然數、小數和分數都可以看作對計數單位個數的表達，在表達方式上體現了數的一致性。

二、運算的一致性

1. 運算意義的一致性

加法是最基本的運算，學生開始學習加法時的理解是兩個數量的合并。純數字的加法是若干個“1”的累加，從任何一個數開始，加幾就是加上幾個“1”。比如，“5+3”可以看成5再加上3個“1”。

減法是加法的逆運算，就是每次都減去1個“1”。當學生的數感達到一定程度，可以將減法理解為對“-1”的累加，同樣可以理解為幾個數量的合并。比如5-3=5-1-1-1=5+（-1）+（-1）+（-1），可以看作5和3個（-1）的合并。

乘法是加法的簡便計算，表示若干個相同數的連加，本質上還是加法。除法是乘法的逆運算，本質上是連減，當然也可以看作加法的運算。比如“12÷3”表示的是12里有幾個3，其實就是算12是幾個3的合并。

所以，基礎的加減乘除運算都可以看作加法的運算，從運算意義上看具有一致性。

2. 運算方式的一致性

（1）對計數單位個數的累加

在加法和乘法運算中體現的一致性是對計數單位個數的累加。乘法作為加法的簡便運算，有這種一致性是必然的。比如，加法的基礎運算：30+20=3個10+2個10=5個10=50；0.3+0.2=3個0.1+2個0.1=5個0.1=0.5；+=3個+2個=（3+2）個=5個=。

由于加法是對相同的計數單位的個數的累加，所以異分母分數的加減法需要先統一分數單位。如果學生在以前的學習中已經認識到加法運算的一致性，那么接受異分母分數加減法是很容易的事情。當然減法作為加法的逆運算，“累加”就要轉化成“遞減”來理解了。

比如，乘法的基礎運算：30×3=（3個10）×3=（3×3）個10=9個10=90；0.8×3=（8個0.1）×3=（8×3）個0.1=24個0.1=2.4；×3=（4個）×3=（4×3）個=12個=。

由乘法的基礎運算可以看出，乘法運算也是對計數單位個數的累加，從這個角度看復雜的乘法運算學生更容易接受。比如：3.2×3.8=（32×0.1）×（38×0.1）=（32×38）×（0.1×0.1）。這里可以把0.1看成，那么0.1×0.1就是算0.1的是多少，根據小數的意義和位值制可以知道0.1的就是0.01，所以0.1×0.1=0.01。

（2）對計數單位個數的均分

在除法運算中體現的一致性是對計數單位個數的均分。除法作為乘法的逆運算，它們之間既有直接的聯系，又有明顯的區別。

比如，除法的基礎運算：12÷3=（12個1）÷3=（12÷3）個1=4個1。這里12÷3就是整除，計數單位的個數足夠均分。但是除法計算中有很多是不能整除的，比如小數除法：12÷5=（10+2）÷5=（10個1）÷5+（2個1）÷5，這里的（10個1）÷5就是整數的除法，計數單位的個數正好整除；（2個1）÷5，學生在二年級的時候可以作為有余數的除法，到了五年級學小數除法的時候，在對小數計數單位充分認識的基礎上再進行運算，這里的運算就變成：2÷5=（2個1）÷5=（20個0.1）÷5=（20÷5）個0.1=4個0.1=0.4。

這里明顯可以看到，當計數單位的個數不夠均分時，就要進行計數單位的細分，擴大計數單位的個數，這樣就可以再次進行計數單位的均分。這里體現了數與運算的一致性，在進行數的運算時，十進制計數法的表達是學生能進行正確運算的依據。

在分數除法的運算過程中，計數單位的均分和細分再次體現（這里的計數單位就是分數單位）。比如，÷2=（4個）÷2=（4÷2）個=2個=（計數單位的個數可以均分）；÷3=（4個）÷3=（12個）÷3=（12÷3）個=4個=（計數單位的個數不夠均分，需要細分計數單位）。

三、數與運算的一致性

1. 核心要素的一致性

核心要素有位值制、計數單位、運算律。數的表達離不開計數單位和位值制。運算的過程是一個推理的過程，在這個過程中要用到運算的意義、數的表達方式和運算律。

此外，運算的對象是數，而數的認識從一開始就和運算有關。比如，從1+1得到“2”就是數的運算帶來的數的擴充。隨著數的認識越來越廣，運算的內容也越來越復雜，但是基本的算理是一致的，都要與數的意義進行聯系，都要對計數單位進行操作，都要依據運算律進行推理，這些也體現了數與運算的整體性。

2. 關鍵能力的一致性

關鍵能力包括數感、推理意識、運算能力等。數的表達中，對數的意義的認識特別有助于學生數學數感的培養。比如對數的組成的分析、數的大小的比較、近似數的求法都能幫助學生加深對數的認識。學生在對小數、分數的大小比較以及求近似數的過程中，都有其推理意識的體現，也能夠培養其估算意識；學生在進行數的運算的過程中，對結果的估算、算理的滲透、算法的明晰，處處都能感受到關鍵能力的存在。

四、教學建議

1. 注重內容的結構化

小學階段數與運算的一致性要求教師在處理這一部分的內容時，要注意將具有相同本質特征的學習內容進行整合，這就是新課標提到的內容結構化。教學內容的結構化既有助于學生整體理解學科內容，完整把握某一個主題下的知識結構，又能夠促進學生深入理解核心概念及其蘊含的核心素養。比如，學生學習小數乘小數之后，知道計算小數乘小數要先轉化成整數乘法來計算。在學習小數除以小數的時候，學生有了學習經驗，就能猜測應該轉化成整數除法來計算。

比如，在學習小數乘整數時，教師可以先梳理80×3的算法，讓學生回憶：80×3=8個10+8個10+8個10=（8×3）個10=24個10=240。這樣，學生在計算0.8×3的時候，首先會想到3個0.8相加，就是8個0.1+8個0.1+8個0.1=（8×3）個0.1=24個0.1=2.4。將小數乘整數和整數乘法放在一起進行結構化教學，學生學起來會覺得更簡單、更輕松。

2. 將未知轉化為已知

部分小學生學習數學越學越覺得“難”，無法找到學習的突破口，覺得每天新知識的學習都是一項巨大的挑戰。如果教師能夠將未知轉化為已知來進行教學，化難為易、化繁為簡，學生會更容易接受，更樂于學習。

比如，在教學小數乘小數時，學生對于“一位小數乘一位小數的積是兩位小數”這個知識點的理解，總是會出現“0.4×0.4=1.6”這樣的錯誤。這時候學生對課本上新授部分的教學不容易接受，教師就可以利用學生已有的其他知識經驗來解決。

方法1：依據簡單的推理，0.4×4=1.6，那么0.4×0.4自然是0.16。

方法2：將0.4×4和0.4×0.4的計算過程進行對比。

0.4×4=（4×0.1）×4=（4×4）×0.1=16×0.1=1.6；

0.4×0.4=（4×0.1）×（4×0.1）=（4×4）×（0.1×0.1）。

在這個推理過程中會產生一個新的問題：0.1×0.1=？

可以這樣利用小數的意義去思考：0.1×0.1=（1÷10）×（1÷10）=1×1÷10÷10=1÷（10×10）=1÷100=0.01。

所以：0.4×0.4=（4×0.1）×（4×0.1）=（4×4）×（0.1×0.1）=16×0.01=0.16。

3. 基于核心素養進行教學

教師對數與運算一致性的研究越深入，對這部分內容關鍵能力和重難點的把握就會越透徹。教師在教學的時候，對學生“四基”“四能”的培養要更重視，對學習過程中所體現的關鍵能力、核心素養要更加重視。在數與運算這部分的教學中，教師要引導學生不要出現算理和算法脫節、只知“法”不知“理”的情況。

在過去的教學中經常會出現這樣的情況：一個簡單的口算（比如0.15×4），讓學生回答口算過程時，學生都是列出豎式計算。究其原因就是教師在教學豎式時，學生只明晰算法卻不知道算理。在小數除以小數時也會出現類似的情況，比如0.56÷7、0.56÷0.7這兩道算式，部分學生對口算的方法答不上來，全憑列豎式才能進行計算。由此可見，教學時如果教師僅關注學生運算能力的培養，忽視推理過程的教學，不利于學生核心素養的形成和發展。長此以往，學生只會機械地學習，數感、推理意識等關鍵能力會出現缺失。

總之，在新課標的理念之下，在數與運算的教學中教師要關注知識結構的整體性和一致性，要以學生為本，制定結構化的教學目標，幫助學生建立完善的知識系統，逐步形成核心素養。