指向“思維發展”的數學深度教學探索

鄧秋艷

［摘 ?要］ 思維是學生數學學習的內核，是學生數學學習的重要支撐。在小學數學學科教學中，教師要啟發學生學習方向，觀照學生學習起點，注重學生學習分析，激發學生學習遷移，從而有效地培育學生的“聚合性思維”“發散性思維”“批判性思維”“創造性思維”等。教師要不斷地開掘學生的思維潛質、潛能，提升學生學習質量，優化學生學習品質，完善學生學習生態，讓學生的數學學習不斷升級。

［關鍵詞］ 小學數學；思維發展；深度教學

思維是學生數學學習的重要載體、支撐，學生的數學學習依賴于思維。數學思維具有抽象性、嚴謹性、概括性的特點。在小學數學學科教學中，教師要有意識地發展學生的思維，引導學生開展抽象與推理、歸納與概括、批判與創新等思維活動。指向學生的數學思維發展的教學應當是一種深度教學。教師要通過深度教學，提升學生的數學學習質量，優化學生的數學學習品質，完善學生的數學學習生態。

一、啟發學生學習方向，培育“聚合性思維”

“聚合性思維”又稱為“收斂性思維”“求同性思維”“集中性思維”“輻集性思維”等。聚合性思維的思維方向往往是單一的，指向明確的［１］。在小學數學學科教學中，教師要賦予學生數學學習方向，讓學生的數學學習避免盲目性，富有針對性。聚合性思維具有條理性、邏輯性、規律化等特質。在教學中教師要滲透、融入相關的聚合性思維方法，比如目標思維法、求同思維法、求異思維法。聚合性思維具有聚焦性，能引導學生對某個相關問題開展富有深度的思考、探究，有助于學生對某一數學知識點進行深度加工。

在小學數學學科教學中，教師可以通過設置“大任務”“主問題”，賦予學生數學思考探究的方向，讓學生的數學思考、探究有目標、有條理，讓學生能開展有序性的思考、探究。以“梯形的面積”的數學教學為例，教師可以給學生搭建一個聚合性思維的框架：將梯形轉化成什么圖形？怎樣轉化？不同的學生基于不同的已有知識經驗、認知傾向，會產生不同的轉化目標，形成不同的轉化路徑、策略。比如，有的學生想將梯形轉化成長方形，有的學生想將梯形轉化成平行四邊形，有的學生想將梯形轉化成三角形等。當學生有了轉化的目標、方向，就會思考“梯形”和轉化之后圖形之間的關系，就會探究不同的轉化方法，比如“剪拼法”“倍拼法”“分割法”等。賦予了學生的數學學習目標、方向，學生的數學學習就如同吃了一顆“定心丸”，他們會沿著學習的方向走下去，進而能自主建構、創造數學知識。

聚合性思維是一種非常重要的思維形式，是一種有范圍、有方向、有條理、有邏輯性的思維形式，能有效引導學生探尋數學學科知識的本質。在小學數學學科教學中，教師要引導學生搜集與解決問題有關聯的資源、素材、信息等，并對資源、素材、信息等進行篩選、整理。聚合性思維能有效引導學生開展數學思考、探究，讓學生的數學學習走向深度。

二、觀照學生學習起點，培育“發散性思維”

學生的數學學習總是從已有知識經驗出發。不同的學生，由于知識經驗不同，其思維有一定的差異。這種差異不僅表現在思維內容的差異上，而且表現在思維方向的差異上，不同方向的思維形成了一種發散性。“發散性思維”又稱之為“輻射性思維”“放射性思維”“擴散性思維”“求異性思維”等［２］。如果說，聚合性思維賦予了學生的數學思維的深度性，那么，發散性思維則賦予了學生數學思維的廣度性。

在小學數學學科教學中，教師可以通過“一題多解”“一題多用”等的方式，讓學生的數學思維呈現出一種擴展、發散的狀態。教師在數學教學中要激發學生的多元化思考，引導學生進行多元化探究。發散思維往往以問題為中心將相關知識嵌入情境之中，發散性思維具有變通性、流動性、獨特性等特質。比如教學“分數乘法”和“分數除法”等相關內容之后，教師要引導學生在問題分析的過程中開展多樣化的思考，對于不同起點的學生的數學學習要區別對待，要鼓勵、引導學生超越傳統的“單位‘1的量已知用乘法計算”“單位‘1的量未知用除法計算”的固化思路，引導學生對“單位‘1的量”進行轉化。比如，“甲數比乙數多三分之一”可以轉化為“甲數是乙數的三分之四”“乙數是甲數的四分之三”“乙數比甲數少四分之一”“甲數比乙數多的占甲乙總和的七分之一”“乙數比甲數少的占甲乙總和的七分之一”等。有了這樣的靈活的轉化、思考，學生就能超越傳統的固化思路，形成一種寬暢性的思路。這種寬暢性的思路能讓學生在解決同一個數學問題時，既可以用分數乘法來解決，也可以用分數除法來解決。

發散性的數學思維是一種多角度、多層次的思維。在數學教學中，教師要開闊學生的數學思維廣度，延伸學生的數學思維觸角，讓學生能開展自主性、自能性的思考、探究。對于學生的一些獨特性思考方法，教師要予以呵護、鼓勵。只有這樣，才能讓學生有意愿去思考、探究，去積極主動地揭開數學知識之謎，獲得數學學科知識的本質內涵。發散性思維讓學生的數學學習更有效度。

三、注重學生學習分析，培育“批判性思維”

學生數學學習的過程是一種對信息的加工、分析、甄別的過程。在小學數學教學中，教師要引導學生評估自我的學習、調整自我的學習，對自我的學習進行有效監控。這種注重自我分析的學習，其本質上是一種元認知學習［３］。元認知學習能有效培育學生的數學質疑能力，激發學生的批判性思維。教師可以通過設置一個相關的問題，引導學生彼此之間進行互動研討，通過比較與分析、歸納與演繹等，拓展其思維深度，提升其思維效度。

教師對學生的數學學習進行分析時，關鍵要引導學生進行自我分析。只有引導學生自我分析、自我審視，才能讓學生更積極、主動地去質疑。比如教學“平行四邊形的面積”這一部分內容時，筆者引導學生分組研討、提出假設：平行四邊形的面積可以怎樣計算？針對這樣的問題，有的學生提出（假設1）可以用平行四邊形的底乘斜邊，有的學生提出（假設2）可以用平行四邊形的底乘高。

面對學生的不同假設，筆者繼續追問：如何驗證假設？學生對假設進行積極的分析：有的學生提出，可以將平行四邊形放置到方格紙上來驗證；有的學生提出，可以讓他們各自陳述理由等。在驗證的過程中，學生發現用平行四邊形的底乘斜邊與實際測量數據的差距較大，用底乘高與實際測量的數據完全吻合。在驗證的基礎上，筆者的追問引發學生的批判性思維：有的學生認為平行四邊形可以推拉成長方形，長方形的長相當于平行四邊形的底、長方形的寬相等于平行四邊形的斜邊；長方形的面積等于長乘寬，所以平行四邊形的面積等于底乘斜邊。這樣的推理嚴密嗎？正確嗎？通過引導學生反思、審視，讓學生深刻認識到，平行四邊形在推拉成長方形的過程中，面積發生了變化，所以不能用推拉的方法來推算平行四邊形的面積。這樣的質疑、批判，能讓學生邁向正確的數學實驗之路。

教師引導學生的數學分析時，關鍵要引導學生進行深度互動。教師要引導學生厘清解決問題的思路、方法，要引導學生總結、分析數學實驗的成敗的原因、因素等。教師要鼓勵學生大膽質疑，根據綜合分析、研判得出正確的數學結論，以此培養學生的質疑性品質、批判性品質，這是深度教學的重要特質。

四、激發學生學習遷移，培育“創造性思維”

創造性思維既指特殊才能的創造性思維，也指自我實現的創造性思維。對于小學生來說，他們的創造顯然不是指“原始知識”的創造，而是指自我的生命實踐創造。這樣的“創造”，數學教育家弗賴登塔爾稱之為“再創造”，“學生學習數學的唯一方法就是再創造，也就是將要學習的知識自己創造出來”。這里，筆者無意賦予“再創造”本體論的高度，只是認為學生的學校數學學習創造，更多的是“再創造”。

“創造性思維”是在“發散性思維”和“批判性思維”等基礎上發展起來的一種綜合性思維，它往往能突破理論的權威，能突破認知的禁錮和思維的定式，是一種高階的思維狀態。教師要引導學生的思維進階，讓學生的思維抵達高階狀態。創造性思維具有一種新穎性、獨特性的特質。在小學數學學科教學中，教師要鼓勵學生打破常規，激發學生的創新思維的火花，讓學生能應用已有的知識解決實際問題。一般來說，越富有挑戰性的問題，越能激發學生的創造性思維。

比如，教學“分數的大小比較”這一部分內容時，教材給出了具體的情境，這樣的分數大小比較的教學，容易限制學生的比較思維。為此，筆者在教學中出示了一個“去情境化”的分數，引導學生調動已有的知識經驗進行比較。常規的思維、做法就是“通分比較”，而創造性思維則不囿于定論，學生需要積極尋找多樣化的比較方法。比如，有的學生想到了可以將分數化成小數進行比較；有的學生說可以讓分子變成相同后進行比較；有的學生認為要靈活進行比較，如果一個分數比二分之一小，另一個分數比二分之一大，就可以直接進行比較；有的學生認為賦予它們具體的情境，然后將分數化成整數進行比較；還有的學生認為，可以用一個分數除以另一個分數，如果除下來小于1，就是作為除數的分數大，如果除下來大于1，就是作為被除數的分數大等。

數學問題激發了學生超乎尋常的思考。在整個過程中，教師要引導學生反思自己的學習狀況，發現并修正在知識加工、概念理解以及實踐操作中的相關問題，從而幫助學生豐富自我的解決問題的策略，引發學生深度學習，讓學生產生積極的學習動機。在這個過程中，教師要鼓勵學生質疑、研討，鼓勵學生進行自主性、自能性建構。

在培育學生的創造性思維的過程中，教師要引導學生不迷信、不盲從，要引導學生善于變通，善于換個角度思考問題，這樣就能有效提升學生的發散性思維、批判性思維、創造性思維品質。創造性思維是一種不滿足于已有的結論、不滿足于已有的探究方式、學習過程的思維，“創造性思維”能打破人們的慣常思維、習慣認知［４］。教師要通過發展學生創造性思維，不斷地開掘學生的思維潛質、潛能，引導學生的數學學習向數學知識本質更深處漫溯。

思維是學生數學學習的內核，是學生數學學習的重要支撐。在小學數學學科教學中，教師要激發學生思維；要建立“磋商式互動機制”，讓學生在自主思考探究過程中進行互動、交流、對話、協商；要相機引導學生開展聚合性思維、發散性思維、批判性思維、創造性思維等活動。在這個過程中，教師要賦予學生充分的思維時空、權利等，鼓勵學生“另辟蹊徑”，保護學生的“異想天開”，理解學生的“獨樹一幟”，讓學生在思維過程中相互啟發、相互成就、相互生成，引導學生積極、主動地投入到學習活動中。

參考文獻：

［１］ 彭亮，徐文彬. 小學數學教學中“數據分析”的培養——從《可能性》一課教學說起［Ｊ］. 教育研究與評論（小學教育教學），２０２０（０１）：３４－３８.

［２］ 蘭凌. 教給學生學習數學的思維方法［Ｊ］. 小學教學參考，２０００（１１）：３１.

［３］ 陳華忠. 提升數學核心素養的五個著眼點［Ｊ］. 江西教育，２０１６（２９）：７３－７４.

［４］ 馮茁. 教育場域中的對話［Ｍ］. 北京：教育科學出版社，２０１１.