通信延遲下自適應容錯控制及其在航天器編隊中的應用

李剛 周尚波 郭尚志 孟菲

doi：10.11835/j.issn.1000.582X.2024.04.009

收稿日期：2022-09-21

基金項目：國家自然科學基金面上資助項目（62373104，62272070）。

Foundation：Supported by National Natural Science Foundation of China （62373104， 62272070）.

作者簡介：李剛（1987—），男，碩士研究生，主要從事模式識別、控制工程與控制理論方向研究，（E-mail）turolee@126.com。

摘要：為解決編隊系統存在的參數模型變動范圍不可預測、執行器部分失效等問題，設計提出了一種自適應魯棒容錯編隊控制方法。給出航天器相對位置非線性動力學模型，設計了自適應魯棒容錯控制器，并且分別設計自適應律估計故障大小、質量和外界擾動上界，同時分析了閉環系統的Lyapunov穩定性，給出系統穩定所需要的條件。數值仿真結果表明，提出的控制方法能實現編隊跟蹤控制的目標，位置跟蹤穩態誤差小于m，速度跟蹤穩態誤差小于m，驗證了所提出方法的有效性。

關鍵詞：編隊系統；容錯控制；通信延遲；穩定性

中圖分類號：TP391????????? 文獻標志碼：A????? ?? 文章編號：1000-582X（2024）04-104-10

Adaptive fault-tolerant control with communication delays and its application in spacecraft formation

LI Gang， ZHOU Shangbo， GUO Shangzhi， MENG Fei

（College of Computer Science，Chongqing University， Chongqing 400044， P. R. China）

Abstract： An adaptive， robust， fault-tolerant formation control approach is proposed to address the challenges of actuator faults， parameter uncertainty， external disturbances， and communication delays within a formation system. The nonlinear dynamics model of spacecraft relative positions is presented. The adaptive robust fault-tolerant controller is designed with bounded input， and adaptive laws are developed to estimate the values of actuator faults， mass， and upper bound of external disturbances， respectively. Additionally， the Lyapunov stability of the closed-loop system is analyzed， and the necessary conditions to ensure system stability are provided. Numerical simulation results show that the presented control method enables effective formation tracking control， with steady state error of location tracking is less than 1.5×10-3 m and steady state error of velocity tracking is less than 1.8×10-5 m， validating the effectiveness of the proposed method.

Keywords： formation system; fault-tolerant control; communication delay; stability

航天器編隊系統是由多個正在飛行的航天器組成的分布式系統，這些航天器在空間中以特定編隊形狀協同工作。系統中采用星間模式的通信方式實現航天器的信息共享，確保彼此之間的協同配合。這種協同工作的模式使航天器編隊系統能更高效完成任務，并提高整體系統的可靠性、穩定性。航天器編隊系統相比單顆具有成本低、可靠性高、靈活性強等優勢，在軍民市場領域均有廣闊發展空間[1?3]。開發高效協同控制算法將對成功執行航天器編隊任務起到至關重要作用，確保航天器之間的緊密協作，從而提高任務的執行效率和整體性能。文獻[4?5]設計了航天器自適應編隊控制算法，實現系統漸近穩定。文獻[6]考慮輸入飽和的航天器相對位置協同控制方法。文獻[7]通過引入擾動觀測器方法，估計并補償了外界擾動對系統的影響，提出一種分布式編隊控制器，對閉環系統的穩定性進行分析。

在編隊飛行過程中，復雜的空間環境可能導致執行器故障和通信延遲，導致控制性能下降甚至系統失穩，因此，設計控制器必須考慮執行器故障和通信延遲影響。文獻[8]研究了通信延遲下的編隊控制問題，系統控制輸入是有界的。文獻[9]提出自適應滑模控制方法，解決航天器編隊在重構過程中的容錯控制問題。文獻[10]設計了自適應分布式姿態協同容錯控制器，適應只有部分獲知跟蹤信號情況。文獻[11]設計了基于對偶四元數的有限時間容錯控制算法，并且考慮參數不確定性和擾動因素。

筆者提出一種自適應容錯協同控制策略，該策略具備處理多種復雜情況的能力，包括執行器故障、通信延遲、參數不確定性以及外界擾動等，把所提出的方法應用于航天器編隊控制器設計中。對所提出的控制算法，分析了系統Lyapunov穩定性，給出系統穩定的條件，實現編隊系統協同跟蹤控制的目的。

1 問題描述

1.1 編隊系統數學模型

起初設定2套基準坐標系，地心慣性為和參考航天器為，對于參考航天器的坐標系，為坐標原點，定義其為質心，并設定軸由地心指向它。圍繞參考航天器的軌道平面，軸與其相互垂直，并與另外2個軸（軸和軸）滿足右手定則。

對標參考航天器坐標體系，設定第顆航天器位置矢量，表示為，速度表示為。基于這些定義和設定，航天器之間的相對運動方程可表示為[6]

，? （1）

，? （2）

，? （3）

，??? （4）

，? （5）

式中：地球引力常數用表示；航天器對應i顆的質量設為；則是參考航天器與第i顆編隊航天器之間的距離；表示第i顆航天器的控制力；為第i顆航天器承載的擾動力，需要求；則是相對地球質心來說參考航天器的距離。

考慮系統存在執行器部分失效的情形，則控制力可表示為

，? （6）

其中：表示需要設計的控制器；為不確定的輸入故障；表示執行器效率矩陣，并且滿足如下假設

假設1：執行器效率矩陣滿足，其中為未知常數。并且是有界的，滿足。

在航天器編隊協同機動過程中，保持隊形穩定是一項關鍵任務。為了確保第i顆編隊航天器能夠按照預定的隊形位置進行移動，需要設定其期望位置為。這個位置由2部分構成：一部分是為編隊系統中心相對于參考航天器的期望位置矢量，另一部分則是第i顆航天器相對于編隊中心的具體位置矢量。為了維持這一隊形，還需要計算并控制航天器的期望速度為，以確保它們能夠協同、有序地完成機動任務。算法重點為，根據編隊航天器相對運動的數學模型（1）～（5），設計一種控制器，確保在特定時刻，當時，有和成立。此外，在跟蹤誤差的瞬時收斂過程中，該控制器需要保證跟蹤誤差和相關參數的穩定性和收斂性，控制器能達到和成立，以確保整個編隊系統的協同運動按照預期進行。

1.2 圖論

文中運用加權有向圖這一工具形象描繪航天器之間的局部信息交流情況。為了深入分析所設計的控制算法，構建了由節點集、邊集以及加權鄰接矩陣共同構成的加權有向圖模型。在這個模型中，如果第j個航天器向第i個航天器發送信息，那么圖中就會有一條從第j個節點指向第i個節點的邊，用符號作來表示這種信息流向。此外，加權鄰接矩陣中的元素定義如下：當，，否則，通過這種方式，能夠更清晰地理解和分析航天器編隊系統中各航天器之間的信息交互和控制邏輯。

對于任意的，成立，則有向圖稱為平衡的。

2 控制器設計

假設航天器質量未知，并且信息交互存在通信延遲。定義位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差分別為和，并且輔助中間變量設計為

。? （7）

由式（1）（6）（7）可得

，? （8）

其中

。? （9）

總擾動并且滿足

，? （10）

其中，表示總擾動的上界。為了進一步分析，先給出下面的引理。

引理1 假設有界，為實數，則成立

。? （11）

證明：通過計算可得

（12）

因此，式（11）成立。

引理2[12]對于所有實數以及所有非零實數，以下不等式恒成立

，? （13）

其中：，其最小值滿足：滿足方程。

設計分布式容錯控制器和自適應律為

，? （14）

，? （15）

，? （16）

，? （17）

，? （18）

，? （19）

其中：；是的估計；是的估計；是的估計，并且滿足；為加權鄰接矩陣第i行j列元素；表示第i顆航天器收到第j顆航天器信息的延遲；，常數，，，，。

定理1對于航天器編隊控制系統（1）-（5），設計自適應容錯控制器為式（14）-（19），如果通信拓撲是有向的平衡圖，并且對于任意的，控制器參數滿足

，? （20）

，? （21）

其中，常數，。則位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差最終收斂到零。

證明：選取Lyapunov函數為

（22）

其中：；；，由假設1給出。對上式第一項求導，可得

（23）

根據引理1和式（14）可得

（24）

由于通信拓撲是平衡有向圖，則成立，因此

。? （25）

同時注意到

。? （26）

對式（22）求導并把式（23）～（26）代入可得

通過進一步計算可得

（28）

由引理2可得

，? （29）

由和式（18）可得。利用，

和式（29）可得

（30）

并且有

。? （31）

把式（17）、（18）、（30）和（31）代入式（28），并由式（22）可得

（32）

對上式兩邊在區間積分可得

（33）

由式（19）可知有界，且

。? （34）

因此，有界。可見有界，所以、、和有界。由式（8）和（14）可得

。? （35）

可見是有界的。同時由式（33）可得

（36）

因此，并且。根據Barbalat引理[13]，可得。因此

，? （37）

式（37）可視為一階系統，輸入為收斂到零的信號，因此狀態收斂到零，收斂到零。

與文獻[13-16]中考慮的常值通信延遲不同，算法適用于通信延遲是隨時間變化的情形，且不要求，因此更具有一般性。當然，為了分析系統穩定性，要求通信延遲滿足式（20），即通信延遲是慢變的。

3 數值仿真

3.1 仿真參數設置

為了驗證提出控制方法的有效性，對控制器（14）-（19）進行仿真驗證和分析。仿真設定4顆航天器組成編隊系統，4顆航天器的初始位置設置以航天器為中心、半徑為500 m的空間圓上，形成一個正方形編隊。編隊控制的主要目標是使整個航天器系統協同機動到一個新的空間圓上，新圓心的坐標位于參考系原點處，該圓的半徑達到800 m，并且它與yz平面保持平行。在機動過程中，必須確保正四邊形的編隊隊形能夠盡可能維持穩定。

對于參考航天器來說，假設其軌道六要素分別為，，rad， rad， rad， rad，并設定其質量為。編隊航天器質量分別為不同的非零值，， ， ， ，確保仿真的多樣性和真實性。系統初始位置和速度分別設為

m，

m，

m，

m，

m/s， 。

定義編隊航天器在編隊中心坐標系中的坐標位置和速度矢量

，

，；

，

；

，

，。

編隊系統中心的期望位置和期望速度分別設定為

， 。

因此編隊航天器需要跟蹤的期望位置和期望速度為

， 。

編隊中的航天器都需要跟蹤相應期望位置和期望速度。

控制器的參數選取為

，，， ，，，

。

通信延遲設為

。

執行器效率矩陣設為

。

不確定的輸入故障設為

。

鑒于仿真場景設定為近地低軌道，航天器運動中主要受到兩類擾動的影響：一是由于地球扁率導致的項攝動，另一類是大氣阻力。關于大氣阻力，其產生的加速度計算公式為

。

其中：氣動系數以表示；有效截面積為（一般定義作為參考值）；航天器在絕對空間中的運動速度由矢量符號表示；大氣密度則由符號來標識。

3.2 仿真結果分析

為了精準量化隊形跟蹤和隊形保持的性能表現，引入并定義2個關鍵指標：隊形跟蹤誤差和隊形保持誤差

，? （38）

（39）

通過分析航天器編隊系統的初始位置與期望的正四邊形編隊構形，可得出以下結論：在隊形機動過程中，值越小，意味著隊形跟蹤誤差越小，即編隊航天器越能精確跟隨理想隊形軌跡；同樣地，值越小，則表明隊形保持性能越優越，編隊構形在動態環境中的穩定性更高。

為了凸顯研究提出控制方法的優越性，將控制器（14）-（19）與文獻[8]提出的控制器進行仿真對比實驗。通過對比，更清晰地展示方法在穩態誤差、穩定性和魯棒性方面的優勢。文獻[8]提出的控制器為

，

其中為文獻[8]設計的虛擬角速度，表示為。

航天器編隊系統仿真結果如圖1～4所示。圖1給出了編隊航天器在參考坐標系下的三維運動軌跡，編隊航天器最終成功機動到了預設的空間圓上，滿足了隊形整體機動要求。為了更直觀展示這一過程，圖2展示了編隊航天器位置跟蹤誤差曲線，圖3描繪了速度跟蹤誤差的變化情況。從這2張圖可以看到，位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差能夠較快收斂到零。圖4給出了在控制器（14）-（19）與文獻[8]提出的控制器作用下，隊形跟蹤誤差和隊形保持誤差的仿真對比結果，從圖中可以明顯看出，在2種控制器下系統最終都能實現隊形跟蹤誤差和隊形保持誤差收斂到零，實現編隊系統穩定運行；同時相比文獻[8]的控制器，提出的控制器收斂速度更快且系統超調量更小。整體控制性能數據對比結果由表1給出，包括位置跟蹤穩態誤差、速度跟蹤穩態誤差、的穩態誤差和的穩態誤差，從表中可以發現提出的控制器優勢較為明顯，僅在的穩態誤差這一項稍弱于文獻[8]的控制器，且差距不大；其他3項控制器都明顯強于文獻[8]的控制器。

4 結? 語

針對執行器故障、外界擾動和通信延遲等約束因素，提出一種魯棒自適應容錯控制方法，能夠適應通信延遲隨時間變化的情形，并且把提出的方法應用于航天器編隊控制器設計中。對于所提出的控制算法，分析了閉環系統的Lyapunov穩定性，給出了系統穩定性的條件，同時進行了數值仿真，仿真結果表明提出的控制方法具有較好性能，驗證了算法的有效性。

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（編輯侯湘）