依托教材,返璞歸真：立體幾何中的截面問題

? 江蘇省揚州市江都區仙城中學 徐曉軍 王 顏

在處理立體幾何綜合問題時,經常會碰到截面問題,其是基于借助一個平面(或不共線的三點、一直線與該直線外一點、兩平行直線等)去截對應的空間幾何體,進而所創設的問題場景及其相應的應用問題.此類截面問題,合理構建“二維”與“三維”之間的聯系,從而構建平面幾何與立體幾何的升維與降維思想,一直是高考數學命題中比較常見的一類基本考查方式,備受關注.

1 依托教材,構建概念

1.1 鏈接教材

問題(人教A版必修第二冊第138頁例3)圖1所示的一塊木料中,棱BC平行于面A′C′.

圖1

(1)要經過面A′C′內的一點P和棱BC將木料鋸開,在木料表面應該樣畫線?

(2)所畫的線與平面AC是什么位置關系?

該問題涉及在空間幾何體木料中過直線BC與直線外一點P的截面問題,合理確定截面的作法以及對應的幾何性質等.

1.2 構建概念

截面：用一個平面去截一個空間幾何體(經過空間幾何體內部的點),得到的平面圖形叫做這個空間幾何體的截面(其中,截面與空間幾何體表面的交線叫做截線).特別地,經過空間幾何體的內部,每邊都在空間幾何體表面上的封閉圖形,可以作為空間幾何體的截面.

2 返璞歸真,應用類型

立體幾何中的截面問題,場景變化多端,題型新穎,可以通過截面的作法與確定來反映幾何本質,疊加“平面”與“立體”之間的聯系;借助截面對應的平面幾何圖形確定以及相應形狀的判斷等來突出能力,凸顯空間想象能力以及相應的數學思想方法應用;結合截面圖形的周長或面積等數值的求解或最值的確定來著力創新,強化數學的應用意識與創新意識等.

2.1 截面作法

例1如圖2,P,Q,R三點分別在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1和DD1上,試寫出過P,Q,R三點的截面作法.

圖2

分析：根據題設條件,從最高點Q出發,確定直線QP,QR與對應底面棱所在直線CB,CD的交點,在底面ABCD中進一步確定對應直線的交點,從而確定相關直線與直四棱柱的對應棱的交點情況,即可確定對應的截面,得到截面的作法.

作法：(1)連接QP,QR并延長,分別交CB,CD的延長線于點E,F;(2)連接EF,交AB于點T,交AD于點S;(3)連接RS,TP.如圖3,五邊形PQRST即為所求截面.

圖3

點評：對于立體幾何圖形中的截面問題,在具體的截面作圖與應用時要做到“心中有圖”,通過相關的點、直線等要素,綜合平面確定的條件,由立體幾何中的“三維”圖形合理轉化為平面幾何中的“二維”圖形,要求具有較強的空間想象能力,并會加以合理直觀想象與數形結合應用.

2.2 形狀判斷

例2在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BB1=2BC,點P,Q,T分別在棱BB1,CC1和AB上,且B1P=3BP,CQ=3C1Q,BT=3AT,則平面PQT截長方體所得的截面形狀為( ).

A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形

分析：本題依據刻畫平面性質的基本事實及推論作出截面圖形,然后加以判斷.

解析：如圖4所示,連接QP并延長交CB的延長線于點E,連接ET并延長交AD于點S,過點S作SR∥EQ交DD1于點R,連接RQ,則五邊形PQRST即為平面PQT截該長方體所得的截面.

圖4

點評：此類涉及立體幾何中的截面形狀判斷以及相關幾何性質的應用問題,解題的關鍵就是綜合空間幾何體的結構特征,合理空間想象與直觀分析,有時還要通過數學運算以及準確的邏輯推理來分析.

2.3 數值求解

分析：根據題設條件,合理通過圖形直觀來確定對應的球面特征.這里要注意,球面交線的一種類型是在頂點A所在的三個面上,另一種類型是在不過頂點A的三個面上.這些曲線均為圓弧,分別求其長度并結合圖形的對稱性即可得結果.

圖5

故選：A.

點評：這里要注意的是,球與平面相交截面一定是圓面,對應的交線就是圓弧.在解決立體幾何中的截面所對應圖形的周長或面積等問題時,準確確定對應的截面在空間幾何體的各面上的交線是關鍵,同時經常要合理利用圖形的對稱性、三角函數以及其他相關知識等.

2.4 最值確定

例4已知正四棱錐P-ABCD中,其底面是邊長為3的正方形,O是P在底面上的射影,PO=6,其中Q是AC上的一點,過點Q且與PA,BD都平行的截面為五邊形EFGHL,則該截面面積的最大值為______.

分析：根據題設條件,首先弄清截面是由兩個全等的直角梯形構成,點Q在AC上運動;然后引入參數,設AE=x,結合圖形直觀以及性質應用求出截面EFGHL的面積表達式,進而利用二次函數的圖象與性質即可確定對應面積的最大值.

圖6

點評：此類涉及立體幾何中的截面相關的最值確定問題,經常通過“動點”的變化情況引入參數(或角參或邊參),進而利用截面的幾何性質以及所求要素,合理構建對應的表達式,利用函數思維、不等式思維或函數與導數的應用思維等來確定最值;也經常采用“動”中取“靜”的方式,利用動點的特殊位置來直觀想象與數形結合,確定極端情況下的最值問題.

解決立體幾何中的截面問題,關鍵在于合理利用平面的基本性質確定對應的截面,將立體幾何中的“三維”問題進行降維處理,轉化為平面幾何的“二維”問題,綜合聯系“立體”與“平面”的基礎知識與基本性質等,結合截面圖形以及對應的幾何性質加以合理邏輯推理與數學運算,實現截面問題的巧妙分析與解決.