基于馬爾科夫鏈在高中數學中的應用

摘 要：馬爾科夫鏈是以俄羅斯數學家安德烈·馬爾科夫的名字命名，是一個數學隨機模型，描述了一連串可能發生的事件，從一個狀態到另外一個狀態，也可以是保持當前狀態的隨機過程.下一個狀態的概率分布只能由當前狀態決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關.高中數學中經常與條件概率、全概率公式、貝葉斯公式相結合，構造遞推關系求解概率.

關鍵詞：馬爾科夫鏈;條件概率;全概率公式

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）01-0024-03

收稿日期：2023-10-05

作者簡介：孟憲亮（1981.7-），男，山東省薛城人，碩士，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

如果一個物體以一種隨機的方式運動，并且它的運動是無記憶的，那么這個物體就具有馬爾科夫性質.舉一個例子：一個足球被很多運動員踢來踢去，接下來的足球可以左右移動也可以上下移動，可以在任何狀態下進行，它的運動只取決于當前的狀態.馬爾科夫鏈通常用來建模排隊原理和統計學中的建模，還可作為信號模擬用于算法編碼，在實際生活中應用比較廣泛.通過學習馬爾科夫鏈這一數學模型，增加學生將實際生活問題轉化為數學模型的能力.

1 馬爾科夫鏈的性質

馬爾科夫鏈具有狀態空間、無記憶性、轉移概率（轉移矩陣）等三個要素.馬爾科夫鏈是從一個狀態到另一個狀態轉化的隨機過程，每個狀態稱為狀態空間.無記憶性是下一狀態的概率分布，只能由當前狀態決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關.這種特定類型的“無記憶性”稱作馬爾科夫性.在馬爾科夫鏈的每一步，根據概率分布，可以從一個狀態變到另外一個狀態，也可以保持當前狀態.狀態的改變叫做轉移，與不同狀態改變相關的概率叫做轉移概率.

對于隨機變量序列Xn，已知第n小時的狀態Xn，如果Xn+1的隨機變化規律與前面的各項X1，X2，…，Xn-1的取值都沒有關系，那么稱隨機變量序列Xn具有馬爾科夫性.稱具有馬爾科夫性的隨機變量序列 Xn 為馬爾科夫鏈.

4 結束語

通過以上實例，對高中階段學生在具備邏輯思維的前提下將生活中的實際問題轉化為數學問題，實現在實踐過程中不斷探索培育學生數學建模能力的新途徑，激發學生的自主探究熱情與積極性，切實提高學生的綜合能力與素養，為學生的全面發展提供更加優質的數學教學服務.

參考文獻：

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［2］ 董慶華，王成偉.馬爾科夫鏈在高等數學教學效果評價中的應用［J］.數學的實踐與認識，2018，48（08）：314-320.

［責任編輯：李 璟］