等比數列與等差數列積的求和速算

高中常考數列[an?bn]的前[n]項和計算，其中[an]是等差數列，[bn]是等比數列。這種題目的根本方法就是“”錯位相減法”，但在實際操作中，寫的過程較多，若結果出錯，則不方便檢查。本文提供了一種新的求解方法——“分類求和法”。

公式一：[1+q+q2+…+qn-1=1-qn1-q，q≠1]

公式二：[1+2?q+3?q2+…+n?qn-1=1+q+q2+…+qn-1-n?qn1-q，q≠1]

下面對公式二用“錯位相減法”給予證明。

[Sn=1+2?q+3?q2+……+n?qn-1q?Sn= 1?q+2?q2+…+n-1?qn-1+n?qn∴1-q?Sn=1+q+q2+…+qn-1-n?qn∴Sn=1+q+q2+…+qn-1-n?qn1-q，q≠1]

求數列[An+B?qn]的前[n]項和[Tn]，即求數列[Aq?nqn-1+Bq?qn-1]前[n]項和，通過對[nqn-1]和[qn-1]的求和，可以解決原數列的求和。具體如下。

[Tn=Aq?1+2?q+3?q2+…+n?qn-1+Bq?1+q+…+qn-1=Aq?1+q+…+qn-1-nqn1-q+Bq?1+q+…+qn-1=Aq1-q+Bq?1+q+…+qn-1+-Aq1-q?nqn]

上面計算用到了分類，故稱此法為“分類求和法”。要注意，上面的計算中沒有使用公式一，這樣一來，最后只用一次公式一就能得到結果了，這是在解題實踐中總結出來的。

例：[an=2n-1?2n]，求[an]的前[n]項和[Tn].

解：[an=4?n?2n-1-2?2n-1]

[Tn=41+2?21+3?22+…+n?2n-1-220+21+…+2n-1=4?20+21+…+2n-1-n?2n1-2-220+21+…+2n-1=-620+21+…+2n-1+4n?2n=-6?1-2n1-2+4n?2n=61-2n+4n?2n=6-6?2n+4n?2n]

練習：求下列數列[an]的前[n]項和[Tn].

（1）[an=3n+2?12n+1]，（2） [an=2-32?n?4n].

參考答案：

（1）[Tn=4-4?12n-32?n12n]

（2）[Tn=-103+103?4n-2?n?4n].

參考文獻：

[1]陳曉丹.新課程下的高中數學概念教學設計[J].考試周刊，2008（2）：2.

[2]徐文彬.數學概念的認識及其教學設計與課堂教學[J].課程·教材·教法，2010（10）：6.

[3]范仁忠.高中數學概念教學的“思”與“行”[J].福建中學數學，2010（10）：3.