凸顯統計意義 培養數據意識

譚傲菡

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）將百分數從“數與代數”領域調整到“統計與概率”領域，把百分數作為統計量進行教學。百分數是兩個數量倍數關系的表達，這兩個數量既可來源于確定數據，又可來源于隨機數據。前者指百分數的傳統數學意義;后者即百分數的統計意義。《新課標》指出：“要結合具體情境，探索百分數的意義”“在簡單的實際情境中，應用百分數，形成數據意識和初步的應用意識。”這一新導向的提出，豐富了百分數的意義，同時改變了百分數教學的任務與目標，需要在理解百分數原有算術意義的基礎上，更加凸顯百分數的統計意義。因此，在百分數的教學中，為了讓學生更全面地認識和理解百分數，應該將百分數放到統計背景中去學習。

一、數據分析，體會百分數產生的必要性

教學中，教師創設推選投籃水平高的學生代表班級參賽的情境，讓學生在課前分析數據的過程中感受到僅從投籃“命中次數”這一個量無法判斷比較，要比較投中次數與投籃總數的關系（命中率）才能進行比較，并借助已有經驗，通過計算用小數、分數、百分數來刻畫投籃水平的高低。在此基礎上，利用前測生成資源，引導學生自主探究，進行小數、分數、百分數互化體會百分數的優越性。

【片段一】

師：上周的投籃活動是為了選拔1名同學參加校級投籃比賽。老師帶領大家收集、整理了數據并完成了小組初選。我們先來看看，第三小組的推選情況，誰的投籃水平最高？（出示前測中學生推選結果）

生：鄧羽彤。

師：為什么都選他呢？誰能讀懂他是怎么想的？

生1：他是用投中次數除以投籃總數，算出得數（小數），比較小數的大小。

生2：他也是用投中次數除以投籃總數，算出得數（分數），通分后比較大小。

生3：他也是用投中次數除以投籃總數，算出得數（百分數），比較大小。

師：小數、分數是我們學過的，那什么是百分數呢？有待我們進一步研究。（出示課題）

師：在同學們的作品中，我們看到了小數、分數、百分數都可以表示投中次數除以投籃總數的商，那它們的大小一樣嗎？怎么證明？

生板演說明：

師：看來小數、分數和百分數他們之間是有聯系的。通常我們是以100為分母作為比較的標準，像這樣分母是100的分數可以寫成百分數。如果分母不能通分成100時，我們可以先把分數化成小數。

【片段二】

師：剛才我們了解到了第三小組的推選結果，再來看看其他四組的推選結果。（課件出示）誰的投籃水平更勝一籌？好比較嗎？

生：不好比較。

師：怎么辦？

生：改寫成百分數。

（學生四人小組合作將其他幾人的命中率都改寫成百分數并展示匯報）

師：誰來讀一讀這些百分數。（各命中率）

在分析數據的過程中，學生感悟到命中率可以刻畫投籃水平的高低，學生運用已有知識經驗進行小數、分數、百分數互化，經歷百分數產生過程從不同形式的表達——相同分母（100）的表達——百分數的表達，感受到以百分數為標準進行比較既簡單又方便，從而可以體會百分數產生的必要性。

二、關聯經驗，多維構建百分數的本質意義

1.從統計角度，初感百分數的意義

創設真實情境，以隨機數據“命中率”引入百分數的學習，使學生初步感知百分數是一個相對的數，是兩個數之比，可以用來反映某種比例關系，表示“投籃次數”與“命中次數”的倍數關系，來刻畫投籃水平。

【片段三】

師：看來，我們可以用小數、分數、百分數表示投中次數除以投籃總數的商來表示投籃水平。那什么是投籃水平呢？

生：投籃水平就是投籃命中率。

師：請你具體解釋一下什么是命中率？

生1：投中次數是投籃總數的幾分之幾。

生2：投中次數在投籃總數中的占比。

總結：其實命中率就是投中次數是投籃總數的幾分之幾，它可以用來判斷投籃水平的高低。

師：請你說一說60%表示什么意思？

生1：把投籃總數看成一百份，投中的占了其中的60份。

生2：也可以說成投中次數是投籃總數的百分之六十。

任選一個百分數，同桌互相說一說。

2.從生活實際理解百分數的意義

為了讓學生進一步理解百分數的意義，將百分數與學生生活經驗關聯，學生自主舉例，如：生活中衣服的羊毛含量、果汁中純果汁的含量、中獎率等，通過解釋生活中的百分數的含義，幫助學生理解其中的數量關系，從而抽象出百分數的本質意義。

【片段四】

師：那百分數只能表示命中率嗎？生活中哪里還有百分數？

生：舉例說意義。

師：看來百分數可以表示的太多了，要怎樣描述才能把它表達的意思都包含進去，百分數表示什么呢？

生：表示一個數是另一個數的百分之幾。

師：表示的是兩個數之間的（關系），這個關系就是我們學過的倍數關系。

在上述的教學片段中，從命中率和學生熟悉的百分數入手，關聯多元生活經驗打通百分數兩種意義的隔斷墻，即從統計意義（兩個隨機數據之間的倍數關系）和算術意義（兩個確定數據之間的倍數關系）兩個維度構建百分數的本質意義（一個數是另一個數的百分之幾），進一步理解百分數兩個量之間的倍數關系。數據是學生理解百分數的基礎，學生在對數據認識和表達的過程中逐步地形成數據意識。

三、隨機現象中感悟百分數的統計意義

1.分析比較，感受百分數的隨機性

借助百分數來刻畫數據的分布，引導學生清晰準確地把握數據中的關鍵信息，有助于對隨機現象進行判斷、做出決策。本案例中選用“投籃命中率”這一現實世界中的隨機現象導入百分數，在幫助學生理解百分數統計意義的同時，通過對多組數據的比較體會數據的隨機性。

【片段五】

師：現在要在這5個人中推選一名同學代表班級參賽，該派誰去呢？

生1：張致承。

生2：單憑一次的成績還不能確定，有可能其他選手沒發揮好。

師：那該怎么辦呢？

生2：可以再比幾次。

師：都是這5個人，再多投幾次，命中率不應該是一樣的嗎？

生：不一樣，有可能高，有可能低。比如某某同學，他投中的次數可能增加，命中率就會提高;也可能投中次數減少，命中率就會下降。

師：那投籃總數改變，命中率會變化嗎？

生：會。

師：來看這是鄧羽彤后5次的投籃情況，你發現什么？

生：投中次數在變，投籃總數也在變，命中率也跟著變化。

師：（出示其他4人后5天的數據）好的，再看看其余4人的，每次的命中率都一樣嗎？

生：不一樣。

總結：投中次數和投籃總數的改變，都會讓命中率發生改變。由于投中次數是隨機的，所以表示投中次數和投籃總數關系的百分數它也是一個隨機數據。

2.呈現數據，體會大數據的穩定性

對數據隨機性感悟除了知道同樣的事情每次收集到的數據可能不同，還應通過多次數據的呈現，讓學生感受到有足夠的數據就能從中發現規律。

【片段六】

師：現在我們有了5名同學6次的投籃數據，可以選出水平最高的那一個了嗎？

生1：看看誰得第一的次數多。（有次數相同的，仍無法判斷）

生2：求6次的命中率的平均數。

（明確前6次的命中率并不是一個準確值，求出來的平均數就會與實際的命中率有所偏差）

生3：每人6次投中的總數除以投籃總數算出命中率。

師：（表格出示計算結果）現在我們選誰參賽？為什么第一次的命中率沒有做出決定，而現在就能確定了呢？

生：數據多了，算出來的命中率就更接近真實水平。

師：那如果是選拔參加奧運會的運動員，6次的數據夠了嗎？

生：不夠，要成百上千次。

師：是的，當數據越多，穩定性越強，進而就能從中發現規律，為我們做決策提供依據。

學生在理解百分數的意義后，教師通過兩次追問引發學生對一次數據做決策的合理性進行思辨，進而讓學生親近數據，喚起對更多數據的需求。通過呈現數據、對比分析、交流討論，學生感受到“投籃總數”和“投中次數”的不確定性決定了百分數是對隨機數據的表達和刻畫;統計結果的隨機性會引起百分數的變化，隨著數據的增多，命中率這個百分數穩定性越強越能代表選手的實際水平，越具參考價值，從而為決策提供依據。進而體會百分數的統計意義，初步感受百分數的統計價值，形成百分數的數據意識。

四、應用實踐，深化百分數的統計價值

教師要引導學生在實踐中理解百分數，在解決問題中應用百分數，發展數據意識，在實踐中深入體會百分數的統計價值。

【片段七】

師：好的，孩子們，學校不僅要舉行投籃比賽，還要對六年級學生進行跳繩達標測試。我們從六年級學生中隨機抽取100名學生，記錄他們1分鐘跳繩個數，怎樣利用這些數據確定達標線呢？

生：算出全年級平均數作為達標線

追問：以平均數作為達標線，一定會有一半人達標嗎？

師：如果我們需要有一半的學生也就是50%的人達標，要怎樣確定達標線？

生：可以用成績排在第50名同學的跳繩個數作為達標線。

師：如果要讓75%的學生達標呢？怎樣確定達標線？如果以第25名同學的成績作為達標線，就有多少人達標？多少人不達標？

師：這就是百分數的統計價值，幫助我們做出判斷和決策。

結合“確定六年級學生跳繩達標線”實踐活動，在解決問題的過程中，學生體會到百分數這3個重要節點對判斷事物及決策的作用，進一步感悟百分數的意義，體會百分數的統計價值和應用價值，形成初步的應用意識。

綜上所述，《新課標》將百分數調整到“統計與概率”領域，作為統計量來進行教學，主要是為了凸顯百分數的統計意義。對于小學生而言，百分數的統計意義是比較抽象的，其對隨機數據之間關系的表達和刻畫又是以百分數的本質意義為前提。因此，在教學百分數時，可用現實問題中的隨機數據為素材引入學習，讓學生在理解百分數意義的基礎上，打通“統計意義”和“算術意義”的隔斷墻，探尋百分數從“數概念”到“統計量”的中間地帶，在真實情境的數據分析中體會百分數產生的必要性，在多元經驗中理解百分數表示兩個數之間倍數關系的本質意義，在隨機現象的表達和刻畫中感受百分數的統計意義，在解決問題的過程中應用百分數的統計意義，從而體會百分數的統計價值，培養學生的數據意識。