優化數學認知結構提升一輪復習效率

黃慧美

一輪復習是高考復習教學的關鍵一環.在此階段，學生依然是課堂的主體，然大多復習課堂卻以教師為主導，延續著“師講生聽”的教學模式，課堂容量大、頻率快，容易出現學生“懂而不會”的尷尬局面.實際上，一輪復習要重視通性通法的提煉，讓解題方法和解題策略更具系統性和方向性，使復習更高效，解題更流暢.本文筆者以“函數零點”復習為例，以典型問題為切入點，引導學生在鞏固基礎知識的同時，掌握解題通法，構建數學思想方法體系，進而優化認知結構，提升復習效率.

一、教學實錄

1.明確方向，激發欲望

例1函數f（x）=6x－log2x，在下列區間中，包含f（x）的零點的區間是（）.

A.（0，1）B.（1，2）C.（2，4）D.（4，+∞）

在復習階段，不能將目光定位在解題上，而是要透過題目了解考試動向，分析核心考點，進而進一步鞏固“雙基”，掃清解題障礙.

師：題中涉及到什么概念？

生齊聲答：函數的零點.

師：函數零點的概念大家還記得嗎？

生1：使函數f（x）=0成立的實數x叫函數y=f（x）的零點.

師：很好，那么想一想例1該如何求解呢？

生2：如果令f（x）=0是無法直接求解的，可以將其轉化為求y=6x和y=log2x的交點，根據圖象可知兩函數的交點是1個，根據函數值得到交點的范圍是（2，4）.

生3：生2的解法沒有問題，解題時既要畫圖又要代值，我覺得這個問題可以換個思路來解，可以考慮應用零點存在的定理來解答.

師：說說你的解題思路.

生3：由題可知，函數f（x）在（0，+∞）上為減函數，f（1）=6－0=6>0，f（2）=3－1=2>0，f（4）=64log24=32－2=－12，由函數零點存在定理可知，函數f（x）在區間（2，4）上必有零點.

師：很好，通過代數法和幾何法都順利地得到了答案.生2是從定義的角度去考慮，首先將函數零點問題轉化為方程的根，然本題方程難以直接求解，為此又繼續轉化，將其轉化為函數的交點問題，最后利用數形結合的思路精準地求得了答案，這是解決此類問題的一個常用的方法，看來大家已經掌握了解題的精髓.生3結合題目特點，根據零點存在定理巧妙地解決了問題.

師：如果例1中需要求零點的個數，生3的方法還有效嗎？

通過交流，學生運用不同的解題方案順利地求解了問題，通過剖析發現解決此類問題可以從代數和幾何兩方面入手，同時體驗了數形結合思想和轉化思想在解題中的重要價值，為了進一步強化認識，教師又給出新問題，引導學生繼續探究，不斷挖掘，揭開問題的實質.

2.拓展應用，活躍思維

師：思考一下，下面問題該如何求解？

例2關于x的方程xx+2－k=0，k∈R，探究方程根的個數.

問題給出后，教師鼓勵學生從不同角度思考，進而通過拓展逐漸完善認知，鞏固應用.

生4：可以將方程的根轉化為函數y=xx+2與y=k的交點個數，根據圖象可知，當k=1時，無交點，因此方程無實數根；當k≠1，有1個交點，為此方程有1個根.

生5：我沒有畫圖也做出來了，通分得（1－k）x－2k=0，所以當k=1時，無實數根，當k≠1時，方程有1個根.

師：生4和生5分別從幾何和代數的思路進行求解，他們的解題過程是否有問題呢？（眼尖的學生已經發現了問題）

生6：根據生5的代數式，是否要檢驗k一定不等于－2呢？

師：觀察得非常仔細，非常好！檢驗會發現k一定不等于－2.其實方程簡單的情況下用代數法更為方便，然在解題過程中一定要注意隱藏條件，要確保轉化的等價性.如果將例2中的函數做一些改變，你認為該如何求解呢？（教師PPT給出變式）

變式1若關于x的函數f（x）=xx+2－kx2有4個不同的零點，則實數k的取值范圍為.

根據前例，同樣可將問題轉化為y=xx+2與y=kx2的交點個數.雖然學生能夠畫出圖形，但曲線和曲線與曲線和直線不同，用上面的幾何法和代數法都很難判斷交點個數，為此解題時需要進一步轉化.

生7：函數零點轉化為f（x）=0，根據函數特點容易得x=0為方程的根，約去x可變形為1x+2=kx，轉化后圖象就不是兩條曲線了，這樣可以應用圖象的交點來求解.因為y=1x+2的圖象是固定的，y=kx當k≤0時顯然不滿足.當k>0時，要有3個交點，只需y=－kx與y=1x+2有兩個交點，由此可知直線與曲線相切，進而通過導數或Δ=0可以求出k>1.

生8：還可先約去x，得1x+2=kx，兩邊同除x得1x（x+2）=k，這樣轉化為y=k與y=1x（x+2）的交點個數.

師：通過分離變量的思想進行轉化沒有問題，但是y=1x（x+2）這個函數圖象如何畫呢？（生8表示沒有畫出圖象，顯然通過這樣的轉化使問題變得更加復雜了）進一步，如將1x（x+2）=k再進行變形，將其轉化為1k=x（x+2）呢？（學生恍然大悟）

在教師的引導下，學生利用幾何方法輕松地解決了問題.問題解決后，教師又鼓勵學生利用代數法進行求解，然學生嘗試后發現，應用代數法問題變得更加復雜了，很難求解.通過對比學生發現，處理零點問題時可以應用代數法和幾何法，那么哪種方法為最優解決方案則需要根據實際問題來判斷，若是簡單的問題，利用代數法效率會更高，而對于較為復雜的問題，可以考慮借助圖形的直觀性來判斷，但是應用幾何法時，要使問題向容易作圖的方向轉化.

3.鞏固強化、升華認知

師：大家看看這個題又該如何轉化呢？（教師PPT展示變式2）

變式2函數f（x）=xx+2，若關于x的函數y=2f2（x）+2bf（x）+1有4個不同的零點，求實數b的取值范圍.

師：本題較前面問題相比，略顯復雜，是關于復合函數的零點問題，這個又該如何轉化呢？（教師鼓勵學生進行合作探究，以此既能活躍課堂氣氛，又能發揮個體優勢）

生9：可以令t=f（x），則問題轉化為2t2+2bt+1=0，y=t與y=f（x）共有4個交點，此時需要兩個t∈（0，1），即y=2t2+2bt+1在（0，1）上有兩根，所以Δ>0，0<－b2<1，2+2b+1>0，這樣問題就迎刃而解了.

可見，通過以上的變式訓練，學生已經很好地掌握了解決此類問題的方法，極大程度上提高了解題信心.雖說高考題變化莫測，然若將知識點學懂吃透，規律會自然地涌現，新題變成了舊題，復雜題變成了簡單題，解題也就自然水到渠成了.

二、教學反思

在一輪復習中，以下幾點應引起師生重視：

首先，在解題教學中既要掌握通性通法，又要善于結合題型和題目特點進行靈活轉化.在夯實“雙基”的同時，也要積累一些解題技巧，提高解題效率.

其次，教師在典型問題的處理上要遵循由淺入深，從簡到繁的原則，使例子的呈現具備一定的層次性，順應學生思維發展，提高學生解題信心.

再次，對于一些規律性的問題，需要教師的及時點撥.對關鍵的方法和結論進行了及時的總結和歸納，引導學生認清問題的本質，找到解題通法.

最后，教師要為學生提供鞏固強化的時間和空間.教師應結合教學內容和學生認知設計變式題目，通過“變”感受通性通法的價值，體驗那些不變的規律，進而深化認知，活化數學思維，鍛煉學生靈活應用數學的能力.