由一道高考模擬題探究圓錐曲線恒過定點問題

張瑞雪 房元霞 徐茂林

由于圓錐曲線作為坐標平面內點的運動軌跡，蘊含著運動變化過程中保持的某種“規律性”或“不變性”［1］，而這種“規律性”或“不變性”就是圓錐曲線的性質.本文以2023年某市高三二模第21題為例，利用GeoGebra軟件探究圓錐曲線的定點問題.

一、題目

已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為3，C的右焦點F到其漸近線的距離為6.

（1）求該雙曲線C的方程；（2）若直線l與雙曲線C在第一象限交于A，B兩點，直線x=3交線段AB于點Q，且SΔFAQ：SΔFBQ=|FA|：|FB|，證明：直線l過定點.

本題以雙曲線為載體，考察轉化和聯立方程的計算能力，第（2）問更是蘊含了圓錐曲線一般性結論.我們設直線l與雙曲線C交于任意兩點A，B，直線x=3推廣至垂直于坐標軸的直線x=t（或y=t），然后利用GeoGebra軟件探究得到如下情形與結論.

二、推廣到一般

定理1設雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），若直線l與雙曲線C交于A，B兩點（如圖 1），直線x=t（或y=t）交線段AB于點Q，交x（或y）軸于點F，且SΔFAQ：SΔFBQ=|FA|：|FB|，則直線l過定點（a2t，0）（或過定點（0，－b2t））.若C為焦點在y軸上的雙曲線y2a2－x2b2=1（a>0，b>0），則直線l過定點（－b2t，0）（或過定點（0，a2t））.

注：本文僅以焦點在x軸上的圓錐曲線為例進行證明，焦點在y軸上的證明不再累述.

證明：由已知有，直線x=t交線段AB于點Q，交x軸于點F.

由SΔFAQSΔFBQ=12|AF||FQ|sin∠AFQ12|BF||FQ|sin∠BFQ=AFBF，得sin∠AFQ=sin∠BFQ，所以直線AF與直線BF的傾斜角互補，kAF+kBF=0.設直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）.

聯立y=kx+m，

x2a2－y2b2=1 得（b2－a2k2）x2－2kma2x－a2m2－a2b2=0，所以x1+x2=2a2kmb2－a2k2，x1x2=－a2m2+a2b2b2－a2k2，因為kAF+kBF=0，即kx1+mx1－t+kx2+mx2－t=0，化簡整理得2kx1x2+（m－tk）（x1+x2）－2tm=0.代入x1+x2、x1x2，化簡得ka2+mt=0，即m=－a2kt，所以直線l的方程為y=kx－a2kt=k（x－a2t），恒過（a2t，0）點.

注：原題中易得雙曲線C：x23－y26=1，直線為x=3，代入a2，t得定點為（1，0）.

定理2設橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0），若直線l與橢圓C交于A，B兩點（如圖 2），直線x=t（或y=t）交線段AB于點Q，交x（或y）軸于點F，且SΔFAQ：SΔFBQ=|FA|：|FB|，則直線l過定點（a2t，0）（或過定點（0，b2t））.若C為焦點在y軸上的雙曲線y2a2+x2b2=1（a>0，b>0），則直線l過定點（b2t，0）（或過定點（0，a2t））.

定理3設拋物線C：y2=2px，若直線l與拋物線C交于A，B兩點（如圖 3），直線x=t交線段AB于點Q，交x軸于點F，且SΔFAQ：SΔFBQ=|FA|：|FB|，則直線l過定點（－t，0）.

定理4設拋物線C：x2=2py，若直線l與拋物線C

交于A，B兩點（如圖 4），直線y=t交線段AB于點

圖4Q，交x軸于點F，且SΔFAQ：SΔFBQ=|FA|：|FB|，則

直線l過定點（0，－t）.

注：針對拋物線y2=2px直線y=t的情形，由于證明過程中m與k存在反比例關系，即無法證明定點與變量k無關，所以此種情況拋物線不過定點，類似的，拋物線x2=2py直線x=t的情況同樣不過定點.

上述，我們從雙曲線出發，通過類比、猜想、實驗、證明等數學思想方法的指引，得出了橢圓、雙曲線、拋物線三種圓錐曲線一般性的結論，“對圓錐曲線進行一般化推廣，變的是曲線，不變的是方法，將問題進行一般化的推廣，有助于學生進一步認識圓錐曲線的性質.”［2］啟發學生做一道題，要學會解一類題，拓展自己的解題空間，培養數學思維的廣闊性、靈活性和深刻性，進而發展創造性.

參考文獻

［1］陸明明.解題還需尋“根”發“芽”——有關圓錐曲線定點定值問題的一點思考［J］.數學通報，2014，53（08）：38-42.

［2］李剛.在問題探究中構建知識的整體關聯——以“圓錐曲線中一類定點定值問題”為例［J］.數學通報，2023，62（02）：16-21.