無序、有序、良序

吳功堯

【摘要】序言課可以幫助學生勾勒藍圖，激發學生對新課的向往.本教學設計采用重構式再現數列、等差數列、等比數列等概念的形成過程，采用附加式講述數列的演變歷史，采用復制式或順應式改造斐波那契數列、提丟斯的發現、芝諾悖論、惠施命題等史料.讓學生經歷知識“再創造”的過程，體會數學之美、數列之奇，最終達成落實數學核心素養的目的.

【關鍵詞】HPM；數列；序言課；核心素養

1 引言

數列序言課是指數列內容正式開始前的一節課，旨在讓學生明確即將學習的對象、目的以及方法.一堂好的序言課可以幫助學生抓住主線、勾勒全局，可以啟迪思想、滲透方法，還可以吸引學生眼球、激發學習興趣.本教學設計將從數學史的視角，以“從無序到有序，從有序到良序，從良序到模型，從模型到應用，從應用到歷史”為主線來組織教學，為學生營造敢于質疑、善于思考、勤于動手、樂于探究的教學環境，讓學生在知識“再創造”的過程中深刻理解數列的核心和本質.

2 教學設計與實施

2.1 從無序到有序

師：為何要將數字進行排列，如何排列，排列好后又將研究什么內容？請同學們拿出課前發給你們的壓花標本，數一數花瓣的數量.

師：花瓣的數量看起來很隨機，大家能不能找到這些數字的內在規律？

生：第一個數和第二個數都是1，從第三個數開始，每一個數都是前兩個數之和.

師：我們用an表示數列，首項是a1，第二項是a2，依次地，第n項記為an.請同學們寫一寫斐波那契數列的符號表示.

生：a1=a2=1，an+2=an+an+1， n∈N*.

花瓣的數量大致滿足斐波那契數列的規律.在“花瓣的數量”這一情境中，設計數一數、找一找、說一說等環節，讓學生動手、動腦、動口，自己發現規律，體會數學之美.

2.2 從有序到良序

師：數學在天文學中的應用有很多，數學公式可以簡單而有效地揭示天體運行規律，例如開普勒三大定律、牛頓萬有引力定律等.采用順應式改造“提丟斯的發現”這一史料，設計數據處理、數據分析、數據預測等環節，引導學生修正誤差數據，補全殘缺數據，讓學生像天文學家那樣去思考，體會數列之奇，結合實例，歸納概括出數列的定義.

2.3 從良序到模型

師：同學們可以先舉一些體育中的數列的例子.

生1：舉辦奧運會的年份.

生2：中國歷屆奧運會的金牌數.

無論從應用的，數學的，還是歷史的角度來看，等差和等比數列都是最基礎、最重要的數列模型.圍繞等差數列、等比數列的概念，設計舉例、分類、建模等環節，重構知識發生、發展的歷史，通過師生互動、生生互動，從應用的、數學的、歷史的三個角度突出等差數列和等比數列的重要地位，培養學生的數學抽象和數學建模素養，讓學生體會參與之樂.

2.4 從模型到應用

考古隊在考察埃及胡夫金字塔時發現，136.5米高的金字塔頂上竟然有蝸牛.考古人員尚且要借助復雜的機械才能登上塔頂，小小的蝸牛是如何爬上去的呢？后來，考古人員在金字塔坡面上陸續發現了多處蝸牛爬行的痕跡.漸漸地，人們開始相信即便是蝸牛也能憑借毅力登上金字塔頂.那么，一只蝸牛想要爬上金字塔頂到底需要多少時間呢？已知胡夫金字塔側面的高度為178.5米，假設蝸牛沿著側高爬行，在第一個小時內爬行了10米.

（1）若蝸牛每小時的爬行距離都比上一個小時減少0.2米，試問蝸牛能否爬上金字塔頂？若能爬上塔頂，大約需要多少時間？

（2）若蝸牛每小時的爬行距離都比上一個小時減少一半，試問蝸牛能否爬上金字塔頂？若能爬上塔頂，大約需要多少時間？

（3）若蝸牛在第n個小時內爬行的距離是最初爬行距離的1/n倍，試問蝸牛能否爬上金字塔頂？若能爬上塔頂，大約需要多少時間？

師：對于問題（1），可以先列舉一下各小時內的爬行距離.

生：10，9.8，9.6，9.4，9.2，…

師：按照這一規律，第n個小時爬行了多少？

生：an=－0.2n+10.2.

師：我們稱之為通項公式.前n個小時共爬行了多少距離？

生：Sn=10+9.8+9.6+9.4+9.2+…+（10.2－0.2n）.

師：上述和式怎么求？

師：我們還是從特殊情形入手，先求前10項的和.

生：S10=10+9.8+9.6+9.4+9.2+9+8.8+8.6+8.4+8.2

=10+5×9+4×8+2×（0.8+0.6+0.4+0.2），

其中0.8+0.2=0.6+0.4=1，所以最終結果是91.

師：10個小時爬了一半多，小小的蝸牛原來有這么大的潛力，請再思考一下，原式能不能直接配對求和.

生：因為10+8.2=9.8+8.4=9.6+8.6=9.4+8.8=9.2+9=18.2，所以可以用首項加尾項乘以項數除以2得到結果.

師：推廣到一般情形下呢？

生：也是如此，Sn=（10+10.2－0.2n）×n/2=（10.1－0.1n）n.

師：蝸牛能否爬上金字塔頂？若能，大約需要多少時間？

生：S22=173.8，S23=179.4，爬上塔頂大約需要23個小時.

師：至此等差數列求和公式呼之欲出.后面我們將系統學習等差數列求和公式的推導及其應用.若將條件改為“蝸牛每小時的爬行距離都比上一個小時減少一半”，又如何呢？

生1：第一個小時10米，第二個小時5米，第三個小時2.5米，第四個小時1.25米，……

生2：……

師：大家各有各的道理，到底能不能登頂，要算過才知道.類比第（1）問的思考過程，請同學們寫出前n個小時爬行的總距離.

師：數列1， 1/2， 1/3， 1/4， … ， 1/n，稱為調和數列.隨著n的增大，調和數列的項越來越小，它的前n項和慢慢增大.法國數學家Oresme首次證明：隨著n的增大，Hn會趨近于無窮大.因此，如果不考慮蝸牛的壽命，它定能登上金字塔頂.比較1+1/2+1/22+1/23+…+1/2n－1=2－1/2n－1和1+1/2+1/3+1/4+…+1/n→+ω發現，盡管和式都在增大，結果卻有著天壤之別，前式趨于定值，后式則趨于無窮大.“無窮”概念，讓人產生無限遐想.歷史上，古人在認識“無窮”的過程中，也經歷了很多次認知沖突.（稍作停頓）幾百年來，數學家們對調和數列做了很多研究，至今沒有給出它的求和公式.如果你能推導出它的求和公式，那么你將成為下一個轟動世界的數學家.柔弱的蝸牛，有著大大的夢想，創造了生命的奇跡.只要敢想敢拼，持之以恒，一切皆有可能.

設計意圖 圍繞等差數列求和、等比數列求和、數列極限等知識，借助芝諾悖論、惠施命題、形數理論、調和級數等數學史料，設計了三個由易到難、由淺入深的問題，引導學生借助類比、不完全歸納、以形助數等方法分析和解決問題，培養學生的邏輯推理和數學運算素養，讓學生體會思維之趣.

2.5 從應用到歷史

教師引導學生回顧所學知識和方法，并按知識的內在邏輯完成思維導圖.

最后，播放“數列的演變史”微視頻，讓學生了解數列經歷了萌芽、發展、興盛和完善四個階段.萌芽階段的主要成就是泥版和紙草書上的數列問題，發展階段的主要成就是古希臘、古印度以及中國古代數學文獻中的數列問題，興盛階段的主要成就是斐波那契《算盤全書》和阿拉伯數學文獻中的數列問題，完善階段的主要成就是文藝復興以后西方數學文獻中的數列知識.

3 教學反思

3.1 序言課要突出所序數學分支的最核心、最本質的思想

解析幾何的核心思想是坐標化，立體幾何的核心思想是公理化.數列的核心思想是什么呢？數列有著悠久的歷史，最早可以追溯到遠古時期，Ishango骨具上的刻痕就是最好的佐證.古人在記錄獵物的數目、星星的數量時便產生了數的序列.數列的產生源于人類描述事物時間、空間亦或是內在順序的需要，所以數列的核心思想是有序性.內容的選擇、情境的設計應始終圍繞這一核心思想展開.

3.2 遴選所序內容，區分知識等級是序言課教學成功的關鍵

在設計數列序言課時，困擾筆者的主要問題是：哪些知識要講，哪些可以直接跳過；哪些知識需要細講，哪些可以一筆帶過.我們可以參考三個維度遴選所序內容：一是“教學維度”，主要側重于與傳統的按教材分節教學對照；二是“學生維度”，側重于考量學生已有的認知基礎和存在的困難；三是“歷史維度”，側重于數學史的啟迪及它所提供的幫助.然后利用思維導圖呈現所序內容，區分知識的不同等級.一級為核心概念，是二級概念的上位概念，將對其創設情境、開展活動；二級概念需介紹其大致內容，目的為烘托一級概念，并帶出三級概念；三級概念只介紹其名稱，與前兩級概念形成完整的板塊知識圖譜.在實際課堂教學中，教師可以在推進教學流程的同時，逐步引導學生完成知識圖譜，建構知識框架.

3.3 設計兼具趣味性、層次性、可探究性的問題情境至關重要

在小學及初中階段，學生接觸過很多數列的例子.例如：小學一年級的孩子要求能夠按規律寫數字，小學六年級的教材提供了斐波那契數列的閱讀材料.學生儲備的這些知識為序言課教學既帶來了方便，也帶來了挑戰.在序言課教學中，若是簡單地舉一些例子，歸納概括出數列、等差數列、等比數列的概念，一節課下來學生感覺收獲不大，似乎都是些小學初中的知識.因此，我們需要優化知識的呈現方式，將知識重新包裝，為學生創設兼具趣味性、層次性、可探究性的問題情境，讓學生在探究中，完成知識的“再創造”，在過程中，建構知識框架，在思辨中，發展數學核心素養.

4 結語

“良好的開端是成功的一半”.序言課能夠幫助學生完成知識框架的初步建構，為后續學習做好知識、方法和心理準備.用奧蘇貝爾的理論來說，序言課可以架構起已有知識和新知識之間的橋梁，起到先行組織者的作用.

參考文獻：

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