凸顯概念本質 促進有效建構

袁鋒萍

【摘? ?要】“倍的認識”是人教版教材三年級上冊第五單元的教學內容。教師通過分析教材編排邏輯以及學生認知基礎，確立了教學目標，并引導學生經(jīng)歷“從多元表征中建構倍的直觀模型、從變式比較中理解倍數(shù)關系、從直觀模型中抽象倍的數(shù)量關系”的過程，使抽象、推理和模型等數(shù)學思想的培養(yǎng)貫穿教學始終，從而幫助學生有效理解倍的概念，精準把握倍的本質，真正促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

【關鍵詞】倍的認識；概念本質；對比；比率

一、課前思考

“倍的認識”是人教版教材三年級上冊第五單元的教學內容。倍的概念較為抽象，教學時，教師需引導學生從具體實物數(shù)量的比較中抽象出倍的概念，理解“一個數(shù)的幾倍”的含義。在此基礎上，引導學生借助乘法意義中的“幾個幾”來認識倍，從除法的角度理解倍的概念，使學生認識到倍的本質是兩個數(shù)量的相互比較，即一個量中包含了幾個另一個量，就構成了它的幾倍。倍表示兩個數(shù)（量）之間的關系，實際上，倍、分數(shù)（表示率）、百分數(shù)、比等概念的本質是“比率”。比率在數(shù)學學習中有重要意義，它是學生學習比例、一元函數(shù)的基礎。因此，建立倍的模型有助于學生對比率形成清晰的認識。

（一）分析教材編排

“倍的認識”是學生初步認識乘法與除法之后的學習內容，旨在引導學生學習相同種類的兩個量之間的“整數(shù)倍”關系，是學生第一次接觸比率。后續(xù)小數(shù)倍、分數(shù)（表示率）、百分數(shù)、比等內容，都可以看成對“整數(shù)倍”的擴展。可見，“倍的認識”在整個知識體系中起著承上啟下的作用（如表1）。

（二）分析學生認知起點

學生一年級時學習了“比多少”，在二年級又學習了乘法與除法的含義，認識了“幾個幾”，大部分學生都已在日常生活中對倍有了初步的認識。但對于“誰是誰的幾倍”，尤其是特殊的倍數(shù)關系，學生仍不是很清楚。在學習倍概念之前，他們頭腦中構建的是加法結構，即數(shù)量的合并與多少的比較，而倍的學習則促使他們轉向乘法結構的構建。這表明學生的認知結構需要發(fā)生一次根本性的變化，實現(xiàn)從加法結構到乘法結構的躍遷，這也是學生學習中最大的困難。

人教版教材將“倍的認識”作為一個獨立單元進行教學，充分凸顯了“倍”這一知識點的重要性，有利于學生后續(xù)展開進一步學習。

基于以上分析，確立本內容的教學目標如下：

（1）結合具體情境理解倍與“幾個幾”的聯(lián)系，初步建立倍的概念；會用語言描述兩個量之間的倍數(shù)關系，會用圖式表達兩個量的倍數(shù)關系。

（2）在觀察、變化、對比中進一步理解倍的概念，把握倍的本質，建構倍的模型。

（3）在用倍刻畫量的關系的過程中，體會數(shù)學與生活的聯(lián)系，感悟數(shù)學的價值。

二、教學實踐

（一）情境引入，初識倍的含義

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：“真實情境創(chuàng)設可從社會生活、科學和學生已有數(shù)學經(jīng)驗等方面入手，圍繞教學任務，選擇貼近學生生活經(jīng)驗、符合學生年齡特點和認知加工特點的素材?！睘榇耍處熆蓜?chuàng)設學生喜歡的學校大課間活動——球類活動情境，讓他們通過比較排球、足球和籃球的個數(shù)，在原有“差比”“幾個幾”認知的基礎上，自然理解倍的含義。

【教學片段1】

（教師用課件出示圖1）

師：學校大課間活動豐富多彩。其中，排球、籃球、足球是大家非常喜愛的球類活動。請你數(shù)一數(shù)，排球、足球、籃球各有多少個？

生：排球3個，足球6個，籃球12個。

（教師順勢用課件對三種球進行分類整理，如圖2所示）

師：請大家比一比足球和排球的數(shù)量。

生：足球比排球多3個。

生：排球比足球少3個。

生：足球的個數(shù)是排球的2倍。

師：很好！這節(jié)課我們就一起來認識倍。

（板書課題：倍的認識）

本教學環(huán)節(jié)通過創(chuàng)設球類活動情境，引導學生分類計數(shù)，培養(yǎng)他們整理數(shù)學信息的能力。在此過程中，學生通過比較足球和排球的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩個量之間不僅存在相差關系，還存在倍數(shù)關系，由此引入課題。在探討兩個數(shù)量之間的關系時，基于認知水平，學生首先會想到已學的“差比”關系。在此基礎上引入“倍比”關系，則能引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)學生的探究欲望。

（二）運用對比，理解倍的概念

1.從多元表征中建構倍的直觀模型

多元表征是幫助學生理解“倍”概念的一種有效手段。教師可引導學生建立不同數(shù)學表征之間的關聯(lián)，從而鞏固數(shù)學知識。在此基礎上，豐富學生對“倍”概念的圖形表征，為學生后續(xù)運用線段圖表示倍數(shù)關系做好鋪墊。

【教學片段2】

（教師出示活動要求：用擺一擺、圈一圈和畫一畫等方式表示你的思考結果，并與同伴交流想法）

師：請你用喜歡的方式表示“足球的個數(shù)是排球的2倍”。

（學生自主活動，教師巡視指導）

師：能說說你是怎么想的嗎？

生：把3個排球看成1份，足球有這樣的2份。

（教師用課件出示圖3）

師：今天學習的“倍”和我們之前學習的“比多少”有什么相同點和不同點？

生：都是在比較足球和排球的個數(shù)。

生：足球的個數(shù)比排球多3個，是先找到足球和排球同樣多的部分；而足球的個數(shù)是排球的2倍，是先把排球的個數(shù)看成1份，足球的個數(shù)有這樣的2份。

師（小結）：“倍”和“比多少”都表示兩個量之間的關系，但“比多少”要先找出同樣多的部分，而找兩個量的倍數(shù)關系則要先選定標準，看另一個量里有幾份標準。

本環(huán)節(jié)鼓勵學生采用擺一擺、圈一圈、說一說等形式，表示足球的個數(shù)是排球的2倍，充分彰顯他們的個性化表達。如此，借助動作表征、圖形表征、語言表征等多元表征，幫助學生充分積累感性經(jīng)驗，打破知識點間的壁壘，搭建“幾個幾”和倍之間的聯(lián)系，初步確立倍的概念。

2.從變式比較中理解倍數(shù)關系

烏申斯基曾指出：“比較是一切理解和一切思維的基礎?！北緝热葜写嬖趦深悺白兓保阂皇钱敇藴柿坎蛔儠r，比較量發(fā)生變化；二是當比較量不變時，標準量發(fā)生變化。

【教學片段3】

（教師用課件出示圖4）

師：籃球的個數(shù)是排球的幾倍？

（學生自主圈畫，如圖5）

生：排球有3個，籃球有這樣的4份，也就是有4個3，所以籃球的個數(shù)是排球的4倍。

師：籃球有5份呢？籃球的個數(shù)是排球的幾倍？50份呢？100份呢？能說說你的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：排球的個數(shù)沒有變，籃球的個數(shù)在3個3個地增加。

生：以3個排球為1份的標準，籃球有幾份，籃球的個數(shù)就是排球的幾倍。

（教師用課件出示圖6）

師：籃球的個數(shù)是足球的幾倍？

生：籃球的個數(shù)是足球的2倍。

（教師用課件同時呈現(xiàn)圖5和圖6）

師：同樣是12個籃球，為什么圖5是3個3個圈，圖6是6個6個圈？

生：排球是3個為1份，足球是6個為1份，標準量在變化。

本環(huán)節(jié)通過構建兩種變化，促進學生對倍數(shù)關系的深入理解。第一類變化是“標準量不變，變化比較量”，引導學生進一步拓展對幾倍的認識。第二類變化是“比較量不變，變化標準量”，以使學生在對比中體會標準量的重要性。這樣的設計有助于學生加深對倍概念的理解，認識到倍數(shù)關系是由兩個量相互比較得出的一種關系，從而幫助學生理解和把握倍數(shù)關系的本質。

3.從直觀模型中抽象倍的數(shù)量關系

在引導學生探究兩個量的倍數(shù)關系時，要重視將所比較事物的數(shù)量關系直觀化。教師可以借助示意圖（如實物圖、紙條圖、線段圖等）直觀形象地展示兩個數(shù)量之間的倍比關系，引導學生關注“一個量里包含幾個另一個量”，從而揭示倍概念的本質特征。由此，通過抽象概括，學生可以理解基本數(shù)量關系，從而有效建立倍的概念。

【教學片段4】

（教師用課件出示圖7）

師：請大家仔細觀察三種球的對比圖及它們之間的倍數(shù)關系，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：足球的個數(shù)是排球的2倍，籃球的個數(shù)是足球的2倍，都是2倍關系。

（教師順勢用課件出示圖8）

師：為什么球的個數(shù)不同，卻都是2倍的關系？

生：我觀察到將第一行看成標準量，第二行都有這樣的2份，因此第二行的數(shù)量是第一行的2倍。

師：如果用一張紙條代表第一行，要顯示第二行的數(shù)量是第一行的2倍，第二行應如何表示？

生：第二行可以用2張相同長度的紙條表示。

師：如果第一行用一條線段來表示，第二行要表示第一行的2倍，應該怎樣畫？

（教師用課件展示畫線段圖的過程，如圖9）

師：聯(lián)系生活實際說一說，第一行還可以表示什么？第二行又能表示什么？

生：第一行可以表示7本書，第二行可以表示2個7本書，也就是14本書。

生：第一行可以表示5支鉛筆，第二行表示2個5支鉛筆，也就是10支鉛筆。

師：看來，無論第一行表示多少，只要第二行有第一行的2份那么多，就是它的2倍。想一想，如果第二行表示12顆糖，那么第一行表示什么呢？

本環(huán)節(jié)通過從具體的實物圖到紙條圖再抽象為線段圖的過程，引導學生從現(xiàn)實情境中抽象概括出基本數(shù)量關系，激發(fā)學生對倍概念本質的理解與感悟。通過構建倍的模型，使學生反復體會數(shù)量之間的倍數(shù)關系，從而建立“幾倍”與“幾個幾”之間的聯(lián)系，進一步拓寬學生的思維，培養(yǎng)其數(shù)學眼光和模型意識。

本節(jié)課通過多元表征及其相互轉換，深化學生對倍的認知體驗，使學生會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界；通過多次對比感悟，充分彰顯倍的內涵與外延，培養(yǎng)學生會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界；利用幾何直觀抽象出倍的本質，構建模型，使學生會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。在這一過程中，抽象、推理和模型等數(shù)學思想的培養(yǎng)貫穿教學始終，通過有趣的情境、豐富的活動、多維的思考，促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

參考文獻：

［1］史寧中，曹一鳴.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］郭華.好課燎原：斯苗兒和她的教研故事［M］.北京：人民教育出版社，2021.

［3］姚建法.數(shù)學多元表征研究綜述［J］.江蘇教育研究，2020（13）：53-59.

［4］鄭毓信.多元表征理論與概念教學［J］.小學數(shù)學教育，2011（10）：3-7.

（浙江省湖州市長興縣實驗小學）