口算算法和算理切勿混淆

顧志能

筆者近期連聽了幾節(jié)口算課，發(fā)現(xiàn)多位授課教師對口算算法和算理的認識不清晰，導致教學的設計及實施出現(xiàn)明顯問題。為此，筆者結(jié)合具體課例，對口算中的算法和算理作一些詳細說明，期待能引起一線教師的思考。

一

算法，即計算的方法，也就是怎么算。

以人教版教材三年級上冊的《口算乘法》為例。例1（如圖1）中，20×3可以怎么算？“20后面的0先不看，2乘3等于6，6后面再添個0，等于60。”這就是學生心目中這道題最典型的算法。當然，20×3還有另一種算法，即用20＋20＋20來計算，等于60。

算理，即算法背后的道理，也就是為什么可以這樣算。

以前述“0先不看，乘后再添0”的算法為例。它背后的道理是什么？20后面的0不看，就只看到了2；這個2是2個十的2，2個十的2乘3，得到6；但這個6是6個十的6，所以還要在6后面添個0，得到結(jié)果為60。這就是該種算法的算理。

上述算理，其本質(zhì)是數(shù)的意義和乘法的本質(zhì)（計數(shù)單位不變，計數(shù)單位的個數(shù)增加）。當然，算理還涉及乘法運算律，如“2個十”乘3變成“2×3”個十，用到了乘法交換律和結(jié)合律（這些運算律知識尚未學過，學生依據(jù)直觀和經(jīng)驗接受即可，下文同）。

至于20×3的另一種算法20＋20＋20，其算理一目了然——乘法的意義，即乘法是求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算。

由此可見，算法和算理是計算教學中兩個不同的概念，教師教學時需要區(qū)分清楚，不可混為一談。

二

例2（如圖2）中的算法與算理更值得一說。

12×3的算法是怎樣的？（讀者不妨先自己想一想）

用加法來計算，12＋12＋12肯定可行。

用乘法來算呢？很多教師可能會覺得，教材上所呈現(xiàn)的“10×3＝30，2×3＝6，30＋6＝36”不就是算法嗎？因此常會有教師直接把這一過程寫下來（或讓學生寫下來），指出這就是這道題目的計算方法。

然而，口算的算法并不需要那么復雜。在學生看來，這道題的口算算法很簡單。先用十位上的1乘3得3，答案處先寫3；再用個位上的2乘3得6，6寫在3的后面；3和6“合起來”就是36。整個算法過程如圖3所示（圖中的連線，只是學生表達算法或教師引導理解時的輔助記號，實際口算時不用畫出來）。

此外還要說明兩點：其一，口算的結(jié)果是口述的，并不一定要寫下來；其二，此題也可以從個位算起，且這是后一節(jié)課的優(yōu)化方向。

那么，這道題這么算，算理是什么呢？

一是數(shù)的意義，12就是10與2的和；二是乘法分配律，12×3也可視為10×3加上2×3；三是數(shù)的組成，十位上寫3，個位上寫6，就是30＋6。例題圖中小棒的圈畫或那三個算式就是在說明這些道理。

因此，小棒的圈畫和三個算式都是12×3乘法口算的算理，它們的本質(zhì)是一樣的，只不過前者為直觀圖式，后者為數(shù)學表達。

可能會有教師心生疑惑，教材上的插圖明明寫了“我是這樣算的”，這難道不是算法嗎？筆者認為，這是算法過程“完整的、嚴謹?shù)奈淖置枋觥保瑢W生可以如此邊口述邊寫出（想到）答案，但卻不需要形式化地寫出來，只要在頭腦中想到即可。從這個角度來說，教材上的“我是這樣算的”改成“我是這樣想的”也許更合適。

三

以上所講的算理算法，在筆者聽到的課中，很多教師都是混淆的。最常見的場景是給出小棒情境圖，引導學生列式12×3（此時很多學生會直接報出答案36），然后給學生布置一個探究任務（如圖4）。

學生探究后，教師組織教學反饋，學生有用連加計算進行說明的，有用圈畫小棒圖配上三個橫式進行說明的，教師引導學生理解，最后確認方法及答案。

畫一畫或?qū)懸粚懀f明12×3可以怎么算？

上述教學過程存在的問題是顯而易見的——算理算法混在了一起，有的學生是在寫算法，有的學生是在寫算理，或者兼而有之。

針對這樣的問題，教學該如何調(diào)整？筆者在《理法更分明，教學更合理》一文中已有闡述（詳見本刊2023年第10期），即針對這類算法較為簡單、學生普遍都會的計算課（特別是口算內(nèi)容），均可采用“先算法，后算理”的教學思路。在《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》強調(diào)數(shù)學思維主要是指運算能力和推理意識的背景下，這一教法的意義是明顯的，它放大了算理理解的過程，凸顯了思維訓練的目標。

四

綜上所述，口算的算法跟筆算的算法一樣，就是一個操作程序，但這個程序相對比較簡單，往往可以用很樸素、直白的語言予以概括，如“0先不看，乘后再添0”“先乘個位的數(shù)，再乘十位的數(shù)”等。運用這個程序就能很直接地得出答案，而不需要再寫出“想”的過程。這也就符合了口算的本意——凡是耳聽題目口答結(jié)果或是看著題目說出結(jié)果的計算方法就叫口算，所以口算也叫“心算”或“暗算”。

口算在第一、二學段有很多教學內(nèi)容，這些內(nèi)容看似易教易學，但細細思考，這樣的內(nèi)容其實并不好教，里面有很多值得研究的元素。教師在教學時，應厘清其中的算法和算理，然后設計出科學合理的教學過程，引導學生熟練掌握算法，深刻理解算理。

（浙江省杭州市濱江區(qū)教育研究院）