圖形直觀和代數表達

張娟萍

【摘要】借助圖形準確把握問題特征，用代數表達揭示數量關系.本文從“有理數”復習出發，以數和形的兩個方面貫穿“有理數、平方根、整式乘法，坐標系、多維空間、向量”等中學數學學習的整個過程，由一維到二維到多維，整合點線面體的思想，由數與字母、圖形與代數聯通，體現數學學習對學生而言是已有知識不斷擴張、按一個邏輯方式生長出來的.數學知識探究過程就是學生思維的拓展和創造的過程.

【關鍵詞】圖形直觀；代數表達；有理數

1 引言

從浙教版七年級上“有理數”復習出發，以數和形兩個方面貫通知識的發生和發展脈絡，貫穿中學數學學習的整個過程，由有理數的概念、有理數的運算、實數和代數式，進一步作思維和方法的拓展到直角坐標系、空間直角坐標系以及向量等.

2 數的表達與圖形表現

問題1 有理數表達方式區別于小學常用的自然數表達，有什么特征？

生 與小學的數比較，表達一個有理數有兩部分——符號和數值.

問題2 那么還有什么辦法表示數呢？不同的表示方法怎么統一呢？

學生發現，數軸上的點可以表示數.數的表示中符號對應數軸上原點左右的方向，數的表示中數值部分對應數軸上點的位置距離數軸原點的長度，這樣就建立了有理數與數軸上點的對應關系.

我們把數的概念和計算聯系到圖形的表示為：符號對應方向，數值對應線段長度.

3 有理數相關概念的圖形表現

問題3 有理數這一章提到了很多相關概念，能否用這兩種方法統一表示呢？

學生先獨立思考，再群組互動：有理數學習的相關內容包括有理數定義、相反數、絕對值、有理數比較大小、有理數的加減乘除運算，進一步到乘方、開方運算. 學生互動交流，并將所有的結論分類和細化，達成共識.

4 有理數運算的圖形表現

4.1 有理數加法的圖形表現

學生用數軸表示兩個有理數相加時，以一個加數在數軸上的點為起點，加另一個加數，如果是負的，就向左方向移動該加數數值所對應的單位長度，到數軸上所在點的位置，得到結果；如果另一個加數是正的，就向右方向移動對應的單位長度，同樣得到結果.所以，加減運算（減法轉化為加法）其實就是數軸上的線性運算.

學生們研究得到加法運算的圖形表現，相當于由一個點（被加數）所在位置出發，向左或右（加數的正或負）移動一段距離（加數的數值），得到的和就是所在點的位置.

4.2 有理數乘法的圖形表現

有理數乘法運算，怎么樣用圖形的方式來體現呢？

生 兩數相乘時想到的圖形就是長方形面積.

那么長方形如何在數軸上體現出來呢？

學生交流 乘法得到圖形的面積相當于加法得到數軸上的長度，乘法得到的符號該如何體現呢？類比數軸的方向表示符號的辦法，在這個直角坐標系中也得規定圖形所在區域的符號，這就是直角坐標系的象限符號，如表1.

例如 -3×（-2）在直角坐標系中表示：在橫軸上取-3；在縱軸上取-2，得到第三象限中面積為6的長方形，第三象限取正，所以-3×（-2）的結果表示為+6，如表2.

4.3 有理數平方、開方的圖象表現

師 平方運算怎么在坐標系中用圖形體現呢？如，22，（-2）2；用直角坐標系以圖形表現？

生 平方運算，兩個數一樣，即符號和數值一樣的，圖形在一、三象限內的正方形.

反過來，說明開方運算，正方形其邊長是相同的兩個值，對應的數分別在橫軸與縱軸的正負半軸上，說明了一個正數開方后有正負兩個平方根.

4.4 有理數乘方的圖形表現

師 有了前面的啟示（乘法轉化成圖形面積表示），大家能否用圖形表示立方呢？如，你能用圖形表示（2.7）3嗎？

生 用立方體，如何放到數軸上呢？

生 可以用三條數軸.用空間模型展示（三維坐標）.

為了研究空間圖形與數的關系，需要建立空間的點與有序數組之間的聯系，為此我們通過引進空間直角坐標系來實現.過定點O，作三條互相垂直的數軸，都以O為原點且具有相同的長度單位.這三條軸分別叫做x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸），統稱坐標軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線，三條坐標軸組成了一個空間直角坐標系，點O叫做坐標原點.

由學生在三維坐標中表示-3×（-2）×2，并歸納一般方法.

4.5 有理數數形結合的思維拓展

師 有些同學肯定還會想4次冪、5次冪、更多次冪怎么辦？

生 可以建立多維空間坐標系.

生 三個有理數相乘，想到立方體的體積，要建立三維坐標系.同樣的思維，多個有理數相乘，可以抽象到多維的坐標系表示.

師 在解決問題的過程中，可以大膽拓展和創設，由點想到線想到面想到體，然后創設數軸—直角坐標系—空間直角坐標系—多維直角坐標系，可以說思路打開，創造力無限.你們還有什么新奇的想法？

生 圓弧形數軸，圓形時鐘的圓周有均勻刻度可以規定正方向、單位長度、原點，可以類比數軸.

5 整式乘法的圖形表現

5.1 圖形幾何意義

下面選擇浙教版七年級下第六章多項式的乘法運算的典型例子——兩數差的完全平方公式（b-a）2=b2-2ab＋a2，用圖形來解釋等式的意義.

生 等式右邊表示邊長為（b-a）的正方形面積，等式左邊表示總的面積為：邊長為b的正方形面積＋邊長為a的正方形面積-2個長為a寬為b的長方形面積的總和.根據圖形整體等于局部之和，所以等式成立.

5.2 整式乘法的圖象表現

數的乘法可以在直角坐標系中的圖形面積及象限符號表現，同樣的方式可以在直角坐標系內表示式（字母表示數）的乘法，如上例兩數差的完全平方公式.

生 如圖1中，（b-a）2在直角坐標系所表示圖形為：邊長為（b-a）的正方形，一邊（b-a）放在橫軸上，b是正的，取原點右側b的長度單位，-a是負的，取原點左側a的長度單位；另一邊（b-a）放在縱軸上，b是正的，取原點上側b的長度單位，-a是負的，取原點下側a的長度單位.b2-2ab＋a2在直角坐標系所表示圖形為：邊長為b的正方形面積是b2的數值，由于在第一象限；邊長為a，b長方形的面積是ab的數值，由于這兩個長方形分別在二、四象限，所以符號取負，因此得到-2ab，邊長為a的正方形面積是a2的數值，由于在第三象限，所以符號取正.兩者說的是同一個圖，所以它們的值完全相同.

5.3 整式表達和圖象直觀的向量解釋

在初中數學教材中，學習整式乘法的時候要求表示它的幾何意義，就是用整體面積等于局部面積之和來驗證乘法公式成立，代數表達僅體現在數值的角度.而在直角坐標系內表示整式乘法，是體現代數表達的時候數值與符號全體參與的過程.

如何找到二者恰當的解釋呢？下面從向量[5]的角度作一些分析.向量是既有大小又有方向的量，它與數值和符號相對應，數與式的加法運算相當于平行向量（也叫做共線向量，是指方向相同或相反的非零向量）的和差，加法運算，相當于線性運算.數與式的乘法運算相當于平行向量乘數運算，實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的乘數，記作λa.當λ>0時，λa的方向和a的方向相同，當λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當λ = 0時，λa=0，這樣就實現了代數與幾何的融合.

6 結語

本課的明線是數形結合，把代數表達與圖形的直觀表現，聯系起來，由有理數復習出發，引導學生串起所有學過的知識，由一維的數軸拓展到二維直角坐標系、三維空間直角坐標系.用幾何圖形來解構有理數、整式乘法，沿途所產生的所有知識（包括平方根、坐標系、乘法公式、多維空間）對學生而言不是完全新的東西，而是已有的東西的不斷擴張，它整合了點線面體的思維、整合了數與字母的自然轉換，沖破了教材編排的順序和結構，讓知識按同一個思想連貫起來.找到一個合適的邏輯，初一的有理數和乘法公式、初二和高中的直角坐標系，甚至大學的多維空間，都是由已有知識擴展起來.本課暗線是學生思維的拓展和創造，體現數學學習的一般方法.

參考文獻：

[1]義務教育數學課程標（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.5.

[2]義務教育教科書.數學 七年級上冊[M].杭州：浙江教育出版社，2012.

[3]義務教育教科書.數學 八年級上冊[M].杭州：浙江教育出版社，2012.

[4]義務教育教科書.數學 七年級下冊[M].杭州：浙江教育出版社，2012.

[5]普通高中教科書.高中數學（必修2）[M].北京：人民教育出版社，2017.