源于情境 類比抽象 應用深化

盛國平 盛勤杰

【摘? ?要】數(shù)量關系不僅是解決問題的核心，也是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的關鍵。《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確提出“分量+分量=總量”這一數(shù)量關系。在教學中，教師應重視情境創(chuàng)設，引導學生自主建構加法模型，體驗數(shù)量關系的構建過程，并將模型應用于實踐。

【關鍵詞】“分量+分量=總量”；數(shù)量關系；模型構建；現(xiàn)實情境

數(shù)量關系不僅是解決問題的核心，也是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的關鍵。《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》強調(diào)讓學生經(jīng)歷在具體情境中運用數(shù)量關系解決問題的過程，并明確提出“分量+分量=總量”這一數(shù)量關系，為數(shù)量關系的教學提供了清晰的方向。

然而，在課堂中存在教學零碎化和片面性的問題。部分教師過于側重計算技能的培養(yǎng)，這在一定程度上削弱了學生構建數(shù)量關系的能力。如何有效進行數(shù)量關系的教學？對此，不少教師感到迷茫。本文以人教版教材三年級上冊“三位數(shù)加三位數(shù)”的教學內(nèi)容為例，探討如何借助具體情境，引導學生自主探究，深入理解“分量+分量=總量”這一數(shù)量關系的形成過程，進而培養(yǎng)他們的自主探究能力與數(shù)量關系的構建能力。

一、利用現(xiàn)實情境，感知數(shù)量關系模型

教師通過實物或圖片，為學生構建與生活息息相關的現(xiàn)實情境，引導學生在提取并分析信息的過程中，激活已有知識經(jīng)驗，形成新的認知沖突。同時，通過數(shù)形結合，幫助學生理解現(xiàn)實情境，切實感悟數(shù)量之間的模型關系。

（一）創(chuàng)設情境，提取信息

學生對數(shù)量關系的理解必須建立在具體的情境之上。通過對具體情境的感知，學生就能夠從中提取并分析出與數(shù)量關系緊密相關的信息。

師：學校組織同學們到動物園參觀。這些濕地野生動物你都了解嗎？

教師用課件出示主題圖（如圖1）。

師：濕地孕育了豐富多樣的野生動物，下面是關于中國濕地部分動物重量的統(tǒng)計表（如表1），你從中獲得了哪些數(shù)學信息？

生：濕地動物丹頂鶴重13千克，麋鹿重122千克，鱷魚重317千克。

師：你們能據(jù)此提出與數(shù)學有關的問題嗎？

生：丹頂鶴和麋鹿一共重多少千克？

生：麋鹿和鱷魚一共重多少千克？

生：丹頂鶴和鱷魚一共重多少千克？

生：麋鹿比丹頂鶴重多少千克？

將生活中的實例引入數(shù)學教學，可以拉近課堂與實際生活之間的距離，使學生更易于發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學信息。學生通過對這些信息的搜集和分析，可以提升信息搜集與處理能力，進而發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)和實踐應用能力。

（二）找共同點，激活經(jīng)驗

學生已有知識經(jīng)驗是他們學習新知識的基礎。為此，教師在教學中要善于找到新舊知識點之間的聯(lián)系。

師：同學們剛剛提出了那么多數(shù)學問題，現(xiàn)在，我們先一起解決“麋鹿和鱷魚一共重多少千克？”的問題。

師：這一題要求我們求麋鹿和鱷魚一共重多少千克。大家回憶一下，我們什么時候學過與求“一共”相關的內(nèi)容？

生：一、二年級時學過。

引導學生深入探索并發(fā)現(xiàn)和以往知識的共通點，可以有效激活學生的已有知識經(jīng)驗，使他們能夠在學習新知識的過程中更好地形成知識體系，并加強知識之間的聯(lián)系。

（三）借助線段，數(shù)形轉化

為了使學生能夠直觀地感知模型，教師在教學中需要借助數(shù)形結合的方式，將抽象的數(shù)學模型與具體的圖形相結合，從而幫助學生更好地理解模型的內(nèi)涵。

學生選取信息并提出問題后，教師出示問題：麋鹿和鱷魚一共重多少千克？

師：你們能用圖式來表示這些信息和問題嗎？

學生動手操作，畫一畫、擺一擺。

師：我們以前是用畫小方塊或者擺小木棒的方式來表示這類問題中的數(shù)量的，現(xiàn)在你們覺得還合適嗎？

生：不合適，因為數(shù)太大了。

師：那該怎么辦呢？

生：我們可以用線段來表示某一個數(shù)量。

學生用畫線段圖的方式表示題目中的數(shù)量關系（如圖2）。

師：你能說一說這幅線段圖表示什么意思嗎？

生：我先畫一條線段表示鱷魚重317千克，再在它的后面畫一條線段表示麋鹿重122千克，下面這個問句就表示這兩種動物一共重多少千克。

畫圖的實質(zhì)是借助圖形表征幫助學生把抽象問題具體化、直觀化，從而使學生能通過直觀感知與數(shù)學抽象的深度融合來理解題意，并分析數(shù)量關系，尋找到解決問題的突破口，實現(xiàn)知識的有效遷移。

二、利用遷移類比，提煉數(shù)量關系模型

為使學生更好地掌握數(shù)量關系，教師需要引導他們回顧已有的相關知識，并運用類比推理的方式，逐步從已知的關系中抽象概括出具有普遍意義的數(shù)學模型。

（一）運用語言描述，初步抽象規(guī)律

用自然、生動的語言來描述規(guī)律，是學生學習和認識規(guī)律的初步階段。通過語言描述，學生能夠初步感知規(guī)律的存在和形式，從而建立起對規(guī)律的基本認識。

師（出示圖2）：鱷魚的重量和麋鹿的重量合并起來就是一共重多少千克。你能模仿老師的方法說一說嗎？

小組合作后交流。

生：丹頂鶴的重量和鱷魚的重量合并起來就是一共重多少千克。

生：丹頂鶴的重量和麋鹿的重量合并起來就是一共重多少千克。

教師引導學生聯(lián)系運算的意義，在充分理解問題的基礎上，用自己的語言表達量與量之間的關系。如學生可以使用“……和……合并起來就是……”“……和……就可以求出……”等表達方式。這種語言描述方式不僅能夠幫助學生將觀察到的現(xiàn)象進行系統(tǒng)化整理，而且為他們學習如何將具體現(xiàn)象抽象為數(shù)學模型打下了堅實的基礎。通過這種方式，學生不僅能夠提高數(shù)學運算能力，還能夠提升邏輯思維和抽象思維能力，為未來的學習奠定良好的基礎。

（二）積累學習材料，進行類比分析

學生在學習中對規(guī)律的發(fā)現(xiàn)是一個漸進的、積累性的過程。只有不斷積累學習材料，他們對規(guī)律的認識才能逐漸變得清晰和深入。

教師出示學習單（如表2）。

要求：先填一填題目中已知什么、求什么，再列式解答。

教師利用列表的方式呈現(xiàn)三個題目的解決過程。通過討論、比較，學生發(fā)現(xiàn)這三道題目的相似之處，即它們都是將描述兩種動物的重量的數(shù)進行合并。通過對學習材料的積累與整理，學生獲得了豐富的學習經(jīng)驗，并經(jīng)過類比推理，發(fā)現(xiàn)這些題目本質(zhì)上具有一致性，即都符合“分量+分量=總量”這一數(shù)量關系。

（三）通過已有經(jīng)驗，得出基本模型

在日常生活中，許多學生都有過與天平接觸的生活經(jīng)驗。作為一種稱重工具，天平的顯性功能在于衡量物體的重量。同時，它還是數(shù)學中“表示兩邊相等”的基本模型。

教師出示天平圖（如圖3）。

師：這幅圖中的物品是天平，它有什么特點？

生：左右兩邊平衡，就表示左右兩邊相等。

師：現(xiàn)在，如果老師讓你將之前提到的動物放到天平上，你會怎么放？

（小組討論）

師：想象這里有一個超級大的天平，左邊托盤上站著重317千克的鱷魚和重122千克的麋鹿，右邊托盤上放多重的物體，天平才會平衡呢？

生：放重量為439千克的物體，即317+122=439（千克）。

師：如果左邊托盤上換成重317千克的鱷魚和重13千克的丹頂鶴呢？

生：右邊托盤上放重量為330千克的物體，天平會再次平衡，即317+13=330（千克）。

師：那如果左邊托盤上換成丹頂鶴和麋鹿呢？

生：右邊托盤上放重量為135千克的物體，天平會再次平衡，即13+122=135（千克）。

師：天平右邊的數(shù)和左邊的數(shù)有什么關系？

生：右邊是總量，左邊的兩個量相加就是右邊的量。

師：如果左邊的量稱為分量，那右邊的量可以稱作什么呢？

生：總量。

師：我們可以把它們的關系概括為：分量+分量=總量。

天平是數(shù)學上表示兩個數(shù)量關系的直觀模型，能夠為學生理解相等數(shù)量關系提供幫助。

三、開展拓展訓練，應用數(shù)量關系模型

開展拓展訓練是促進學生內(nèi)化數(shù)量關系模型的關鍵環(huán)節(jié)。通過多樣化的實踐應用，學生可以進一步實現(xiàn)對數(shù)量關系模型的理解，并逐漸將其內(nèi)化為自己的思維方式。

（一）拓展運用，鞏固模型

●題目：菜場運來白菜112筐，青菜32筐 ，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ？

師：你能把題目補充完整嗎？

生：一共運來多少筐蔬菜？

師：你能用“分量+分量=總量”來分析一下嗎？

生：分量是白菜的筐數(shù)和青菜的筐數(shù)，總量是蔬菜的總筐數(shù)，因此白菜的筐數(shù)+青菜的筐數(shù)=蔬菜的總筐數(shù)。

生：112+32=144（筐）。

加法模型“分量+分量=總量”是數(shù)學中一種基本且重要的概念，它描述了一個整體由兩個或多個部分合并組成的情況。教學中，教師要引導學生思考、討論分量和總量各自所代表的含義，幫助學生將加法模型抽象化，從而加深對“分量+分量=總量”模型的理解和應用。

（二）運用變式，內(nèi)化模型

●題目：媽媽把32個蘋果放在兩個盤子里，一個盤子里放了8個蘋果，? ? ? ? ? ? ？

師：你們能補充一個問題嗎？

生：另一個盤子里有幾個蘋果？

師：你們能找一下這一題的分量和總量嗎？

生：32個蘋果是總量，8個蘋果是分量，要求的也是分量。所以這一題應該是用“總量-分量=分量”解決。

生：32-8=24（個）。

加法模型的變式可以表達為“總量-分量=分量”。這是對“分量+分量=總量”這一數(shù)量關系模型的逆向運用，可以實現(xiàn)數(shù)量關系的結構化遷移，從而加深學生對加法模型概念的理解。這樣的學習有助于學生形成網(wǎng)狀知識結構，豐富學生的數(shù)學基本活動經(jīng)驗，使學生逐漸形成數(shù)學思想方法。

●題目：小紅今年18歲，比小明大了2歲，? ? ? ? ? ? ? ? ?？

師：請補充問題。

生：小明多少歲？

師：你能用今天學習的數(shù)量關系對題目進行具體分析嗎？

生：小紅的年齡是總量，小明的年齡和相差的2歲都可以看成分量。

生：小明的年齡+2歲=小紅的年齡。

在理解數(shù)量關系的過程中，學生應認識到合并關系可以進一步拓展為增加關系。除了掌握這些基本的數(shù)量關系，學生還需深入理解“又來了”“多了”“增加了”“走掉了”“用去了”等詞語的內(nèi)涵。教師要通過這樣的教學，引導學生掌握分析問題的方法，提高他們的審題能力和分析能力，從而提升他們解決問題的能力。

（三）流程分析，深化模型

分析法和綜合法是兩種常用的思維方法，在解決問題中發(fā)揮著重要作用。同時，它們在深化模型理解方面也具有重要意義，能夠幫助學生分析數(shù)量關系，提升分析能力。

●題目：宏光小學三年級有男生 186人，女生174人，已經(jīng)體檢的有328人，沒有體檢的有多少人？

綜合法：從條件入手，找出中間問題，再解決所求問題（如圖4）。

根據(jù)男生186人和女生174人可以求出三年級一共有360人。然后用360人減去已經(jīng)體檢的328人，就可以求出沒有體檢的有32人。

分析法：從問題入手，尋求解決問題的條件，逐漸向已知條件靠攏，最后利用已知條件解決問題（如圖5）。

要求三年級沒有體檢的有多少人，必須要知道三年級一共有多少人，再減去已經(jīng)體檢的人數(shù)。因為已經(jīng)體檢了328人是已知的，而三年級的總人數(shù)未知，所以要求三年級的總人數(shù)必須要知道三年級男生和女生各自的人數(shù)。

總之，通過自主建構加法意義的數(shù)量關系模型，即分量+分量=總量，學生能夠更好地理解并掌握這一數(shù)量關系，這將為他們今后構建其他數(shù)量關系模型打下堅實的基礎。

參考文獻：

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［3］馬云鵬.怎樣理解“數(shù)量關系”學習主題［J］.小學數(shù)學教育，2022（11）：11-13.

［4］段安陽，嚴微.符號意識：直抵數(shù)學本質(zhì)的教學：符號意識的本質(zhì)內(nèi)涵及培養(yǎng)策略［J］.教育科學論壇，2023（5）：8-11.

（杭州師范大學附屬乍浦實驗學校）