用理性精神讓數學與物理適度融合

吳保玉

在新課程、新教材、新高考的“三新”背景下，“注重在數學知識網絡的交匯處設計試題”，已經成為近年新課標高考數學試題的創新特色之一，更是深度契合高考數學命題的基本指導思想.特別地，對數學與物理這兩個跨學科適度融合方面的嘗試與創新，成為眾多跨學科適度融合方面最為典型的一類基本考點，備受各方關注.

1 借助函數模型闡述物理現象問題

例1?如圖1，某炮兵從地平面A處發射一枚炮彈至地平面的另一處B，假設炮彈的初始速度為v0，發射方向與地平面所成角為α?0<α

A.?π?6

B.?π?4

C.?π?3

D.?5π?12

分析：物理現象與物理知識以數學公式的方式給出，剖析當炮彈再次落地時豎直距離yB=0，即表示出對應的時間，代入水平距離的公式，利用三角恒等變換公式加以變形與化簡，結合三角函數的圖象與性質來確定相應的最值，從而得以解決物理現象.

解析：依題意由yB=（v0sin α）t－?1?2?gt2=0，解得t=?2v0sin α?g?，

此時對應的xB=（v0cos α）t=（v0cos α）·?2v0sin α?g?=?v20sin 2α?g?≤?v20?g?，

當且僅當sin 2α=1，即2α=?π?2?，亦即α=?π?4?時，等號成立，此時炮彈落地點的水平距離AB最大，最大值為?v20?g?.

故選：B.

點評：根據物理現象與物理知識的背景，通過數學公式的巧妙設置，結合函數與方程的應用、三角函數及其應用等來解決與物理知識相關的應用問題，依托物理場景，應用數學知識.破解的關鍵是結合數學公式與運算，以及數學的相關知識來轉化與應用.

2 依托物理背景構建數學模型問題

例2?宇宙之大，粒子之微，無處不用到數學.2023年諾貝爾物理學獎頒給了“阿秒光脈沖”，光速約為3×108 m/s，1阿秒等于10－18 s.現有一條50 cm的線段，第一次截去總長的一半，以后每次截去剩余長度的一半，至少需要截＿＿＿＿次才能使其長度小于光在1阿秒內走的距離.（參考數據：lg 5≈0.70，lg 3≈0.48.）（??）.

A.30

B.31

C.32

D.33

分析：依據物理應用中的光速與阿秒的概念，通過挖掘問題內涵，引入對應的參數并建立對應的函數關系式，通過不等式的構建，以及解不等式的應用與對數運算等，借助數學方法來分析與求解，進而得以解決物理背景下的應用問題.

解析：設一條50 cm的線段經過x次截取后剩余的長度為y cm，

則

y=50×?1－?1?2??x=50×??1?2??x，x∈N*.

由題意可得y<3×10－18×108×102，即為50×??1?2??x<3×10－18×108×102，

整理可得2x>?1?6?×1010，

兩邊取常用對數，可得x>?lg?1010?6??lg 2?=?10－lg 6?lg 2?=?9+lg 5－lg 3?1－lg 5?≈?9+0.70－0.48?1－0.70?≈30.7，

則x的最小值為31.故選：B.

點評：此類與物理背景相關的問題，關鍵在于閱讀題設條件，挖掘問題的內涵與本質，依托數學概念與知識來合理構建與之對應的數學模型，通過數學模型的處理和轉化，進而解決與之對應的物理應用問題.

3 利用物理性質解決解析幾何問題

例3?拋物線有一條重要性質：從焦點出發的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.過拋物線C：y2=4x上的點P（不是原點）作C的切線l，過坐標原點O作OQ⊥l，垂足為Q，直線PF（F為拋物線的焦點）與直線OQ交于點T，點A（0，2），則|TA|的取值范圍是＿＿＿＿.

分析：通過問題分析，該題是軌跡問題，涉及物理學科中的光學性質背景.對于此類問題，題目暗示較為明顯，應當優先考慮光學性質背景下的幾何特征，從圓錐曲線的基本定義入手，回歸平面解析幾何的平面幾何本質，通過幾何法來分析與解決問題.

解析：作出示意圖如圖2所示，l為切線.

由拋物線C：y2=4x，可得拋物線C的焦點F（1，0），

自F出發的光線FP經點P反射后的反射光線為PH，設l在點P處的法線為PN，

根據光線的反射定律可知，∠FPN=∠HPN.

因為OQ⊥l，PN⊥l，所以PN∥OQ.設直線OQ與直線PH交于點M，

則知

∠FPN=∠FTO，∠QMP=∠HPN.

又PH平行于x軸，可得∠QMP=∠FOT，所以∠FTO=∠FOT，則有|FT|=|OF|=1，

則知點T的軌跡是以點F為圓心，1為半徑的圓.

又|FA|=?5?，所以|TA|的取值范圍是[ 5?－1，?5?+1].

點評：通過物理性質來抽象出數學本質，進而抓住平面解析幾何問題中的幾何本質，以“形”的視角切入，從平面幾何直觀圖形入手加以分析，綜合平面幾何的基本性質來推理與分析.依托平面幾何圖形的直觀性，利用數形結合來處理，成為解決平面解析幾何中一個的思維方法.

4 借助數學工具優化物理決策問題

例4?法國數學家傅里葉用三角函數詮釋美妙音樂，代表任何周期性聲音和震動的函數表達式都是形如y=Asin ωx的簡單正弦型函數之和，這些正弦型函數各項的頻率是最低頻率的正整數倍（頻率是指單位時間內完成周期性變化的次數，是描述周期運動頻繁程度的量），其中頻率最低的一項所代表的聲音稱為第一泛音，第二泛音的頻率是第一泛音的2倍，第三泛音的頻率是第一泛音的3倍……例如，某小提琴演奏時發出聲音對應的震動模型可以用如下函數表達：y=0.06sin 1 000πt+0.02sin 2 000πt+0.015sin 3 000πt（其中自變量t表示時間），每一項從左至右依次稱為第一泛音、第二泛音、第三泛音.若一個復合音的數學模型是函數f（x）=sin x+?1?2?sin ωx（x∈R）（從左至右依次為第一泛音、第二泛音），給出下列結論：

①f（x）的一個周期為3π；

②f（x）的圖象關于直線x=2π對稱；

③f（x）的極小值為－?3?3??4?；

④f（x）在區間[0，2π]上有2個零點.

其中正確結論的個數有（??）.（A）

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

分析：根據題設中的閱讀材料，通過物理與數學的交匯，利用閱讀材料中的信息來確定對應函數的頻率，進而得以確定變量ω的值，結合對應的數學模型，對相應的結論加以逐一分析，即可合理判斷與決策.

點評：此題以物理中的震動與頻率相關的知識入手，以生活實際為問題背景，利用泛音的設置來創設數學模型，利用三角函數來解決與之相關的判斷與決策問題.此類綜合應用問題巧妙將物理與數學學科加以融合，將對應的知識加以轉化與應用，使得問題極具創新意識與應用意識，有利于學科素養的培養，從而有效聯系知識與實際.

此類涉及數學與物理這兩個跨學科適度融合方面的創新與應用問題，往往是依托物理背景，通過材料閱讀，挖掘題目內涵，化物理問題為數學問題，經常是通過數學概念、定義、公式的應用來建立起與之對應的數學模型，從而轉化為相關的數學問題，利用數學知識來分析與求解，進而達到破解物理及其應用問題的目的.也就是說，依靠思維能力對感性材料進行抽象概括、分析綜合，以形成概念、判斷或推理的理性認識活動并用以尋找問題的本質，這也正是理性精神的體現.

因此，在日常數學教學與學習中，應重視數學教材、學科基礎與知識基礎等，合理進行不同學科知識之間的聯系，構建學科之間的適度融合，用理性精神去追求真理，實事求是.另外，還要強調理性精神在數學基本技能與基本方法的訓練過程中的重要作用，通過對所學的數學知識有一個系統的認識，為知識交匯、學科融合的應用與問題解決奠定基礎.

課題信息：江蘇省教育科學“十四五”規劃重點課題“厚植理性精神的高中數學跨學科教學研究”，立項編號為B/2022/03/204.