依托教材，返璞歸真：立體幾何中的截面問題

徐曉軍 王顏

在處理立體幾何綜合問題時，經(jīng)常會碰到截面問題，其是基于借助一個平面（或不共線的三點、一直線與該直線外一點、兩平行直線等）去截對應(yīng)的空間幾何體，進而所創(chuàng)設(shè)的問題場景及其相應(yīng)的應(yīng)用問題.此類截面問題，合理構(gòu)建“二維”與“三維”之間的聯(lián)系，從而構(gòu)建平面幾何與立體幾何的升維與降維思想，一直是高考數(shù)學命題中比較常見的一類基本考查方式，備受關(guān)注.

1 依托教材，構(gòu)建概念

1.1 鏈接教材

問題?（人教A版必修第二冊第138頁例3）圖1所示的一塊木料中，棱BC平行于面A′C′.

（1）要經(jīng)過面A′C′內(nèi)的一點P和棱BC將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該樣畫線？

（2）所畫的線與平面AC是什么位置關(guān)系？

該問題涉及在空間幾何體木料中過直線BC與直線外一點P的截面問題，合理確定截面的作法以及對應(yīng)的幾何性質(zhì)等.

1.2 構(gòu)建概念

截面：用一個平面去截一個空間幾何體（經(jīng)過空間幾何體內(nèi)部的點），得到的平面圖形叫做這個空間幾何體的截面（其中，截面與空間幾何體表面的交線叫做截線）.

特別地，經(jīng)過空間幾何體的內(nèi)部，每邊都在空間幾何體表面上的封閉圖形，可以作為空間幾何體的截面.

2 返璞歸真，應(yīng)用類型

立體幾何中的截面問題，場景變化多端，題型新穎，可以通過截面的作法與確定來反映幾何本質(zhì)，疊加“平面”與“立體”之間的聯(lián)系；借助截面對應(yīng)的平面幾何圖形確定以及相應(yīng)形狀的判斷等來突出能力，凸顯空間想象能力以及相應(yīng)的數(shù)學思想方法應(yīng)用；結(jié)合截面圖形的周長或面積等數(shù)值的求解或最值的確定來著力創(chuàng)新，強化數(shù)學的應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識等.

2.1 截面作法

例1?如圖2，P，Q，R三點分別在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1和DD1上，試寫出過P，Q，R三點的截面作法.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，從最高點Q出發(fā)，確定直線QP，QR與對應(yīng)底面棱所在直線CB，CD的交點，在底面ABCD中進一步確定對應(yīng)直線的交點，從而確定相關(guān)直線與直四棱柱的對應(yīng)棱的交點情況，即可確定對應(yīng)的截面，得到截面的作法.

作法：（1）連接QP，QR并延長，分別交CB，CD的延長線于點E，F(xiàn)；

（2）連接EF，交AB于點T，交AD于點S；

（3）連接RS，TP.如圖3，五邊形PQRST即為所求截面.

點評：對于立體幾何圖形中的截面問題，在具體的截面作圖與應(yīng)用時要做到“心中有圖”，通過相關(guān)的點、直線等要素，綜合平面確定的條件，由立體幾何中的“三維”圖形合理轉(zhuǎn)化為平面幾何中的“二維”圖形，要求具有較強的空間想象能力，并會加以合理直觀想象與數(shù)形結(jié)合應(yīng)用.

2.2 形狀判斷

例2?在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=BB1=2BC，點P，Q，T分別在棱BB1，CC1和AB上，且B1P=3BP，CQ=3C1Q，BT=3AT，則平面PQT截長方體所得的截面形狀為（??）.

A.三角形

B.四邊形

C.五邊形

D.六邊形

分析：本題依據(jù)刻畫平面性質(zhì)的基本事實及推論作出截面圖形，然后加以判斷.

解析：如圖4所示，連接QP并延長交CB的延長線于點E，連接ET并延長交AD于點S，過點S作SR∥EQ交DD1于點R，連接RQ，

則五邊形PQRST即為平面PQT截該長方體所得的截面.

因為3BP=B1P，3C1Q=CQ，所以△EBP∽△ECQ，則?EB?EC?=?BP?CQ?=?1?3?，所以EB=?1?2?BC.

易知△SAT∽△EBT，又BT=3AT，則?SA?EB?=?AT?TB?=?1?3?，所以SA=?1?3?EB=?1?6?AD，則有SD=?5?6?AD.

顯然△SDR∽△ECQ，則?SD?EC?=?DR?CQ?，所以DR=?5?9?QC=?5?12?CC1=?5?12?DD1，

即平面PQT截長方體所得的截面形狀為五邊形.故選：C.

點評：此類涉及立體幾何中的截面形狀判斷以及相關(guān)幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵就是綜合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，合理空間想象與直觀分析，有時還要通過數(shù)學運算以及準確的邏輯推理來分析.

2.3 數(shù)值求解

例3?已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，作一個以頂點A為球心，半徑為?2?3??3?的球，則球面與正方體的表面相交所得的曲線總長為（??）.

A.?5?3??6?π

B.??3??3?π

C.??3??9?π

D.?5?3??9?π

分析：根據(jù)題設(shè)條件，合理通過圖形直觀來確定對應(yīng)的球面特征.這里要注意，球面交線的一種類型是在頂點A所在的三個面上，另一種類型是在不過頂點A的三個面上.這些曲線均為圓弧，分別求其長度并結(jié)合圖形的對稱性即可得結(jié)果.

解析：作出圖形如圖5所示，在平面ADD1A1上，交線為EF?，由AE=?2?3??3?，AD=1，結(jié)合三角函數(shù)的定義，可得cos∠DAE=?AD?AE?=??3??2?，所以∠DAE=?π?6?.

同理∠A1AF=?π?6?，所以∠EAF=?π?6?，則EF?的長為?2?3??3?×?π?6?=??3??9?π.

而根據(jù)圖形的對稱性，所求曲線中這樣長度的弧共有3條.

在平面A1B1C1D1上，交線為FG?，此弧對應(yīng)的半徑為A1F=???2?3??3??2－1?=??3??3?，易知∠FA1G=?π?2?，則FG?的長為??3??3?×?π?2?=??3??6?π.

同樣根據(jù)圖形的對稱性，所求曲線中這樣長度的弧也有3條.

所以所得曲線總長為3×??3??9?π+3×??3??6?π=?5?3??6?π.

故選：A.

點評：這里要注意的是，球與平面相交截面一定是圓面，對應(yīng)的交線就是圓弧.在解決立體幾何中的截面所對應(yīng)圖形的周長或面積等問題時，準確確定對應(yīng)的截面在空間幾何體的各面上的交線是關(guān)鍵，同時經(jīng)常要合理利用圖形的對稱性、三角函數(shù)以及其他相關(guān)知識等.

2.4 最值確定

例4?已知正四棱錐P-ABCD中，其底面是邊長為3的正方形，O是P在底面上的射影，PO=6，其中Q是AC上的一點，過點Q且與PA，BD都平行的截面為五邊形EFGHL，則該截面面積的最大值為＿＿＿＿.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，首先弄清截面是由兩個全等的直角梯形構(gòu)成，點Q在AC上運動；然后引入?yún)?shù)，設(shè)AE=x，結(jié)合圖形直觀以及性質(zhì)應(yīng)用求出截面EFGHL的面積表達式，進而利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可確定對應(yīng)面積的最大值.

解析：如圖6，易知AP∥EF，AP∥LH，且∠GQE是異面直線BD與PA所成的角，則QG⊥EL，所以平面GFEQ和平面GHLQ是兩個全等的直角梯形.

設(shè)AE=x（0

由AP∥EF，利用平行性質(zhì)可得?EF??9??2???=?3－x?3?，故EF=?3??2??（3－x）.

同理，得AQ=?x??2??，QG=?9??2???1－?x?6??.

所以SEFGHL=－?9?4?x2+9x=－?9?4?（x－2）2+9，

則當x=2時截面EFGHL的面積最大，且最大值為9.

點評：此類涉及立體幾何中的截面相關(guān)的最值確定問題，經(jīng)常通過“動點”的變化情況引入?yún)?shù)（或角參或邊參），進而利用截面的幾何性質(zhì)以及所求要素，合理構(gòu)建對應(yīng)的表達式，利用函數(shù)思維、不等式思維或函數(shù)與導數(shù)的應(yīng)用思維等來確定最值；也經(jīng)常采用“動”中取“靜”的方式，利用動點的特殊位置來直觀想象與數(shù)形結(jié)合，確定極端情況下的最值問題.

解決立體幾何中的截面問題，關(guān)鍵在于合理利用平面的基本性質(zhì)確定對應(yīng)的截面，將立體幾何中的“三維”問題進行降維處理，轉(zhuǎn)化為平面幾何的“二維”問題，綜合聯(lián)系“立體”與“平面”的基礎(chǔ)知識與基本性質(zhì)等，結(jié)合截面圖形以及對應(yīng)的幾何性質(zhì)加以合理邏輯推理與數(shù)學運算，實現(xiàn)截面問題的巧妙分析與解決.