基于“三新”背景，高考備考建議

柳環(huán)

摘要：?在“三新”背景下，高考命題倡導(dǎo)改革與創(chuàng)新，關(guān)注考生的“四基”與關(guān)鍵能力等，這就給高考復(fù)習(xí)與備考提出更高的要求.以“三角函數(shù)”為例，合理回歸概念，巧妙突出重點(diǎn)，借助“一題多解”，堅(jiān)持錯題整理等，有效落實(shí)復(fù)習(xí)內(nèi)容，強(qiáng)化解題思維，拓展技巧方法，提升復(fù)習(xí)備考的質(zhì)量.

關(guān)鍵詞：新教材；新課程；新高考；備考；三角函數(shù)

在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下，高考復(fù)習(xí)與備考顯得更加重要，成為復(fù)習(xí)階段最為重要的一項(xiàng)基本工作.要在充分研讀“課標(biāo)”的基礎(chǔ)上，合理分析近年來的高考試題，研究考點(diǎn)尋找規(guī)律，從而從細(xì)節(jié)入手，結(jié)合各相應(yīng)的知識模塊加以有針對性的復(fù)習(xí)，是決定高考復(fù)習(xí)備考成敗的關(guān)鍵.本文以“三角函數(shù)”為例，闡述高考復(fù)習(xí)備考中的幾點(diǎn)建議，拋磚引玉.

1 回歸概念，落實(shí)“雙基”

三角函數(shù)作為一種基本初等函數(shù)，首先要將它納入到函數(shù)的體系中，因而在高考復(fù)習(xí)備考時(shí)，能夠把研究函數(shù)方式與方法等遷移到三角函數(shù)的研究之中，這樣就不會孤立地看待它了，也使得三角函數(shù)有了很好的歸屬.

例1?（2019年全國卷Ⅱ）已知α∈?0，?π?2??，2sin 2α=cos 2α+1，則sin α=（??）.

A.?1?5

B.??5??5

C.??3??3

D.?2?5??5

解析：由2sin 2α=cos 2α+1可知，點(diǎn)（cos 2α，sin 2α）是單位圓x2+y2=1與直線x－2y+1=0的交點(diǎn)，如圖1所示.

因?yàn)棣痢?0，?π?2??，所以該交點(diǎn)為圖1中的點(diǎn)P.

由于|OA|=|OP|=1，則知α為直線AP：x－2y+1=0的傾斜角，可得k=tan α=?1?2?.綜合同角三角函數(shù)關(guān)系式，可得

sin2α=?sin2α?sin2α+cos2α?=?tan2α?tan2α+1?=?1?5?.

結(jié)合α∈?0，?π?2??，解得sin α=??5??5?.故選：B.

點(diǎn)評：涉及三角函數(shù)的基本應(yīng)用問題，如概念、求值、判斷等問題中，經(jīng)常要合理回歸三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的圖象以及三角函數(shù)的基本公式，借助概念與圖象的直觀，以及公式的合理變形，巧妙轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的落腳點(diǎn)之一.合理回歸概念，巧妙落實(shí)“雙基”，夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也是高考對數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的基本要求.

三角函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)世界中周期變化現(xiàn)象的最富有表現(xiàn)力的函數(shù).三角函數(shù)的單位圓定義，使三角函數(shù)線與三角函數(shù)定義有了直接的聯(lián)系，從而能用數(shù)形結(jié)合思想方法研究三角函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)值符號的變化規(guī)律、同角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、周期性、單調(diào)性、最值等.因此，三角函數(shù)的概念是我們所研究圖象和性質(zhì)的本源，在復(fù)習(xí)中應(yīng)該重視.

那么基本概念等基礎(chǔ)知識怎么復(fù)習(xí)呢？理解概念知識，回歸定義的本源，重點(diǎn)知識多強(qiáng)調(diào)，讓學(xué)生知識要串成串，形成網(wǎng)絡(luò)，這樣學(xué)生解題能力的提升更快.

2 突出重點(diǎn)，適度綜合

高考對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查，既要全面又要突出重點(diǎn)，對于支撐學(xué)科知識體系的重點(diǎn)內(nèi)容，要重點(diǎn)考查，注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，不刻意追求知識覆蓋面.在三角函數(shù)模塊中哪些是重點(diǎn)內(nèi)容，哪些是高考熱點(diǎn)？我們必須有一個清醒的認(rèn)識.

例2?在△ABC中，已知C為鈍角，sin（A+B）=?3?5?，sin（A－B）=?1?5?.

（1）求證：tan A=2tan B；

（2）設(shè)AB=6，求AB邊上的高.

（1）證明：依題意，得sin（A+B）=sin Acos B+cos Asin B=?3?5?，sin（A－B）=sin Acos B－cos Asin B=?1?5?，

以上兩式變形并整理可得

sin Acos B=2cos Asin B，

兩邊同時(shí)除以cos Acos B，可得tan A=2tan B.

（2）解：由（1）知tan A=2tan B.

利用平方關(guān)系，可得

cos（A+B）=?1－sin2（A+B）?=?4?5?.

[JP4]于是tan（A+B）=?sin（A+B）?cos（A+B）?=?3?4?，即tan（A+B）=?tan A+tan B?1－tan Atan B?=?3?4?，

結(jié)合tan A=2tan B，整理可得2tan2B+4tan B－1=0，解得tan B=?－2+?6??2?（負(fù)值舍去）.所以tan A=2tan B=?6?－2.

設(shè)AB邊上的高為CD，則有AB=AD+DB=?CD?tan A?+?CD?tan B?=?3CD??6?－2?=6，解得CD=2?6?－4.

所以AB邊上的高為2?6?－4.

點(diǎn)評：三角函數(shù)與平面幾何、解三角形以及平面向量等知識的交匯與融合是高考命題中比較常見的一種基本題型.合理突出三角函數(shù)的應(yīng)用背景，以平面幾何為場景，通過解三角形或平面向量的關(guān)系式的給出，回歸三角函數(shù)的基本應(yīng)用，能夠更好地突出三角函數(shù)模塊知識的重點(diǎn)與應(yīng)用.

圖象作為函數(shù)的一種表示方法，具有直觀性的表現(xiàn)形式，是數(shù)形結(jié)合的良好載體之一.因此，三角函數(shù)的圖象在三角函數(shù)內(nèi)容中占據(jù)著重要地位，在高考中主要以客觀題形式出現(xiàn)，重點(diǎn)考查圖象變換、作圖、根據(jù)圖象確定參數(shù)、根據(jù)圖象研究性質(zhì)（單調(diào)性、周期性、對稱性、奇偶性、最值、定義域、值域）等.因此，一定要熟悉正弦、余弦型函數(shù)簡圖的“五點(diǎn)作圖法”，理解原理，掌握規(guī)律，這樣才能以不變應(yīng)萬變.近年高考試題中，三角函數(shù)還與其他初等函數(shù)復(fù)合或者四則運(yùn)算構(gòu)成新函數(shù)，再研究其性質(zhì)，對學(xué)生的能力有較高的要求.

對于三角恒等變換，主要考查學(xué)生的邏輯推理與運(yùn)算求解能力，但是變換一般不復(fù)雜，更沒有技巧性強(qiáng)的變換，主要公式有和差角公式、二倍角公式，同時(shí)對于同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式也要求學(xué)生熟練運(yùn)用，要求學(xué)生掌握切化弦、齊次式、輔助角公式、降冪公式的靈活運(yùn)用，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化思想等.

3 一題多解，發(fā)散思維

由于每位學(xué)生思維的角度、方式、水平等方面的差異，因而學(xué)生的解答往往呈多樣化，這時(shí)教師就必須充分挖掘利用，并通過反思加以提煉，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性.而“一題多解”是培養(yǎng)思維多樣性的一種重要途徑，采用多種解題方法解決同一個實(shí)際問題的教學(xué)方法，它有利于培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力，通過不同種解法的展開、比較、反思，能促進(jìn)知識遷移，并達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果，從而提高了高三學(xué)生的復(fù)習(xí)效率和運(yùn)用知識的能力.

特別是三角函數(shù)模塊知識的“一題多解”，往往可以有效聯(lián)系三角函數(shù)章節(jié)的基本概念、基本公式等，以及借助不同的公式來分析與解決相應(yīng)的三角函數(shù)問題，對于更加有效系統(tǒng)地理解與掌握相應(yīng)的三角函數(shù)知識，以及發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維等方面都有益處.

4 錯題整理，針對訓(xùn)練

對于有些問題，老師講明白了，學(xué)生聽明白了，不等于學(xué)生會做了，所以要想提高復(fù)習(xí)的時(shí)效性，重在知識的落實(shí)，這就需要作業(yè)的針對性.培養(yǎng)學(xué)生題后反思的良好習(xí)慣，對錯題正確歸因，讓學(xué)生定期對錯題進(jìn)行“再回首”，做一道錯題，勝過做10道新題.教師如果也收集班級學(xué)生常出錯的題目，不定時(shí)地當(dāng)作業(yè)布置、甚至考試督促學(xué)生復(fù)習(xí)錯題、消滅錯題，會更快提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.

我們知道，人類的文明發(fā)展史就是一部在不斷犯錯、不斷修正的過程中前行而發(fā)展起來的歷史.數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展與應(yīng)用更是如此.[JP+1]借助數(shù)學(xué)錯題的整理，加以合理發(fā)現(xiàn)問題、挖掘問題，通過對錯誤的反思、修正、探究、拓展等，使數(shù)學(xué)的解題價(jià)值得以凸現(xiàn)，數(shù)學(xué)本質(zhì)得以更好地認(rèn)清，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力得以全面提升，邏輯推理能力更加嚴(yán)謹(jǐn)，創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用得以發(fā)展.

總之，高三復(fù)習(xí)備考階段，我們既要充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性與能動性，又要注重學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的落實(shí)與基本思想方法的掌握，既要做到夯實(shí)基礎(chǔ)，又要謀劃策略，合理引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)與深度復(fù)習(xí)，挖掘?qū)W生的自身的潛能與能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，盡量讓學(xué)生做到觸類旁通，考試時(shí)候達(dá)到無師自通.