拾級而上重本質，開拓進取升素養

熊洪智 劉勇 劉科蘭

2023年全國數學新高考Ⅱ卷順應高考命題改革，以素養為導向，通過創設多樣命題情境，突出對數學關鍵能力的考查，充分發揮數學學科在人才選拔中的重要作用.

1深化基礎考查，指向關鍵能力

《中國高考評價體系》指出，高考以能力為重、知識為基，關鍵能力是高考重要的考核目標，也是測試和評價的核心指標和因素.數學關鍵能力是指進入更高層次的學習者，在面對數學學科相關的生活實踐或學習探索問題情境時，能有效地提出問題、認識問題、分析問題和解決問題所必須具備的能力.《中國高考評價體系》闡述了適合高考評價規律的三個方面關鍵能力群：以認識世界為核心的知識能力群、[JP+1]以解決實際問題為核心的實踐操作能力群和涵蓋了各種關鍵思維能力的思維認知能力群.在2023年全國數學新高考Ⅱ卷中，主要考查邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、應用實踐能力和創新能力5項數學關鍵能力.

1.1邏輯思維能力

例1（第11題）若函數f（x）=alnx+bx+cx2（a≠0）既有極大值也有極小值，則（）.

A.bc>0

B.ab>0

C.b2+8ac>0

D.ac<0

評析：本題將導數與方程相結合，重點考查邏輯推理能力和化歸與轉化的數學思想方法，本題各選項之間有一定關聯，可以由已知條件，經過分析與轉化，通過一個思路來判斷4個結論是否正確.對于函數極值問題的研究，主要轉化為其導函數零點存在性問題，進而轉化為方程根的分布問題，特別地，教學中要引導學生理解“函數的極值點——導函數零點——相應方程的根——導函數圖象與x軸交點”這四者的關系及其應用.

1.2運算求解能力

例2（第8題）記Sn為等比數列{an}的前n項和，若S4=－5，S6=21S2，則S8=（）.

A.120

B.85

C.－85

D.－120

評析：本題源自人教A版選擇性必修第二冊第37頁例9，例9是對數列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n性質的證明，考查等比數列的求和公式及其性質，著重考查運算求解和邏輯思維能力.滲透了整體思想、方程思想、化歸與轉化思想，同時考查邏輯推理、數學運算等素養.

1.3空間想象能力

例3（第9題）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB=120°，PA=2，點C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45°，則（）.

A.該圓錐的體積為π

B.該圓錐的側面積為43π

C.AC=22

D.△PAC的面積為3

評析：本題以圓錐為載體，綜合考查二面角、圓錐的體積和側面積等知識.通過二面角P-AC-O為45°可以確定點C在底面圓周上的位置，根據圓錐的母線長為2可以求得圓錐的高和底面圓的半徑，為后續的判斷奠定基礎.本題全面考查基礎，四個選項設問逐次遞進，各選項分別考查圓錐的不同性質，互相聯系，突出對基礎知識和基本概念的深入理解和靈活掌握.考查學生轉化思想和空間想象能力.

1.4應用實踐能力

例4（第19題）某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖（如圖1）：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c）；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q（c）.假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.

（1）當漏診率p（c）=0.5％時，求臨界值c和誤診率q（c）；

（2）設函數f（c）=p（c）+q（c），當c∈［95，105］時，求f（c）的解析式，并求f（c）在區間［95，105］的最小值.

評析：試題以疾病的檢測為背景進行設計，既有現實意義，也能很好地體現數學學科的應用價值.

第（1）問本質上是考查百分位數的運用，屬于新教材新增內容，百分位數的引入，需要我們更進一步理解頻率分別直方圖中面積的含義；第（2）問要確定一個使得誤診率和漏診率之和盡量低的臨界值c，需要計算相應的矩形面積之和，最終結合分段函數的單調性計算最值.本題立意新穎，突出對學生應用實踐能力和邏輯思維能力的考查.

1.5創新能力

例5（第12題）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立.發送0時，收到1的概率為α（0<α<1），收到0的概率為1－α；發送1時，收到0的概率為β（0<β<1），收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.

A.采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為（1－α）（1－β）2

B.采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為β（1－β）2

C.采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為β（1－β）2+（1－β）3

D.當0<α<0.5時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

評析：本題源自人教A版選擇性必修第三冊第51頁例6，以信號傳輸為情境考查二項分布及其應用.試題設計了單次傳輸和三次傳輸兩種傳輸方式，考查學生利用概率加法公式及乘法公式求概率的能力及對新概念、新知識的理解和探究能力，考查分析問題和解決問題能力及創新應用能力.

2突出主干知識，構建完整體系

2023年全國數學新高考Ⅱ卷試題突出對六大主干知識的考查.如考查數列的題目有第8題、第18題；考查三角函數和解三角形的題目有第7，16，17題；考查立體幾何的題目有第9，14，20題；考查概率統計的題目有第3，12，19題；考查解析幾何的題目有第5，10，15，21題；考查函數知識的題目有第4，6，11，22題.因此，在復習備考中要關注主干知識，引領學生積累六大主干知識基本的數學活動經驗，形成完整的知識體系.

全面考查基礎，并不是平均用力，而是突出考查支撐中學數學的核心知識.從表1可以看出，近四年全國數學新高考Ⅱ卷中都突出對六大主干知識的考查，力圖讓學生構建完整的基礎知識體系，為將來發展奠定良好的基礎.

3倡導通性通法，實現精準選拔

2023年新高考Ⅱ卷試題的求解入口寬、思路多樣，體現通性通法，真實反映考生的基礎理解水平，“反刷題”“反套路”，抑制“秒殺”，不提倡一知半解所謂的“高觀點”.不同的理解水平在解題時間和準確性上的差異可以有效區分考生.

例6（第20題）如圖2，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E為BC的中點.

（1）證明：BC⊥DA；

（2）點F滿足EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值.

評析：

本題以三棱錐這一常見的空間幾何體為載體，第（1）問考查異面直線垂直的證明，可以利用“線面垂直線線垂直”，關鍵是直線與平面垂直的判定及直線與平面垂直的定義的應用，還可以用向量運算（數量積等于零）來證明（見解析）；第（2）問考查二面角的計算，可以采用坐標法、綜合法和基底法求解，不同的解題方法能夠反映學生對立體幾何問題中通性通法的掌握情況.

4落實“四翼”考查，助力“雙減”落實

2023年新高考Ⅱ卷緊扣中國高考評價體系對“四翼”考查的要求，試題注重考查學生對數學基礎知識的理解和掌握，重視教考銜接.

（1）注重基礎性要求

試卷在選擇題、填空題中全面考查復數、集合、平面向量、三角函數、排列組合、幾何體體積等基礎知識.在解答題中也深入考查基礎，強調學生對數學基礎知識和基本思想方法的靈活運用.

（2）彰顯綜合性要求

試題在體現基礎性的同時也重視對綜合性的考查，要求考生能運用所學知識將復雜的問題情境進行分解，合理選擇解題方法加以解決，充分體現高考命題從知識立意、能力立意到素養立意的轉變.高考數學試題的綜合性一方面是數學學科內部各個主題的綜合，另一方面是數學學科和其他學科的交匯融合.

例7（第22題）（Ⅰ）證明：當0

（Ⅱ）已知函數f（x）=cosax－ln（1－x2），若x=0是f（x）的極大值點，求a的取值范圍.

評析：本題第（1）問起點低，只需通過作差構造函數，并借助導數的工具作用判斷新函數的單調性，即可求解；試題第（2）問涉及的概念和性質很基本，但是考查很深入，為考生解答問題提供了廣闊的發揮空間.本題命題角度新穎，淡化考試技巧，仍考查通性通法，但是對考生的邏輯推理素養和分析解決問題能力要求較高，較好地體現了試題的選拔功能.

（3）凸顯應用性要求

數學源自生活、生產實踐，歸宿于解決實際問題.在應用數學知識、思想和方法解決實際問題的過程中發展學生的數學建模、數據分析、數學運算等素養，引導學生重視數學應用，增強學以致用的意識.

例8（第3題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（）.

A.C45400·C15200種

B.C20400·C40200種

C.C30400·C30200種

D.C40400·C20200種

評析：本題以單選題的形式考查分層隨機抽樣及排列組合的內容，以學校了解學生參加體育運動的情況為命題背景，取材于學生生活中的實際問題，考查學生的數學運算與數學建模素養，通過問題的解決引導學生對數學產生濃厚的學習興趣，并積極應用數學研究實際問題.

（4）體現創新性要求

試題的靈活性和答案的開放性，體現了新高考從重點考查知識技能到重點考查思維能力的轉變，表明數學教學應從灌輸知識、重復練習到培養數學思維能力、數學核心素養的轉變，開放性試題不僅考查學生運用數學思維理解和解決問題的能力，還考查學生的核心素養及創新能力.

例9（第15題）已知直線l：x－my+1=0與⊙C：（x－1）2+y2=4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為85”的m的一個值＿＿＿＿.

評析：本題是一道開放題，在體現開放性的同時考查學生思維的有序性.在內容方面，綜合考查直線和圓的位置關系、點到直線的距離公式、圓的內接三角形性質等，屬于在知識點的交匯處命題，體現了新高考命題的創新性要求.

5教學建議

針對2023年新高考Ⅱ卷數學試題“綜合性強，能力要求高，解題方法活”這些新特點，在高三復習教學中，教師要堅持把能力培養作為首要任務，通過教學方式和方法的創新，改變機械刷題與套路訓練模式，提升學生的核心素養.

（1）夯實基礎知識，回歸教材本質

本套試卷注重對基礎知識和基本能力的考查，試卷第1，2，3，4，7，13，14題皆為基礎題；本套試卷充分體現了考教結合，如第7，8，10，12，17，18，22（1）題均源自教材而高于教材.因此，在高三復習備考中我們應注重基礎，回歸教材，注重“依標靠本”，切忌盲目、隨意擴展知識內容.當然，立足教材并不是對教材內容的簡單重復，而是對教材內容進行二次重構，特別是對教材中的一些典型問題，圍繞主干知識，深入挖掘教材例題、習題的價值，通過一題多解、一題多變、多題一解等高階思維活動，剖析問題的數學本質，幫助學生夯實基礎，提升解決問題的能力.

（2）關注知識生成，強調融會貫通

在復習備考中要引導學生明確知識的發生、發展過程，揭示知識的內在聯系，幫助學生構建完整的知識體系，關注不同知識之間的聯系，引導學生整合各個知識點，形成完整的學科知識框架和思想方法體系，促進知識間的融會貫通.

（3）注重思想滲透，促進素養達成

數學思想方法是數學學科的精髓，是數學素養的重要內容之一.本套試卷注重對數學思想方法的考查.比如，第5，9，16，19，20題都體現了數形結合思想方法在解決問題中的優越性；第11，21，22題體現了化歸與轉化的思想方法；第8，18，22題體現了分類討論的思想方法.因此，在復習備考中，要注意數學思想方法的滲透，充分挖掘由數學基礎知識所體現出來的數學思想方法，平常可以專門設置習題訓練，引導學生根據實際題目內容選擇不同的數學思想方法，使其靈活使用數形結合、分類討論、函數與方程、特殊與一般、轉化、正難則反等多種數學思想方法，幫助他們積累更多的解題經驗，提升數學解題能力和數學核心素養.

（4）重視思維培養，提升關鍵能力

學生在面對綜合性較強的問題與新穎、較為復雜的情境時，需要具有一定的探究能力與創新精神，以及較好的數學素養和優秀的思維品質.在復習課中，要擯棄傳統的“教師滿堂灌—學生記筆記—課后題海戰術”的復習模式，在課堂上采用回歸教材例習題、引導學生自主編題、學生說題、繪制思維導圖等方式提升課堂效率，促進學生將知識和方法內化為自身的知識結構，鞏固所學知識，強化數學思維，為綜合能力的提升奠定基礎.