重構學習單元，創新學習指導

王銀

在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下，立體幾何中空間幾何體模塊知識的高考命題與綜合應用更加新穎創新，特別是有關空間幾何體截面知識的應用，成為高考數學命題的一個熱點與亮點，備受各方關注.涉及空間幾何體的截面問題，源于高中教材，依托教材合理構建截面概念；在此基礎上，強化截面的本質與內涵，增加平面幾何與立體幾何等相關知識之間的聯系；彰顯與截面相關知識的應用，充分體現數學意識與數學思維能力；強化截面的數學應用，著力應用意識與創新意識等.此類問題成為高考數學命題中既充分體現知識基礎，又體現選拔功能的一類創新考點.

1依托教材，構建概念

“三新”背景下空間幾何體的截面的命題，回歸高中數學教材，突出對空間幾何體的結構特征、截面的概念與形狀等層面的考查，注重空間想象能力與直觀想象素養等，合理構建對應的概念與相關的知識網絡，注重對空間幾何體的基礎知識的理解與掌握，全面夯實基礎.

例1（人教A版必修第二冊例3）如圖1所示的一塊木料中，棱BC平行于面A′C′.

（1）要經過面A′C′內的一點P和棱BC將木料鋸開，在木料表面應該樣畫線？

（2）所畫的線與平面AC是什么位置關系？

具體的分析與解析過程可以參考教材中的對應部分（教材第138頁），這里不再展開.初步總結并提煉空間幾何體中截面問題的解答策略，體會空間中點、線、面的“動”與“靜”之間的聯系，領悟“平面”與“立體”之間的化歸與轉化思想.在此基礎上，給出空間幾何體中截面的概念.

截面：用一個平面去截一個空間幾何體（經過空間幾何體內部的點），得到的平面圖形叫做這個空間幾何體的截面（其中，截面與空間幾何體表面的交線叫做截線）.

特別地，經過空間幾何體的內部，且每條邊都在空間幾何體表面上的封閉圖形，可以作為空間幾何體的截面.

基于此，可以通過截面的作法與確定來強化本質，加強平面幾何與立體幾何之間的聯系；借助截面的形狀判斷來彰顯能力，凸顯空間想象思維、分類討論思想以及化歸與轉化思想等；結合截面圖形的面積或周長等來著力創新，強化數學的應用意識與創新意識等.

2強化本質，增加聯系

“三新”背景下空間幾何體的截面的命題，基于空間幾何體的截面的概念、空間幾何體的結構特征等，以及問題的場景應用等，合理綜合立體幾何中點、線、面的位置關系等，合理通過截面的作法與確定，強化截面的本質，從而構建立體幾何與平面幾何等相關知識之間的聯系.

例2正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知點E，F，G分別在棱AB，BC，DD1上，如圖2所示，求作過E，F，G三點的截面.

正方體的截面，是空間幾何體的截面問題中最常見的基本類型之一.從題設條件入手，抓住正方體的結構特征加以合理分析與確定，巧妙聯系起立體幾何與平面幾何之間的關系與應用等.

圖3

作法：如圖3，（1）在正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD內，過E，F兩點作出直線EF，該直線分別與棱DA，DC的延長線交于點L，M；

（2）在正方體的側面AA1D1D內，連接LG，并交棱AA1于點K；在正方體的側面DD1C1C內，連接GM，并交棱CC1于點H；

（3）連接KE，FH，則五邊形EFHGK即為所求的過E，F，G三點的截面.

歸納起來，正方體的截面主要有以下幾種情況：正方體的橫截面為正方形；縱截面為正方形或矩形；斜截面的情況如圖4.

在解決空間幾何體的截面作法或與之有關的判斷問題時，要強化直觀想象意識以及空間想象能力等，借助立體幾何圖形，從立體到平面進行降維處理，有時還要涉及數形結合思想以及化歸轉化思想等.

3彰顯能力，凸顯思維

“三新”背景下空間幾何體的截面的命題，在截面的作法與確定的基礎上，合理判斷并確定截面的形狀等應用，彰顯能力，突出對空間幾何體的結構特征以及題設條件的應用，突出立體幾何與平面幾何等相關知識之間的聯系，以及圖形結構特征的內涵與本質等，凸顯數學思維.

例3（多選題）如圖5，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，其中P為BC的中點，Q為線段CC1上的一個動點，設CQ=m，若過A，P，Q三點的截面記為S.則下列命題中正確的是（）.（答案：ABC.）

A.當0

B.當m=12時，截面S為等腰梯形

C.當m=34時，截面S與棱C1D1的交點R滿足C1R=13

D.當34

在解決有關立體幾何中的截面形狀判斷以及與截面的幾何性質相關的應用問題時，要合理綜合運用立體幾何中相關的基本性質，綜合平面幾何的基本性質，并結合直觀想象與空間想象來分析與處理.

4著力創新，強化應用

“三新”背景下空間幾何體的截面的命題，合理創設問題場景，利用動點、動直線、動平面等合理“動態”引入，以截面圖形的面積或周長等的確定或對應最值的判斷等來著力創新，強化空間幾何體的綜合應用，特別有時要聯系起函數與方程、不等式、三角函數與解三角形、平面解析幾何等知識的交匯與應用.

例4已知正四面體ABCD的棱長為2，平面α與棱AB，CD均平行，則平面α截該正四面體所得截面面積的最大值為（）.

A.1

B.2

C.3

D.2

圖6

解析：如圖6，取CD的中點O，連接OA，OB.因為△ACD為等邊三角形，O為CD的中點，所以OA⊥CD.同理OB⊥CD.

又OA∩OB=O，所以CD⊥平面AOB，又AB平面AOB，所以CD⊥AB.

設平面α分別交AC，AD，BD，BC于點E，F，G，H，連接EF，FG，GH，HE.

因為CD∥平面α，CD平面ACD，平面ACD∩平面α=EF，

所以CD∥EF.同理GH∥CD，EH∥AB，FG∥AB.

所以EF∥GH，EH∥FG，故EFGH為平行四邊形.

又AB⊥CD，則EF⊥EH，所以EFGH為矩形.

設AEAC=x（0

因為EF∥CD，所以EFCD=AEAC=x，于是EF=2x，同理可得EH=2（1－x）.

所以矩形EFGH的面積S=EF·EH=2x·2（1－x）≤4x+1－x22=1，當且僅當x=12時，等號成立，即平面α截該正四面體所得截面面積的最大值為1.故選：A.

解決截面面積最值問題的方法與技巧主要是：首先根據幾何體的結構特征以及截面所在平面滿足的條件，確定截面的形狀，然后合理設置變量，用變量表示出截面面積，最后利用均值不等式或函數的性質求出最值，即可求得截面面積的最值.

在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下，進一步落實“雙減”政策與新課改理念，探尋立體幾何中考點與考題的基礎性、應用性與創新性等，基于“四基”的落實與數學能力的提升，更加注意創新意識與創新應用，從而指向數學核心素養的培養.

課題信息：江蘇省教育科學“十四五”規劃重點課題“學習進階理論下高中數學單元學習元指導研究”，課題編號為B/2022/03/65.