例談帕德逼近在導數中的應用

胡暢

摘要：眾所周知，用函數的泰勒展開的部分作為函數的近似表示是一種基本的、有效的方法，但有時這種方法在實際應用時顯得不足，而帕德逼近是一種更精確的有理函數逼近，有關它的理論及其應用成果非常豐富.另外在高考題和模擬題中，帕德逼近作為命題背景頻頻出現，比如2022年浙江卷，2018年全國卷Ⅲ導數壓軸題最后一問，了解與掌握這種逼近，能夠降低解題技巧，加快解題速度，預判解題思路.

關鍵詞：不等式；零點；函數導數；帕德逼近

1帕德逼近的定義及常用函數逼近表

帕德逼近來源于高等數學中的函數逼近理論，它不是高中數學課程中的學習內容，也不在高考考查范圍內，但由于該理論體現了用代數函數逼近超越函數的思想，所以經常會成為導數壓軸題的背景.如果高中數學教師能夠了解該理論，就會站在更高的角度看問題，教師認識數學問題的高度決定了學生認識問題的高度，為了培養創新型的學生，我們應該做研究型教師，這也是時代對教師提出的要求.

1.1帕德逼近的定義

函數f（x）在x=0的［m，n］階帕德逼近f（x）≈a0+a1x+a2x2+……+amxm1+b1x+b2x2+……+bnxn=R（x），滿足f（0）=R（0），f′（0）=R′（0），f″（0）=R″（0），……，f（m+n）（0）=R（m+n）（0）.對于給定的正整數m，n函數f（x）的［m，n］階帕德逼近是唯一的［1］.

1.2常用函數帕德逼近表

幾種常用函數帕德逼近舉例如下.

（1）f（x）=ln（1+x）在x=0的［m，n］階帕德逼近如表1所示：

（2）f（x）=lnx在x=0的［m，n］階帕德逼近如表2所示：

（3）f（x）=ex在x=0的［m，n］階帕德逼近如表3所示：

2帕德逼近在模擬題中的應用

例1（2022年浙江金華十校11月模擬考試）已知函數f（x）=12x2+ax－（ax+1）lnx（a∈R），記f′（x）=g（x）.

（1）當a=1時，求f（x）的最小值.

（2）若函數g（x）有三個零點x1，x2，x3，且x1

（ⅰ）求a的取值范圍；

（ⅱ）證明：x1+x3+4x1x3>3a.

解：（1）f（x）的最小值為32（過程略）.

（2）（?。゛>2（過程略）.

（ⅱ）因為g（x）=f′（x）=x－1x－alnx，由題意知0

由表2知，當x>1時，不等式lnx>3（x2－1）x2+4x+1恒成立.

所以x3－1x3=alnx3>3a（x23－1）x23+4x3+1.

化簡，得x23+4x3+1>3ax3，兩邊同時除以x3，

得x3+1x3+4>3a.

而x1x3=1，所以x1+x3+4x1x3>3a.

點評：帕德逼近在導數命題中經常作為構造放縮的一種手段，比如該題中就是利用f（x）=lnx在x=0處[2，2]階帕德逼近函數y=3x2－3x2+4x+1，準確地尋找合適的帕德逼近函數是成功的關鍵，不然會造成放縮不準確，當然在考試中該不等式需要證明.

例2（2023屆大灣區高三一模試題）已知函數f（x）=ex－1x.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）設a，b是兩個不相等的正數，且a+lnb=b+lna，證明：a+b+lnab>2.

解：（1）（過程略）.

（2）令a－lna=b－lnb=m，則lna=a－m，且

lnb=b－m.因此，只需證a+b>1+m.

由表2知，當x>1時，不等式lnx>2（x－1）x+1（x>1）恒成立；當0

又g′（x）=1－1x，g（x）的極值點為x=1，則a，b必定分布在1的兩側，不妨設0

a－m=lna<2（a－1）a+1，b－m=lnb>2（b－1）b+1.

化簡，得a2－（1+m）a+2－m<0，b2－（1+m）b+2－m>0.

①②

②-①，得b2－a2－（1+m）（b－a）>0.

整理，得a+b>1+m.

點評：這道題剛出來時，在微信群引起了數學老師的廣泛討論.其實這類零點估計問題，大多都是以泰勒展開式或者帕德逼近為背景來命制的.對照常用函數帕德逼近表，我們發現該題中就是利用f（x）=lnx在x=0處的[1，1]階帕德逼近.通過以上示例可以看出，利用帕德逼近證明函數中的不等式可以提高解題速度，但運用該法的難點是要根據函數結構以及要證明的結論，找準合適的帕德逼近.

3帕德逼近在高考題中的應用

高考試題中多次出現以高等數學為背景的試題，教師自身應加強對高等數學相關背景的研究，有利于教師把握本質，提升能力.同時，我們也要注意到，以高等數學為背景的高考試題，也都能應用中學數學的知識和方法加以求解.因此，研究高等數學背景并不意味著要在教學中補充高等數學知識，盲目提高要求，加重學生負擔，而是應加強自身研究，優化教學，有效提升學生的數學思維能力.

例3（2018年全國高考Ⅲ卷）已知函數f（x）=（2+x+ax2）ln（x+1）－2x.

（1）若a=0，證明：當－1

（2）若x=0是f（x）的極大值點，求a的值.

分析：這道高考題參考答案需要多次求導，情況比較復雜，在這里筆者就不給出題目的詳細解答，僅就題目的背景做簡要的分析.經過研究發現，這道題也是典型的以帕德逼近為背景命制的.由表1可以看出，第（1）問源于函數f（x）=ln（x+1）在x=0處的[1，1]階帕德逼近；第（2）問源于f（x）=ln（x+1）在x=0處的[1，2]階帕德逼近函數為y=12x12+6x－x2=2x2+x－16x2.命題者在命制試題時，對分母為2階帕德逼近的二項式系數進行設問，以此為背景，考查學生以導數為工具探究問題的能力.

例4（2022年浙江）已知a，b∈R，函數f（x）=e2x+lnx圖象上不同的三點（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3）），處的切線都經過點（a，b）.

（1）求f（x）的單調區間；

（2）若a>e，證明：0

（3）若0

解：第（1）（2）問過程略.下面用帕德逼近就第（3）問右邊的不等式作簡要說明.

由（2）可知，a·2x－e2x2+lnx－1－b=0有3個實根x1，x2，x3，且0

13－m6

由y=g（t）的圖象可知，對于給定的m∈（0，1），當b增大時，圖象g（t）下移，t1，t3均減??；反之，當b減小時，圖象g（t）上移，t1，t3均增大.

先證明不等式的右邊：只需證明極限情況，此時b→m2+1，t2=t3=1，只需證t1<2m－1－m6－1.

由g（t1）=（m+1）t1－m2t12－lnt1－1－m2，化簡可以得到

m（t1－1）2=2（t1－1－lnt1）<2[JB（［]t1－1－3（t1－1）2t21+4t1+1]，解得m<2（t1+2）t21+4t1+1，從而可得t1<1+3m2+1m－2.

只需證1+3m2+1m－2

m（m－1）（m－4）（m+15）>0.因為0＜m＜1，所以待證式成立.

分析：2022年浙江高考導數題最后一問，是2022年所有省份高考壓軸題里最難的，解決該題主要有兩個方向.一是官方解答中的代入，換元，消元，轉化為一個復雜的不等式證明；二是極端化，然后對lnx放縮.無論用哪種方法，都需要對lnx進行高精度的放縮.

4帕德逼近的變式訓練

學之道在于“悟”，教之道在于“度”.但不思考不會有悟，教師在平常的教學中，除了干凈利落地給出問題的解答，還應透徹清晰地確定問題的背景，再通過問題的背景進行變式題的設計，這樣才能到達舉一反三的效果，才能讓學生有機會學以致用，以避免問題與方法各自相對封閉.

利用y=ex在x=0處的[1，3]階帕德逼近函數，可以設計與2018年全國Ⅲ卷類似的變式題.

變式1函數f（x）=（ax3－x+2）ex－x－2，a∈R.

（1）若a=0，證明：xf（x）≤0;

（2）若x=0是函數f（x）的極小值點，求實數a的值.

另外，也可以通過帕德逼近設計一些零點估計類的問題.在平常訓練中，零點估計（極值點偏移）問題的解決主要依賴于對數平均值不等式［2］，但是我們可以通過帕德逼近設計一些更緊的不等式證明問題，例如利用f（x）=lnx在x=0的[2，1]階帕德逼近可設計如下變式：

變式2已知函數f（x）=x－lnx－a有兩個相異的零點x1，x2（x1

（1）求a的取值范圍；

（2）證明：x1+x2<4a+23.

利用f（x）=lnx在x=0的[1，1]階帕德逼近可設計如下變式：

變式3已知函數f（x）=x－lnx－a有兩個相異的零點x1，x2（x1

（1）求a的取值范圍；

（2）證明：x1+x2>1+a.

教師在平常的教學中要打破就題講題的教學觀，認真研究試題，找到一類題的共性，做到“自然、簡單、優美、統一”.

5教學啟示

高觀點的試題背景是命題的重要來源.很多高考試題都具有高等數學的背景，如圓錐曲線中的極點極線、曲線系方程，導數中的泰勒展開、洛必達法則、帕德逼近等，合理分析這些試題的背景，探尋這些試題的命題方法，可為復習備考提供一些新的生長點.另外，多數具有高觀點背景的導數壓軸題，由于命制時已將一般性的問題變成具體的適合高中生做的試題，因此會有較強的綜合性和新穎性，對于時間緊迫的考生而言會有很大壓力.然而對于優秀考生，一旦清楚其中的背景，就可快速得出結果，也為如何書寫提供了方向.

參考文獻：

[1]徐利治，王仁宏.函數逼近的理論與方法[M].上海：上?？茖W技術出版社，1983：227-229.

[2]王海剛，陳宇軒.導數的秘密[M].杭州：浙江大學出版社，2020：161-162.