基于數學命題方式，實現問題價值提升

李玲

數學試題的命題，是數學教學過程中一項重要而又嚴謹的工作，在一定程度上體現數學教師與教研員等對數學基礎知識、數學思想方法等的提煉程度，以及自身所具備的一定數學專業水平等，具有一定的技術與技巧.這往往也在一定程度上展示數學教師與教研員等的一項基本能力與水平.

數學試題的命題，往往是一個反復琢磨、不斷修改的復雜過程.而這些典型的數學試題，特別是高考真題、競賽題、模擬題等優秀的試題，往往都不是憑空生造出來的，可能是依托某種問題情境或借助某個核心概念，也可能是源于相應的經典問題等，巧妙通過合理改編、創新包裝、巧妙拓展、知識構建等多種形式來創設，或新舊結合，或喬裝打扮，或移花接木，或推倒重建等，手段翻新，創新應用，再進一步加以合理的修改與完善，才有平時見到的高質量的數學試題.

本文以模擬題中的一些典型試題為例，結合數學命題的幾種常見方式，如合理改編、創新包裝、巧妙構建等，并結合實例剖析數學實際命題的一些操作方法與技巧策略，拋磚引玉.

1合理改編

根據已有的試題（教材的例習題、高考真題等），結合教學的需要與學生的實際情況等，從挖掘問題背景、融合數學知識，提煉思想方法，優化解題策略、展示問題價值等層面入手，合理加以改編，借助試題背景的觀察、知識點的延伸以及變式的推廣等方式，深化對相關基礎知識的理解與掌握，拓展良好的數學思想方法與解題技巧策略.

合理改編的題源往往是教材的典型例（習）題、往屆的高考真題以及以往比較典型的高考模擬題等.這些問題都是數學專家、數學教師等智慧的結晶以及勞動成果的展示.

例1（2024屆山東省濟南市高三上學期開學摸底考試·16）若函數f（x）=|（1－x2）（x2+ax+b）|－c（c≠0）的圖象關于直線x=－2對稱，且f（x）有且僅有4個零點，則a+b+c的值為＿＿＿＿.

（答案：39.）

以上高考模擬題改編自2013年高考數學全國新課標Ⅰ卷中的試題，在高考真題的基礎上進一步構造絕對值的問題場景，同時引入第三個參數變量，并巧妙融入函數的零點，進而借助三個參數變量的和式的值來創設與應用.

鏈接高考（2013年新課標Ⅰ卷理科·16）若函數f（x）=（1－x2）（x2+ax+b）的圖象關于直線x=－2對稱，則f（x）的最大值為＿＿＿＿.（答案：16.）

以一道高考真題的熟悉場景，巧妙與其他相關的函數知識加以交匯，從“雙變量”的函數應用問題改編成以上“三變量”的函數綜合問題，很好實現對數學“四基”的把握情況與數學能力的全面考查，是一道非常不錯的改編題，值得很好深入研究、細細品鑒.

當然，基于原問題，還可以從不同思維視角與研究層面加以進一步的改編，實現變式應用與拓展.

變式1若函數f（x）=|（1－x2）（x2+ax+b）|－c的圖象關于直線x=－2對稱，且f（x）有且僅有4個零點，則a+b+c的值為＿＿＿＿.（答案：23或39.）

變式2若函數f（x）=|（1－x2）（x2+ax+b）|－c的圖象關于直線x=－2對稱，且f（x）有且僅有7個零點，則a+b+c的值為＿＿＿＿.（答案：32.）

變式3若函數f（x）=（a2－x2）（x2+bx+c）（a≠0，c>0）的圖象關于直線x=－2對稱，則1a2+1b+1c的最小值為＿＿＿＿.

答案：38.

借助問題的合理改編，回歸數學本質，立足數學基礎，巧妙引領并指導數學教學與學習，進而充分體現數學基礎知識、數學思想方法以及數學能力等方面的有機聯系.而此數學命題的改編，也充分說明教學與學習離不開數學教材與課程標準要求，考查知識、方法與能力的試題都源于教材（往年高考真題）意料之外，植于教材（往年高考真題）情理之中，高于教材（往年高考真題）能力之上.

2創新包裝

對考生的數學基礎知識、數學思想方法和數學能力等方面的考查，往往是基于數學試題來達到目的.而在具體數學命題時，有時對核心考點的考查是直接展示，而有時對核心考點的考查是通過創新包裝來實現的.

而對于創新包裝的數學試題，就要全面剖析題設條件，挖掘題目的條件與內涵，直擊核心考點的本質，撕開創新的“包裝”外表，直達核心知識，進而利用相關的數學知識來分析與應用，得以分析與解決問題.

例2〔2023屆河南省TOP二十名校高三猜題大聯考（二）〕在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是△ABC的內角A，B，C所對的邊，G是△ABC的重心，若BG·AG=0，則cosC的取值范圍是（）.

A.63，1

B.0，45

C.45，63

D.45，1

解析：依題，設D為AB邊上的中點，如圖1所示.由BG·AG=0，可得AG⊥BG，

利用直角三角形的性質，可得DG=12AB=12c.

又△ABC的重心為G，結合三角形的重心性質，可得CD=3DG=32c.

由CD=12（CA+CB），即2CD=CA+CB，可得4CD2=CA2+CB2+2CA·CB，即9c2=b2+a2+2abcosC.

利用余弦定理，可得c2=b2+a2－2abcosC，則有b2+a2+2abcosC=9b2+9a2－18abcosC，

整理可得cosC=25ab+ba>0，則C為銳角.

又由余弦定理，可得c2=b2+a2－2abcosC=b2+a2－2×25（b2+a2）=15（b2+a2），即a2+b2=5c2.

因為△ABC為銳角三角形，所以cosA>0，cosB>0，則有b2+c2>a2，a2+c2>b2，亦即5b2+a2+b2>5a2，5a2+a2+b2>5b2，

解得63

構造雙勾函數f（x）=x+1x（其中x>0），則函數f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增.

而63

點評：該題以三角形為載體，結合三角形的基本性質以及平面向量的數量積等創設，包裝創新新穎，而實質是考查解三角形與函數的應用等.如何從創新包裝場景上逐步展開，合理構建涉及三角形內角的函數值的表達式，進而借助函數的基本性質來分析相應的取值范圍問題.與創新包裝形式來設置命題，交匯融合知識，進而開拓數學品質，鞏固數學“四基”與創新應用.

借助創新形式或創新包裝的一些數學試題，融入更多的創新意識與創新應用，有時還增加相應的閱讀理解等方面的知識，令人耳目一新，更能考查考生的綜合能力.

3巧妙構建

源于應用情境的構建、問題背景的創設等是數學命題的一個重要設置模式，綜合數學建模與數學應用，展示數學學習過程中，對數學問題的了解與認識、處理與解決等過程中經常用到的一種技巧與方法.

特別是一些基于數學文化、現實生活等應用場景創設問題，要從問題場景中合理且巧妙構建對應的數學知識，利用數學的語言（包括數學定義與數學公式等）來表達，進而結合相關的數學知識來分析與解決對應的數學問題.

例3古希臘數學家特埃特圖斯（Theaetetus，約公元前417—公元前369年）利用如圖2所示的直角三角形構造無理數2，3，5……已知AB=BC=CD=1，AB⊥BC，AC⊥CD.

（1）求cos∠DAB的值；答案：23－66.

（2）證明：AD·BC+AB·CD≥BD·AC.（略）

點評：基于數學文化的應用場景，借助數學建模，巧妙構建解三角形問題，是解決該問題的關鍵所在.在解決此類涉及數學文化、現實生活等應用場景問題時，正確閱讀理解，挖掘問題內涵，構建數學模型，開拓數學思維，綜合數學知識，進而處理應用等.

巧妙創設或構建數學模型，要加以合理引導與知識過渡.在這一過程中，合理引導考生建立起與問題相吻合的數學模型，綜合數學概念的掌握、數學知識的理解以及數學模型的應用來達到目的，實現考核與區分的目的.

在實際數學命題時，命題有法，又無定法，不是一成不變的.而在實際教學與學習過程中，不斷提高數學試題的命題水平是數學教師與教研員所追求的目標之一，需要在日常教學與解題研究過程中不斷積累各方面的素材，開拓知識面，理解更多的知識，構筑一個更寬廣的知識基礎，同時用心琢磨高考真題、教材例題（或習題）、模考試題等相應好題的命制思路，不停反思，不斷實踐，不斷修改，不斷反饋，逐步提升.