對一道解析幾何試題的探究與拓展

周杭敏 周勝煒

1真題呈現

解析幾何在全國新高考卷中分值占比較大，往往以2個客觀題、1個解答題的形式出現，是考查的重點，備受關注.下面我們從一道高考真題說起.

已知點A（2，1）在雙曲線C：x2a2－y2a2－1=1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0.（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面積.

這是2022年全國數學新高考Ⅰ卷的第21題，主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線與雙曲線的位置關系等知識，涉及數形結合、方程思想等.在情境“兩直線的斜率之和為0”中融入了簡單的“對稱關系”，立足常規又超越常規，凸顯了新高考基礎性、綜合性、應用性及創新性的要求.

2一題多解

本題易得雙曲線方程為x22－y2=1，下面我們著重研究第（1）問.

2.1立足常規，提升數學運算素養

解法1：線參法一，設直線PQ的方程.

如圖1，顯然直線l的斜率存在.設l：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

聯立直線與雙曲線方程，可得

（2k2－1）x2+4kmx+2m2+2=0.

所以x1+x2=－4km2k2－1，

x1x2=2m2+22k2－1.

因此，kAP+kAQ=y1－1x1－2+y2－1x2－2=kx1+m－1x1－2+kx2+m－1x2－2=0.

整理，得

2kx1x2+（m－1－2k）（x1+x2）－4（m－1）=0.

化簡，得（k+1）（m+2k－1）=0.

而直線l不過點A，即2k+m≠1，故k=－1.

評注：設直線l：y=kx+m時還需考慮斜率不存在的情況，故還可設l：x=ty+n，避免分類討論.“設直線方程—聯立方程組—消元—韋達定理……”，整個過程展現了利用坐標思想解決幾何問題的一般程序，屬于通性通法.目標明確，思路清晰，符合大部分學生的思維習慣.運用這種方法學生容易拿到部分過程分，但缺點是計算量大，計算結果易錯，所以在平時教學中要注重培養學生的數學運算素養.

解法2：線參法二，設直線AP，AQ的方程.

設直線AP的斜率為k，則直線AP的方程為y－1=k（x－2），與雙曲線方程聯立，得

（1－2k2）x2+4（2k2－k）x－4+8k－8k2=0.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則2x1=－4+8k－8k21－2k2.

所以x1=－2+4k－4k21－2k2，y1=2k2－4k+11－2k2.

同理，得x2=－2－4k－4k21－2k2，y2=2k2+4k+11－2k2.

所以kPQ=y2－y1x2－x1=－1.

評注：在兩條相關聯的直線與圓錐曲線交匯生成的問題中，要會靈活運用同構運算，因為解題過程中常常有算理相同的運算.只要認真仔細地算準一個表達式，那么另一個表達式就可以通過同構替代，進而簡化運算.例如，本題中根據兩條直線斜率之和為0，可用-k代換k，快速得到x2，y2.

另本題也可以不求y1，y2.

因為AQ：y=1－k（x－2），所以

kPQ=y2－y1x2－x1

=1－k（x2－2）－［1+k（x1－2）］x2－x1

=4k－k（x1+x2）x2－x1

=－1.

解法3：直線參數方程法.

設AP，AQ的傾斜角分別為α，π-α，則

直線AP的參數方程為x=2+tcosα，y=1+tsinα（t為參數），代入雙曲線方程，可得tP=4（sinα－cosα）cos2α－2sin2α.

同理，得tQ=4（sinα+cosα）cos2α－2sin2α.

所以yP－yQ=（tP－tQ）sinα=－8cosαsinαcos2α－2sin2α，xP－xQ=（tP+tQ）cosα=8cosαsinαcos2α－2sin2α.

故kPQ=yP－yQxP－xQ=－1.

評注：引入參數，利用直線參數方程中參數的幾何意義，搭建起題目中量與量之間的關系，建立方程來求解，減少了運算量，這種方法在探究解析幾何問題中有獨特優勢.

解法4：點差法.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），由kAP+kAQ=0，得

y1－1x1－2+y2－1x2－2=0.[JY]①

將點A，P的坐標代入雙曲線方程，利用點差法得y1－1x1－2·y1+1x1+2=12，將其代入①式得x1+22（y1+1）+y2－1x2－2=0，整理得

2y1y2+x1x2－2（y1－y2）－2（x1－x2）－6=0.[JY]②

同理考慮點A，Q得

2y1y2+x1x2+2（y1－y2）+2（x1－x2）－6=0.[JY]③

③－②，得kPQ=y2－y1x2－x1=－1.

評注：維果茨基提出要在學生的“最近發展區”教學，啟發學生思考與交流.“點差法”是解決圓錐曲線問題的一種常用方法，引導學生嘗試從數學角度發現和提出問題、分析和解決問題，在層層遞進的學習中提煉方法，積累數學活動經驗.

2.2轉化化歸，提升邏輯推理素養

解法5：齊次化簡法.

設PQ：m（x－2）+n（y－1）=1，P（x1，y1），Q（x2，y2）.

雙曲線方程為x22－y2=1，將其整理為

（x－2）2－2（y－1）2+4（x－2）－4（y－1）=0.

聯立，齊次化，得（x－2）2－2（y－1）2+［4（x－2）－4（y－1）］［m（x－2）+n（y－1）］=0.

整理，得（－2－4n）（y－1）2+（－4m+4n）5（x－2）（y－1）+（1+4m）（x－2）2=0，即

（2+4n）y－1x－22+（4m－4n）×y－1x－2－4m－1=0.

易知，kAP，kAQ是上述方程的兩個根，所以可得

kAP+kAQ=4n－4m4n+2=0，則

m=n.

所以PQ：m（x－2）+m（y－1）=1.故kPQ=－1.

評注：利用y1－1x1－2+y2－1x2－2=0尋找m，n的關系，所以構造以y1－1x1－2，y2－1x2－2為根的二次方程，進一步構造出關于y-1，x-2的齊次方程.

因此將方程

（x－2）2－2（y－1）2+4（x－2）－4（y－1）=0中的

4（x－2）－4（y－1）進行升次，使得齊次化，這樣的思考相對自然、合理，而且減少了計算量.

解法6：坐標平移法.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

令x′=x－2，y′=y－1，則

kPA=y1－1x1－2=y[HT9.]′1x[HT9.]′1，kQA=y2－1x2－2=y[HT9.]′2x[HT9.]′2.

于是雙曲線方程C′：（x′+2）2－2（y′+1）2=2，即

x′2－2y′2+4x′－4y′=0.

設l：m（x－2）+n（y－1）=1，即l：mx′+ny′=1，故可得x′2－2y′2+（4x′－4y′）（mx′+ny′）=0.

整理，得1－2y′x′2+4－4y′x′m+ny′x′=0，則

（4n+2）y′x′2+4（m－n）y′x′－（4m+1）=0.

因為kAP，kAQ是該方程的兩個根，所以

kAP+kAQ=4（n－m）4n+2=0，則m=n.

故kPQ=－mn=－1.

評注：解法6與解法5本質類似，都是將問題由“繁”到“簡”，化“異”為“同”.通過齊次化簡，進一步提升轉化化歸能力，發展學生的邏輯推理素養.

2.3特值探路，提升直觀想象素養

解法7：特值探路.

特值1：取點P，Q，使得kAP=1，kAQ=－1，算出點P，Q的坐標，可得結論，但解題速度不一定是最快的.

特值2：極限思想法.如圖2所示，借助幾何畫板，當點P，Q同時趨近于點A的對稱點A′時，kAP→+∞，

kAQ→－∞，滿足kAP+kAQ=0.故此時直線PQ的斜率即為點A′處切線的斜率，易得kPQ=－1.

評注：波利亞認為解題要注重聯想，提出解題需要預測和回憶，上述特值法便是聯想.從特殊點或特殊位置入手，大膽猜想結論，從而找到證明目標，是解決這類問題的策略之一.先求得運算結果有助于優化運算方法，提升學習信心;之后再推理證明，從特殊到一般，充分體現解析幾何“先用幾何眼光觀察，再用代數方法證明”的學科思想.這種以自主學習、探索為主的教學模式，與杜威所倡導的“發現問題、提出假設、驗證假設、形成結論”教學流程不謀而合.

多角度審視，可以看清問題的本質.一題多解，橫縱銜接，有利于不同水平的學生作答，拓展思維，從而觸類旁通.但方法越多，也越需要梳理，同時要研究適用對象，把握解析幾何的本質，突出理性思維.

綜上，研究解析幾何試題，主要有“線參”和“點參”兩種通法.在具體實踐中，解法1與解法2為大多數考生所選用，思路清晰，能拿部分得分，但計算量大；解法3～6對學生思維能力的考查要求較高，內涵豐富，且運算量相對減少，更適合尖子生脫穎而出，而解法7相較更適用于選擇題或填空題.正如章建躍博士所說，高考命題的目標是“既要均值，也要方差”，不僅要兼顧基礎，讓多數學生學有所得，也要加大區分度，便于選拔出拔尖創新人才.

3追本探源

數學家哈爾莫斯說：“Theproblemisthekey.”此時教師及時提出以下問題：

（1）我們能夠總結出解這道題的方法嗎？

（2）我們能否一起探究出這道試題背后蘊藏的機理？是否有相關性質或結論，便于后期快速解題？

（3）我們是否可以嘗試變式，并且運用已學的方法證明？

（4）你是否在其他題目中也用到過這些方法？

3.1試題背景

傾角互補，連線定角：當點P在曲線C上，過點P作兩斜率互為相反數的直線，這兩條直線與曲線C的兩個交點分別為A，B，則直線AB的斜率為定值.

該結論適用于橢圓、雙曲線和拋物線.

3.2二級結論

重現經典問題往往可得出一系列結論，讓學生的數學思維走向深刻、走向深入，促進對問題的深度理解.學生獨立思考，相互探討，合作交流.

以橢圓為例，得到了以下4個二級結論：

設P（x0，y0）為橢圓C：=1（a＞b＞0）上的定點，AB是橢圓C的一條動弦.

（1）若kPA+kPB=0，則kAB=b2x0a2y0為定值；

（2）若kPA+kPB=λ（λ≠0），則直線AB過定點

x0-，－2b2x0λa2－y0；

（3）若kPA·kPB=b2a2（x0≠0），則kAB=－y0x0為定值；

（4）若kPA·kPB=λλ≠，則直線AB過定點x0（λa2+b2）λa2－b2，－y0（λa2+b2）λa2－b2.

類比橢圓，雙曲線、拋物線也有類似的二級結論，此處不作具體論述.

4一題多變

4.1變式研究

變式1已知點A（2，1）在曲線C：x2a2－y2a2－1=1（a>1）上，斜率為-1的直線l交雙曲線C于P，Q兩點.求證：直線AP，AQ的傾斜角互補.（當條件和結論互換，仍成立.）

變式2已知點A（2，1）在曲線C：x2a2－y2a2－1=1

（a>1）上，斜率為-1的直線l交雙曲線C于P，Q兩點.求證：△APQ內切圓的圓心在一條定直線上.（同一個結論的另一種表述，考查學生的轉化能力.）

變式3已知點A（2，1）在曲線C：x2a2－y2a2－1=1

（a>1）上，直線l交雙曲線C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為-1.求證：直線l過定點.（斜率之和為非零常數，則直線PQ過定點.）

變式4已知點A（2，1）在曲線C：x2a2－y2a2－1=1

（a>1）上，直線l交雙曲線C于P，Q兩點，直線AP，AQ互相垂直.求證：直線l過定點.（斜率之積為定值，則直線PQ過定點.）

變式5已知雙曲線E：x22－y2=1，過點（1，1）作斜率互為相反數的直線AC，BD，分別交雙曲線E于點A，C和B，D.求證：A，C，B，D四點共圓.（其逆命題也成立.）

4.2聯系真題

真題1（2009年江蘇高中數學聯賽解答題第2題）

（下轉第92頁）

（上接第74頁）

已知拋物線y2=2x及點P（1，1），過點P且不重合的直線l1，l2與此拋物線分別交于點A，B，C，D，證明：A，B，C，D四點共圓的充要條件是直線l1，l2的傾斜角互補.

真題2（2011年全國高中數學聯賽第11題）作斜率為13的直線l交橢圓C：x236+y24=1于A，B兩點，且P（32，2）在直線l的左上方.（1）證明：△PAB的內切圓的圓心在一條定直線上；（2）若∠APB=600，求△PAB的面積.

真題3（2017年全國Ⅰ卷理科數學第20題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四點P1（1，1），P2（0，1），

P3－1，32，P41，32中恰有三點在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設直線l不經過點P2且與C相交于A，B兩點.若直線AP2，BP2的斜率之和為-1，證明：直線l過定點.

真題4（2021年全國新高考I卷第21題）在平面直角坐標系中，已知F1（－17，0），F2（17，0），點M滿足|MF1|－|MF2|=2.記M的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）設點T在直線x=12上，過點T的兩條直線分別交C于點A，B和P，Q，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直線AB，PQ的斜率之和.

5小結反思

縱觀近幾年全國卷新高考試題，發現全國卷不回避以往的高考題和常用結論.解析幾何大題注重基礎，很多題目來源于教材或歷年高考題，而且都有著內涵豐富的知識背景.從一題多解到一題多變，亦或是多題一解，我們要鼓勵學生“多思少算”，打破以往的“模式化”，充分挖掘題目的教學價值，發展創新思維能力和應用數學解決實際問題的能力，提升數學素養.同時，在新高考、新教材的銜接中要主動改革學習方式和育人方式，貫徹立德樹人的要求.

2024年1月，教育部教育考試院命制數學科適應性測試卷，并組織了相關省份進行適應性演練.其中第18題解析幾何題不僅分值增加，而且更突出對學生思維品質的考查，引起一線教師和專家學者的廣泛關注.教師更加深刻地認識到教學中要引導學生回歸教材，減少死記硬背和機械刷題，學會融會貫通、靈活應用;鼓勵學生夯實基礎，多角度思考，深入探究，從而提升思維品質和數學素養.

教學是一門藝術，是一門可以一直追求完美，但不可能完美的藝術.知識、能力與素養都是我們追求的目標.路漫漫其修遠兮，只要不停息，一起一步步地繼續探索，數學核心素養自然會在學生心里生根發芽，慢慢生長.