“參數方程”的高三數學第一輪專題復習課例

楊玉燦

摘要：“參數方程”是高中數學理科的重點內容，也是理科數學高考的考查內容之一；考試題目出現在試卷第22題（選做題），分值為10分.高考考查的知識點主要包括直線、圓和橢圓的參數方程，在第一輪復習時，要研究高考命題的難度和類型，有針對性地展開復習

關鍵詞：參數方程；高三數學;第一輪復習;課例

1考點分析

參數方程是理科數學選修4-4的內容，主要包括：參數方程的概念、直線的參數方程、圓的參數方程、橢圓的參數方程等.同時，參數方程也是高考數學理科考查的內容，題目出現在高考試卷的第22題.筆者對新疆2018年至2022年高考數學試卷中有關“坐標系與參數方程”考查的知識點列表（表1）統計如下：

備注：①直線的參數方程；②圓的參數方程；③橢圓的參數方程；④雙曲線的參數方程；⑤拋物線的參數方程.

新疆高考所用的試卷為新課標全國卷Ⅱ或全國乙卷.筆者研究了近五年的高考理科數學試卷第22題（1）（2），其中（1）考查曲線（包括直線）的參數方程，（2）考查曲線的極坐標方程.通過2018年至2022年五年的考卷，分析試卷的命題方向及其解題類型與方法，旨在為加高三第一輪復習提供幫助.

2題型總結

在高三第一輪復習這部分內容時，一方面要了解參數的幾何意義，另一方面還要掌握參數方程的形式及其基本應用.筆者根據自己多年的教學經驗，總結出參數方程的基本應用有如下6種類型，僅供讀者參考.

2.1類型1：參數方程與普通方程的互化

例1填空（參數方程化為普通方程）：

（1）曲線C1：x=4cosθ，y=4sinθ（θ為參數）的普通方程為＿＿＿＿；

（2）曲線C2：x=t+1t，y=t－1t（t為參數）的普通方程為＿＿＿＿.

分析：本題為2020年高考第22題的改編，直接消去參數即可得普通方程.

解析：（1）曲線C1：x=4cosθ，y=4sinθ（θ為參數）方程組中的兩個式子兩邊平方后

相加，得x2+y2=16，即曲線C1的普通方程.

（2）曲線C2：x=t+1t，y=t－1t（t為參數）中的兩個式子兩邊平方后

相減，得x2－y2=4，即曲線C2的普通方程.

例2把下列的普通方程化為參數方程：

（1）x2+y2=9;

（2）x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）.

解析：

（1）曲線C1：x=3cosα，y=3sinα（α為參數）.

（2）曲線C2：x=acosα，y=bsinα（a>b>0，α為參數）.

[BP（]分析：例2（1）和（2）均可以通過平方法消去參數，所得方程即為曲線的普通方程，但要注意變量x，y的取值范圍.[BP）]

點評：參數方程與普通方程兩種形式的互化體現了等價轉化的數學思想.

2.2類型2：求直線與曲線的參數方程

例3如圖1，設O為坐標原點，M是圓O：x2+y2=1上的任意一點，過點M作x軸的垂線，垂足為N，試求線段MN中點P的軌跡的參數方程，并指出它是什么曲線.

分析：本題可以利用求曲線方程的“五步法”求出曲線的參數方程.

解析：設P（x，y），M（x0，y0），則N（x0，0）.

由點P為線段MN的中點，可得x=x0，y=y02.

因為M是圓O上的任意一點，

又圓O：x2+y2=1的參數方程為x=cosθ，y=sinθ（θ為參數），所以x0=cosθ，y0=sinθ.

所以點P的參數方程為x=cosθ，y=12sinθ（θ為參數），

普通方程為x2+4y2=1，點P的軌跡為焦點在x軸上的橢圓.

點評：本題是求曲線的參數方程，結合所給的圖形，設出參數θ，建立關于參數θ的方程，體現了數形結合的數學思想.

2.3類型3：利用參數方程解決函數的最值問題

例4已知實數x，y滿足（x－2）2+（y－1）2=1，試求：

（1）S=x+y的最值；（2）T=x2+y2的最值.

解析：（1）將（x－2）2+（y－1）2=1化為參數方程

x=2+cosα，y=1+sinα（α為參數，α∈［0，2π）），代入S=x+y，得

S=（2+cosα）+（1+sinα）

=3+2sinα+π4.

所以，當α=π4時，S取得最大值3+2；當α=5π4時，S取得最小值3－2.

（2）結合（1）中的參數方程，得

T=x2+y2

=（2+cosα）2+（1+sinα）2

=6+25sin（α+φ）.

由于tanφ=2，因此當sinα=55，cosα=255

時，T取得最大值6+25，當

sinα=-55，cosα=-255

時，T取得最小值6－25.

點評：本題是利用圓的參數方程，通過“三角換元”轉化為三角函數的最值問題.這也是我們求最值常用的三角換元法.對于（2）也可以用“幾何法”求解，式子x2+y2的幾何意義是原點到圓（x-2）2+（y-1）2=1上點的距離的平方.

2.4類型4：利用參數方程解決曲線上的點到直線距離的最值問題

例5在橢圓C：x29+y24=1上求一點M，使其到直線l：x+2y－10=0的距離最短，并求出這個最短距離.

解析：利用橢圓C的參數方程可設點M的坐標為（3cosα，2sinα），則點

M到直線l的距離

d=|3cosα+4sinα－10|5=5|sinα+φ－2|.

當sinα+φ=1時，點M到直線l的距離最短.由于tanφ=34，

因此sinα=45，cosα=35時，點M95，85，最短距離為5.

點評：先把橢圓的普通方程化為參數方程，再把點M到直線l的距離轉化為關于參數的三角函數的最值問題.

本題也可以采用平移相切法來處理.

本題采用三角換元法解題，體現了數學的化歸思想.

2.5類型5：利用參數方程解決弦長問題

例6求直線C1：x=1+tcos60°，y=tsin60°（t為參數）被圓C2：x2+y2=1所截得的弦長.

解析：將直線C1：x=1+tcos60°，y=tsin60°（t為參數）代入x2+y2=1，整理，得

t2+t=0，解得t1=0，t2=－1.

所以，截得的弦長為|t2－t1|=1.

點評：根據參數t的幾何意義，|t|為直線上的點到點（1，0）的距離，可知|t2－t1|為直線被圓截得的弦長.

2.6類型6：曲線（包括直線）的參數方程的綜合性應用問題

例7已知曲線C的參數方程為x=1+2t，y=at2（其中t為參數，a∈R），點M（5，4）在曲線C上.

（1）求常數a的值；（2）寫出曲線C的普通方程.

解析：（1）曲線C的參數方程x=1+2t，y=at2（t為參數）可化為普通方程4y=a（x－1）2.

由點M（5，4）在曲線C上，得

4×4=a（5－1）2，即a=1.

（2）由（1）知，曲線C的普通方程為（x－1）2=4y.

例8已知直線C1：x=1+tcosα，y=tsinα（t為參數），圓C2：x=cosθ，y=sinθ（θ為參數）.

（1）當α=π3時，求C1與C2的交點的直角坐標；

（2）過原點O作直線C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點，當角α發生變化時，試求動點P的軌跡.

解析：（1）當α=π3時，可得直線C1的普通方程y=3（x－1）.圓C2：x=cosθ，y=sinθ（θ為參數）的普通方程為x2+y2=1.

由x2+y2=1，y=3（x-1），解得x1=12，y1=－32，或x2=1，y2=0.所以C1與C2的交點坐標為12，－32和（1，0）.

（2）因為C1的普通方程為

xsinα－ycosα－sinα=0，①

所以過坐標原點且垂直于C1的直線方程為

xcosα+ysinα=0.②

聯立①②，可得A（sin2α，－sinαcosα）.

當角α發生變化時，點P的軌跡的參數方程為

x=12sin2α，y=－12sinαcosα（α為參數）.

消去參數α，可得點P的軌跡的普通方程

x－142+y2=116.

故點P的軌跡是圓心為14，0，半徑為14的圓.

點評：本題考查了直線與圓的參數方程以及直線與圓的位置關系.

3結束語

本課例列舉了參數方程的六種題型，通過本節課的教學，幫助學生厘清參數方程的題型特征與解題方法，學會分析與思考解參數方程相關問題的通性與通法.本文中根據近五年高考第22題列表統計與分析，幫助老師和學生了解高考有關參數方程命題的方向，另外，通過對這些題型的探究與解析，幫助學生學會分析其他數學難題，拓展參數方程的應用范圍.由于“參數方程”在高考數學中特殊而重要的地位，因此在第一輪復習時，要研究高考命題的難度和類型，從而有針對性地進行第一輪復習，且要注意復習的實效性，切實讓學生弄懂學會，在應對高考或“模考”時，信心滿滿，游刃有余！并在此過程中培養學生的數學運算與邏輯推理等核心數學素養.