一道新高考解析幾何題的多解探究

于悅

摘要：解析幾何是高中數學最重要的部分之一，長期以來都是高考的重點和難點.在全國廣泛推行新課標與新教材的背景下，新高考越來越重視對學科核心素養的考查.而解析幾何部分涉及多種學科核心素養的特點也使其在高考中的地位愈發重要.解析幾何的難點在于運算，而新高考的解析幾何題目似乎已不再單純是聯立方程和韋達定理的固定模式那樣簡單，而是從根本上要求考生提高數學運算核心素養.新課標將數學運算核心素養總結為四大主要特征，即理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、求得運算結果.那么將這些落實到解析幾何的具體運算中就成為了關鍵所在.文章通過對2022年新高考Ⅰ卷第21題的簡要分析，為學生提供解析幾何的運算方法和思路，同時提升學生的數學運算核心素養.

關鍵詞：高中數學；解析幾何；一題多解；核心素養

1題目呈現

已知點A（2，1）在雙曲線x2a2－y2a2－1=1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0．求l的斜率.

這是2022年新高考Ⅰ卷數學第21題的第一問，本文中只就該問中直線的斜率進行一題多解，以此來探究數學運算核心素養在解析幾何相關運算中的具體落實.

2題目解析

2.1設線解點法

本題的核心目標是計算直線的斜率，這就是運算對象，那么在理解運算對象上，又通常表現為以下三種形式，它們帶來了不同的運算結果.

理解之一：根據斜率的坐標形式，只需解出兩點的坐標，即可求出斜率.這是解析幾何中最樸素也最直接的理解.所以接下來就開始進入到運算規則，解出相關坐標.而在求解坐標時，由題型的特點又可以產生不同的運算思路.

運算思路一：利用直線與曲線方程聯立求解點的坐標.題干通常都會出現“一定兩動”的斜率關系，分別通過一定點和兩個動點連線所構成的兩條直線聯立曲線方程解出動點坐標.對于本題，如果能夠理解運算對象，發現直線地位的同等關系，就可在解出一個動點的坐標后同理得出另一個動點的坐標，這樣可相對減少運算量.如若不能，則需要解兩次方程組，進而解出各點的坐標.可以看到，對運算對象的理解不同，運算的代價自然也不同.根據以上分析可以給出解法1.

解法1：設直線AP的方程為y=k（x－2）+1，與雙曲線的方程x22－y2=1聯立，消去y，得

（1－2k2）x2+4k（2k－1）x－8k2+8k－4=0.

由韋達定理，可得xAxP=－8k2+8k－41－2k2.

所以xP=4k2－4k+22k2－1，從而可得

yP=k（xP－2）+1=2k2－4k+11－2k2.

因為直線AP，AQ的斜率之和為0，所以直線AQ的方程為y=－k（x－2）+1，

同理可得

xQ=4k2+4k+22k2－1，yQ=2k2+4k+11－2k2.

所以，直線l的斜率為

yQ－yPxQ－xP=2k2+4k+11－2k2－2k2－4k+11－2k24k2+4k+22k2－1－4k2－4k+22k2－1=－1.

2.2設點法

運算思路二：在求解兩點的坐標時，既然最后是坐標的比值關系，那就意味著只需找到兩點坐標之間的關系即可.能想到這一步，就需要利用設點法了.當然，這一步技巧性較強，沒有系統的訓練和觀察力，很難在考場上有限的時間內完成，這也是數學運算核心素養較高水平的體現.

解法2：設P（x1，y1），Q（x2，y2），由點P，Q，A都在雙曲線C上，得

x212－y21=1，x222－y22=1，222－12=1.

結合斜率公式，將上面的式子變形，可得

kPA=y1－1x1－2=x1+22（y1+1），kQA=y2－1x2－2=x2+22（y2+1）.

又直線AP，AQ的斜率之和為0，所以kPA=－kQA.

所以，由y1－1x1－2=－x2+22（y2+1），可得

2（y1y2+y1－y2－1）=－（x1x2+2x1－2x2－4）.①

由y2－1x2－2=－x1+22（y1+1），可得

2（y1y2+y2－y1－1）=－（x1x2+2x2－2x1－4）.②

①-②，得y1－y2=x2－x1.

所以kPQ=y1－y2x1－x2=－1，即l的斜率為－1.

上面兩種方法是對運算對象的理解之一，理解之二就是把握住AP，AQ，PQ三條直線之間的關系.既然AP，AQ兩直線的斜率和為0，我們就用PQ的斜率來表示AP，AQ，最后用斜率和為0解出直線PQ的斜率.這種理解直接體現在直線的關系上，直接操作就是設而不求，類似于常用的“點差法”.當然，此處亦可探究出其他不同的運算思路.

2.3經典韋達定理法

運算思路三：設而不求.斜率型題目中的一大類就是斜率的和或積的構造，其主要特征就是“一定點加兩動點”.聯立方程后，根據題意寫出斜率和或積的表達式，化簡后若發現已經湊出韋達定理的形式，此時無需再解出點的具體坐標，可直接代入韋達定理求解[1].

解法3：易得雙曲線方程為x22－y2=1.

由題意可知直線l的斜率存在，設l的方程為y=kx+m，聯立雙曲線方程可得（2k2－1）x2+4kmx+2m2+2=0，則Δ=16m2k2-4（2m2+2）（2k2-1）＞0，即m2+1-2k2＞0.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則

x1+x2=4km1－2k2，x1x2=2m2+22k2－1.

于是kAP+kAQ=y1－1x1－2+y2－1x2－2=kx1+m－1x1－2+kx2+m－1x2－2=0.

化簡，得

2kx1x2+（m－1－2k）（x1+x2）－4（m－1）=0.

所以2k2m2+22k2－1+（m－1－2k）4km1－2k2－4（m－1）=0，

即（k+1）（m+2k－1）=0.

當m+2k－1=0時，直線l：為y=k（x－2）+1過點A，不合題意，舍去.

故k=－1.

2.4割線同構法

運算思路四：圓錐曲線中，同構特征的出現一定是圖形中兩要素的地位等價，比如同一定點引出的兩條直線分別與圓錐曲線相交，那么這兩條割線的地位就是等價的，自然，它們與圓錐曲線的方程聯立后，就會呈現相同的結構，即“同構”特征，這樣的同構方程可能是關于直線的某個關鍵參數的同解方程.而這往往是我們簡化運算，同時也是解決一些問題的抓手.當然，需要注意的是，這兩個點的地位一致性，會導致同構算法的出現以及我們常用的術語“同理可得”.

具體到該題目，直線方程與曲線方程聯立之后的結果是一個一元二次方程，既然如此，為何不能讓AP，AQ的斜率分別作為這兩個方程的根，然后再利用韋達定理求PQ的斜率呢？這樣的思考進一步體現了對運算對象深層次的了解，體現了較好的運算思維.

解法4：設過點A的直線方程為y=k（x－2）+1，直線l的方程為y=k0x+m，

聯立解得

xP=m+2k－1k－k0，yP=2kk0－k0+mkk－k0，

代入雙曲線方程x22－y2=1中，得

k2+4k+=0.

這是關于k的一元二次方程，方程的兩根k1，k2分別為直線AP，AQ的斜率.

因為直線AP，AQ的斜率之和為0，即k1+k2=0，所以由韋達定理得（m－1）+k0（2k0+m）+k0=0，整理可得（k0+1）（m+2k0－1）=0.因為直線l不過點A，所以m+2k0≠1，從而k0=－1，即l的斜率為－1.

點評：直線AP，AQ的等價地位就意味著點P，Q等價，則點P，Q的坐標一定是曲線方程的同構解，此時用PQ的參數來表示點P，Q的坐標，再利用同構解來求得PQ的斜率，這就是求解整個問題的基本思路.

2.5齊次化法

理解之三：斜率問題最簡單的形式當然是直線過原點，所以可采用齊次化的方法，平移坐標系來構造斜率，降低運算難度.

基本原理：Ayx2+B5yx+C=0中，y的幾何意義是直線與曲線的交點（x，y）與原點連線的斜率，即OP，OQ的斜率，設為k1，k2，由韋達定理知k1+k2=－BA，k1k2=CA，從而能通過最初的二次曲線和直線相交，得出OP，OQ的性質.反之，也可以通過OP，OQ的性質與二次曲線得出AB的性質．

若定點在不在坐標原點，則需要先平移，設平移后的直線為mx+ny=1（這樣齊次化更加方便，相當于“1”的妙用），與平移后的圓錐曲線方程聯立，構造Ayx2+Byx+C=0，然后可以直接利用韋達定理得出斜率之和或者斜率之積，由k1+k2=－BA，k1k2=CA即可得出答案.

具體操作步驟如下：

第一步，將過點（m，n）的

圓錐曲線方程（以雙曲線x2a2-y2b2=1為例）變形為

2a2－2b2=1（a>0，b>0）.

第二步，設出過點（m，n）的直線方程p（x-m）+q（y-n）=1.

第三步，聯立方程組

2a2－2b2=1，

p（x-m）+q（y-n）=1.

湊出滿足題干的斜率形式即可.據此給出解法5.

解法5：雙曲線方程為x22－y2=1.設P（x1，y1），Q（x2，y2）.因為直線AP，AQ的斜率之和為0，所以kAP+kAQ=y1－1x1－2+y2－1x2－2=0，于是將雙曲線方程x22－y2=1變形為

（x－2+2）22－（y－1+1）2=1，[JY]③

且設直線l為m（x－2）+n（y－1）=1.

由③式，有

（x－2）2－2（y－1）2+4［（x－2）－（y－1）］=0.

將上式齊次化，可得

（x－2）2－2（y－1）2+4［（x－2）－（y－1）］5［m（x－2）+n（y－1）］=0.

上式展開并在等式兩邊同除以（x－2）2，整理可得

（4n+2）y-1x-22

+（4m－4n）y-1x-2－（4m+1）=0，

即（4n+2）k2+（4m－4n）k－（4m+1）=0，其中k1，k2為該方程的兩根.

所以k1+k2=4n－4m4n+2=0，可得m=n.

故直線l斜率為－1.

2.6二次曲線系法

理解之四：高等觀點與二次曲線系.這當然是具有較高知識水平的體現，站在更高的視角來解題會更加簡便，但這對理解能力的要求甚高.

二次曲線系法是優化解析幾何運算的一種重要方法，它本質上是對圓錐曲線的一種更深層的認識.在一些問題中，通過曲線系方法直擊本質，往往會使問題變得簡單明了.

基本原理：給定五個點，其中任何三個點都不共線，則過這五個點有且僅有一條圓錐曲線.由此進一步可得，由l1，l2組成的曲線為（a1x+b1y+c1）5（a2x+b2y+c2）=0.據此給出解法6.

解法6：雙曲線在點A處的切線方程為x－y－1=0，設直線AP的方程為y－1=k1（x－2），AQ的方程為y－1=k2（x－2），PQ的方程為y=kx+m，則過這四條直線交點的曲線方程為（kx－y－m）（x－y－1）+λ［k1（x－2）－y+1］［k2（x－2）－y+1］=0.

又因為雙曲線過這些交點，比較xy的系數，得－k－1+λ（－k1－k2）=0.

又k1+k2=0，所以k=－1.

3解題反思

上文中展示了該題目的6種解法，并且都體現了對運算對象和運算規則較為精準的把握.但在考試時間如此緊張的情況下，又快又準的解題卻是關鍵.在教學中，要以學生發展為本，立德樹人，提升素質，實現人人都能獲得良好的數學教育，不同的學生在數學上得到不同的發展.不同學生可以選擇不同的解題方法，解法1和解法3為通法，是多數學生的選擇，這樣的解法套路感強，平時練習得最多也最熟悉，但是過多地沉迷于這些方法會讓我們對解析幾何的理解就定位在“簡單粗暴的運算”[2].筆者認為，如果時間允許，探尋思考解法2和解法4也是不錯的選擇.至于解法5和解法6就是所謂的“高端技巧”，但是筆者認為這兩種解法還是有風險的，因為它們的技巧性很強，可能對很多學生而言都很難想清楚其實質.

因此，在教學中，教師要做到理解學生，了解他們的需求，從而能夠根據不同基礎的學生提供不同的指導方案.當然，對于一道優質題目，教師可以把它作為一個資源進行再開發，由易到難設計啟發性問題，引導學生主動探究，分析出合理的轉化方向，進而找出多種解決問題的途徑.這樣既可以鞏固知識，又可以促使學生思維向更深層次發展、向更多方向發散，同時還能切實提高學科核心素養，而這些往往比題海戰術更有效.只有這樣，才能構建真正意義上的以學生為主體的研究型與創新型教學[3].

參考文獻：

[1]周日橋.芻議“設而不求”在求解圓錐曲線問題中的應用[J].中學數學教學參考，2023（19）：52-54.

[2]錢麗談.提升數學運算核心素養的解析幾何運算教學[J].理科考試研究，2023，30（9）：2-5.

[3]章建躍.核心素養立意的高中數學課程教材教法研究[M].上海：華東師范大學出版社，2021：11-12.