相鄰三項線性遞推關系數列通項的簡便求法

尚萍

摘要：熟練掌握數列通項公式的求解是高考以及各類考試的基本要求.在高中階段，相鄰三項線性遞推關系數列通項公式的求解是一個難點，需要構造相鄰兩項的差為特殊數列進行求解，具有一定的難度.本文中在常規解法的基礎上，用特征方程法快速準確地求解通項公式，大大縮短了求解時間.

關鍵詞：遞推數列；特征方程；通項公式

1一個實例及解法

例1已知數列{an}滿足a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an－1（n≥2，n∈N+）．求數列{an}的通項公式.

解法1：常規解法.

因為an+1=2an+3an－1（n≥2，n∈N+），

所以an+1+an=3（an+an－1）（n≥2）.

又因為a2+a1=3，

所以{an+1+an}是以3為首項，3為公比的等比數列．

所以an+1+an=3×3n－1=3n，從而

an+13n+1+13·an3n=13.

進一步，an+13n+1－14=－13an3n－14.

又因為a13－14=112，

所以數列an3n－14是首項為112，公比為－13的等比數列.

故an3n－14=112×－13n－1.

所以an=3n－（－1）n4.

解法2：特征方程法.

設an+1－x1an=x2（an－x1an－1），與an+1=2an+3an－1比較系數，得

x1+x2=2，x1x2=－3.

由韋達定理可知，x1，x2是方程x2－2x－3=0的兩根-1和3.

取x1=－1，x2=3，有an+1+an=3（an+an－1）.又因為a2+a1=3，所以{an+1+an}是以3為首項，3為公比的等比數列，所以an+1+an=3×3n－1=3n.

取x1=3，x2=－1，有an+1－3an=－（an－3an－1）.又因為a2－3a1=－1，所以{an+1－3an}是以-1為首項，-1為公比的等比數列，則an+1－3an=（－1）×（－1）n－1=（－1）n.

于是有an+1+an=3n，an+1－3an=（－1）n，由方程組解法可知an是（－1）n和3n的線性組合.

因此，設an=c1·（－1）n+c2·3n.

又因為a1=1，a2=2，代入方程解得c1=-14，c2=14.

所以an=3n－（－1）n4.

2利用特征方程法解題的步驟

由例1解法2的解析可以看出，特征方程法是將相鄰兩項的線性組合構造成等比數列[1]，而對應的系數剛好是題目中相鄰三項線性遞推關系數列的特征方程的根，通過解特征方程可以直接寫出最終an的表達形式，再根據數列中的任意兩項，求出線性組合的系數，最終得到數列{an}的通項公式[2].因此可以將解題過程簡化為以下三個步驟：

（1）寫出特征方程并求出兩根x1，x2；

（2）設an=c1·xn1+c2·xn2；

（3）將a1，a2的值代入求出系數c1，c2，進而寫出數列{an}的通項公式.

例2已知數列{an}滿足a1=a2=2，且an+1=3an+4an－1（n≥2，n∈N+）．求數列{an}的通項公式.

解析：特征方程法.

由題可知，數列的特征方程為x2－3x－4=0，解方程得x1=4，x2=－1.

因此，設an=c1·（－1）n+c2·4n，將a1=a2=2代入，解得c1=－65，c2=15.

所以an=4n－6·（－1）n5.

由例2的解析[3]可以看出，利用特征方程法解決此類問題具有簡潔快速的明顯優勢，同時在解題過程中不容易出現錯誤，非常適合高中階段的學生學習和理解.

3特征方程法應用中的問題及對策

利用特征方程法求解這類問題，關鍵是構造特征方程.對于形如an+2=aan+1+ban（a，b為常數）的遞推數列，它的特征方程是x2=ax+b，即x2－ax－b=0.

另外，既然是二次方程就可能存在兩個相等的根和無實根的情形，下面對這兩種情形進行探究.

例3已知數列{an}滿足a1=1，a2=2，且an+1=6an－9an－1（n≥2，n∈N+）．求數列{an}的通項公式.

對于此題，首先用特征方程法求解.由題可知，數列的特征方程為x2－6x+9=0，解得x1=x2=3.因此設an=c1·3n+c2·3n，將a1=1，a2=2代入，得3c1+3c2=1，9c1+9c2=2，無解.

因此，例3無法用特征方程法快速求出通項公式.下面繼續用構造等差數列的方法重新求解，探求新思路[2].

解析：常規解法.

因為an+1=6an－9an－1（n≥2，n∈N+），

所以an+1－3an=3（an－3an－1）（n≥2）.

又因為a2－3a1=－1，

所以{an+1－3an}是首項為-1，公比為3的等比數列．

所以an+1－3an=（－1）×3n－1，從而an+13n+1－an3n=－19.又因為a131=13，所以數列an3n是首項為13，公差為－19的等差數列.

所以an3n=13+（n－1）·－19=4-n9.

故an=（4-n）3n9.

由例3可以看出，當特征方程有兩個相等的根時，無法用特征方程法求出數列的通項公式，此時需要構造一個新的等差數列，求出這個等差數列的通項公式是An+B的形式，進而求出數列{an}的通項公式an=（An+B）·xn.

例4已知數列{an}滿足a1=1，a2=2，且an+1=an－an－1（n≥2，n∈N+）．求a2024.

解析：由題可知，數列的特征方程為x2－x+1=0，此方程無實數根.

由a1=1，a2=2，an+1=an－an－1分別計算可得

a3=1，a4=－1，a5=－2，

a6=－1，a7=1，a8=2，……

所以{an}是周期為6的周期數列，又

2024÷6=337……2，

所以a2024=a2=2.

由例4可以看出，當特征方程無實數根時，數列{an}是一個周期數列[2].這一結論具有普遍性，在這里省略證明.

4特征方程法的解法總結

根據例2～例4的解答過程可以將相鄰三項線性遞推關系數列通項公式的求解歸納如下：

（Ⅰ）當特征方程有兩個不相等的實根時

（1）寫出特征方程并求出兩根x1，x2;

（2）設an=c1·（x1）n+c2·（x2）n;

（3）將a1，a2的值代入，求出系數c1，c2，進而寫出數列{an}的通項公式.

（Ⅱ）當特征方程有兩個相等的實根時

（1）寫出特征方程并求出根x;

（2）設an=（An+B）·xn;

（3）將a1，a2的值代入，求出系數A，B，進而寫出數列{an}的通項公式.

（Ⅲ）當特征方程無實數根時

分別計算前幾項的值，判斷數列{an}的周期性，進而求出{an}的通項公式.

參考文獻：

[1]盧海英.相鄰三項線性遞推數列的解法[J].中學生數學，2019（15）：9，8.

[2]黎真.特征方程法求數列通項[J].數理天地（高中版），2022（21）：19-22，28.

[3]王益洲，李燕.常見構造數列法的探究[J].數理化解題研究，2023（21）：2-4.

課題信息：2022年陜西省教育科學規劃課題“基于核心素養的高中數學教育與‘立德樹人的實踐研究”，課題批準號為SGH22Y0140.