逐層深入，讓“深度學習”真正發生

林春斌

深度學習是指在教師的引導下，學生圍繞具有一定挑戰性的主題，積極參與，充分體驗知識的發生發展過程，獲得思維有效生長的學習過程.這也是學生深刻掌握核心知識，把握數學本質，形成良好思維品質和積極情感態度與價值觀的過程.本文中以一道試題的教學為例，具體談談如何逐層深入，讓“深度學習”真正發生.

1重基礎，通概念，獲得理解能力

只有夯實基礎，才能筑起高樓大廈.概念是數學的基礎，是獲得數學知識與技能的核心.但有些教師在高三復習階段，存在重解題、輕概念的行為，這就造成了概念與解題的脫節，導致學生在解題時漏洞百出.鑒于此，針對復習中的解題教學，教師首先要引導學生分析問題涉及到的知識點、解題方向與考查目標.

原題已知函數f（x）=ex+e－x，e為自然對數的底數，如果正數a滿足以下條件：存在x0∈［1，+∞）使f（x0）＜a（－x30+3x0）成立，試比較ae－1與ea－1的大小，并證明.

師：大家都知道函數y=lnxx是由y=lnx與y=x相除而來，我們對它們的圖象與性質都比較熟悉，現在請大家將這兩個函數的圖象畫出來（見圖1）.大家有沒有發現，解題中遇到的函數很大一部分都是由基本初等函數復合或運算后獲得的，有時會增加一些參數.

設計意圖：給出題目后，不急于讓學生解題，而是先帶領學生回顧基本初等函數的圖象與性質，讓學生感知復雜函數的由來，以探尋到學生認知的最近發展區，讓學生從基礎知識著手，逐層深入，獲得知識間的聯系.

師：請大家畫出y=lnxx的圖象，并說說它的性質.

（學生畫圖，教師投影.）

生1：函數y=lnxx的定義域是（0，+∞）.在x∈（0，e）時，該函數單調遞增；在x∈（e，+∞）時，該函數單調遞減.在x=e時，函數存在最大值為1e.如圖2，根據性質畫出函數y=lnxx圖象，圖象向右、向下分別以x軸、y軸為漸近線.

師：非常好！如果a=ln22，b=ln33，c=ln55，那么a，b，c之間存在怎樣的大小關系？

生2：根據a=ln22=ln44，可設函數f（x）=lnxx，由函數在（e，+∞）上單調遞減，可知f（3）＞f（4）＞f（5），即b＞a＞c.

設計意圖：y=lnxx的性質是解決本題的基礎，教師引導學生體驗并得出它的單調性，對解題具有舉足輕重的影響.這也是研究復雜函數問題的基本過程，教師以小步子、低起點的方式鋪設臺階，目的在于讓學生深度理解問題的本質，從而達到融會貫通的目的.

通過以上教學引導，學生的思維得以“熱身”.此過程，從基礎函數逐漸拓展到復雜函數，拾級而上的教學方式，不僅夯實了學生的知識基礎，還增強了學生的理解能力，讓學生的思維螺旋式上升.

2重過程，通思維，形成遷移能力

解題教學是培養學生思維與能力的過程，就題論題只是將學生局限于知識的某一面，只有注重過程發展的教學，才能讓學生從真正意義上獲得數學本質.在引導學生回顧知識本源的基礎上，可通過問題構造y=lnxx類的函數，來進行知識的遷移，達到通思維、獲能力的目的.

師：已知a，b為實數，且b＞a＞e，e是自然對數的底數，求證ab＞ba.

生3：因為b＞a＞e，所以欲證ab＞ba，只需證明lnab＞lnba，也就是證lnaa＞lnbb.構造函數y=lnxx，因為函數在（e，+∞）上單調遞減，所以lnaa＞lnbb.

師：太棒了！通過取對數的方法，將指數問題轉化成對數的問題來分析，再結合函數y=lnxx的單調性，就輕松解決了問題.現在請大家思考：已知m，n為正整數，1＜m＜n，求證（m+1）n＞（n+1）m.

生4：設m，n為實數，同時2≤m≤n，想要證得（m+1）n＞（n+1）m，只需要證明ln（m+1）n＞ln（n+1）m，也就是證明ln（m+1）m＞ln（n+1）n.考察函數g（x）=ln（x+1）x（x≥2），即要證明g（m）＞g（n）.因為g′（x）=xx+1－ln（x+1）x2，當x≥2時，xx+1＜1，ln（x+1）≥ln3＞1，所以g′（x）＜0，則g（x）在（e，+∞）上單調遞減，因而g（m）＞g（n）.

設計意圖：本題直接解答，對學生而言難度較大，但這又是高考重點考查內容之一.為此，筆者引導學生通過構造函數來思考，真可謂是柳暗花明.將函數y=lnxx逐漸拓展為y=ln（x+1）x，讓學生充分感知處理一類問題的策略，達到舉一反三的效果.

經過以上逐層遞進的探討，學生對轉化過程已經有了明確的認識，筆者見臺階也鋪設得差不多了，遂將學生的思路引到原題的解題上.

生5：要比較ae－1與ea－1的大小，可以考慮用取對數構造函數的方式來處理，但此過程會受a值的影響，因此需根據條件先明確a的范圍.

學生經過合作交流，獲得a＞e+e－12的結論.

生6：根據a的取值范圍，可確定ae－1與ea－1都大于1，因此可取自然對數得（e－1）lna與（a－1）lne，將二者同時除以（e－1）（a－1），可得lnaa－1與lnee－1，再比較這兩者的大小即可.

師：思路不錯！將問題完美地進行了轉化，接下來請另一位同學繼續接力.

生7：構造函數h（x）=lnxx－1（x＞1），它的導數則為h′（x）=1－1x－lnx（x－1）2.令m（x）=1－1x－lnx，那么m′（x）=1x2－1x=1－xx2（x＞1），則m（x）在（1，+∞）上單調遞減，所以m（x）＜m（1）=0.因此h（x）＜0，則h（x）在（1，+∞）上單調遞減.

當a∈e+e－12，e時，根據e＞a可得h（e）＜h（a），也就是ae－1＞ea－1；當a=e時，有h（e）=h（a），也就是ae－1=ea－1；當a∈（e，+∞）時，根據e＜a可得h（e）＞h（a），也就是ae－1＜ea－1.

設計意圖：從對基礎知識的回顧—初步應用—深入理解—知識遷移，學生逐層深入地體會了知識的融會貫通過程，有效地訓練了分析問題與解決問題的能力.

深度學習，并不是將知識傳輸、平移給學生，而是引導學生感知知識的形成與發展歷程，由淺入深地引申問題，以激發學生參與的積極性，讓學生自主地進入知識發展的情境中，感知知識的再創造過程，為形成良好的解題能力與核心素養奠定堅實的基礎.[HJ1.8mm]

3重總結，通思想，形成解題能力

總結對解題教學來說，具有畫龍點睛的作用.好的總結方式，能幫助學生厘清知識的脈絡，讓學生產生一種豁然開朗的感覺.教學的目的在于培養學生的數學思維，幫助學生獲得良好的數學思想與方法，最終形成較好的解題能力與可持續性發展的能力.

師：通過以上過程，大家非常圓滿地解決了一道難題，其實本題還可以作進一步的深入研究.請大家回顧以上教學過程，看看有沒有什么新的發現？

生8：從以上所構造的函數g（x）=ln（x+1）x與h（x）=lnxx－1來看，函數g（x）的圖象可以通過將h（x）的圖象向左平移一個單位長度而獲得，同時函數h（x）=lnxx－1又可以由y=lnx與y=x－1相除而來，因此問題又回歸到最初的兩個基本函數“y=lnx與y=x－1”中去了.結合之前的探索方法，可結合圖象或導數來獲得函數h（x）的單調性.

師：非常好！所有的復雜問題都是由簡單的基礎問題所構成，當我們遇到棘手的問題時，不要被它的表面難度所嚇倒，而應以它的基礎問題為研究的著手點，循序漸進地抽絲剝繭，必然能獲得問題的本質，從而順利解決問題.數學家華羅庚認為：“解決數學問題的一個重要訣竅，就是要善于退，一直退到最原始而不失重點的地方為止.”

總之，教育的目的不僅僅是為了升學，更重要的是為了育人.因此，學生在課堂中的收獲應是三維立體的，包括知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀等方面.利用啟發式的教學，由淺入深、逐層深入地引導學生進行深度學習，是超越生理學、心理學，達到推動人類進步與發展的教學.