基于“理解”的“余弦定理”課堂教學實踐

陸婧婧

摘要：指向理解的教學設計給學生以更多的探究機會，其不僅可以讓學生自然地接受新知識、理解新知識，而且通過新知與舊知的相互補充和融合，有利于學生知識體系的建構和數學綜合學力的提升.在實際教學中，教師要打破“照本宣科”的教學模式的束縛，引導學生經歷探究新知識的全過程，讓學生真正理解數學知識.

關鍵詞：理解；探究；綜合學力

在數學學習中，若想靈活應用數學知識解決問題，首先就要理解它，只有理解了才能更深刻地感覺它、應用它.不過，受唯分論的影響，部分教師為了追求“速度”，常常以灌輸的方式教學，學生因為沒有經歷獨立思考和自主探究的過程而未能理解知識的本質和內涵，這樣靈活應用自然無從談起.在日常教學中，教師要重視引導學生經歷知識的探索過程，充分激發學生的主體性和積極性，從而讓學生獲得真正的理解，提高學生數學學習水平.

1挖掘“理解”的數學教學內涵

在數學教學中，教師要重視引導學生挖掘知識的本源，揭示問題的本質，提煉蘊含其中的數學思想方法，從而讓學生真正地理解知識.基于此，教師要打破“講授式”教學模式的束縛，提供時間和機會讓學生自主探究，并通過課堂教學激活學生的數學思維，讓學生用數學的思維去思考，用數學的語言去表達，從而讓學生對知識的認識理解逐漸走向深入，最終形成數學知識.

在日常教學中，若想讓學生對知識達到理解的程度，教師要以客觀材料為媒介，讓學生將新知與舊知有效地聯系起來，引導學生經歷探究新知的全過程，讓學生充分體會知識的實用性、必要性，促進學生知識體系的建構和完善.在此過程中，教師不僅要教授知識，更要傳遞、滲透蘊含其中的思想方法和經驗，幫助學生理解問題的本質和內涵，提高學生靈活運用知識解決問題的能力，提升學生數學素養.

2滲透“理解”的課堂教學實踐

在“余弦定理”教學中，教師以學生已有知識和經驗為出發點，基于學生基本學情創設符合學生認知水平的探究活動，讓學生主動參與到新知識的教學實踐中，讓學生通過經歷思考、探索、感悟等活動，真正地理解知識，提高數學能力和素養.教學設計如下：

2.1情境引入，感悟新知

情境問題：小明周末從家出發購買學習用品和水果，他先是直線行駛300m到文具店購買學習用品，然后直線行駛400m去水果店購買水果.如圖1，點A代表小明家，點C代表文具店，點B代表水果店，若CA與CB的夾角是60°，小明買好水果后直接直線行駛回家，你知道小明需要行駛多遠的距離嗎？

問題給出后，教師啟發學生將這一生活中常見的問題轉化為數學問題：在△ABC中，已知AC=300，BC=400，∠C=60°，求AB的長.

設計意圖：以學生熟悉的現實生活情境為背景，讓學生感知數學在現實生活中的應用，激發學生探究欲，提高學生解決問題的能力.在此過程中，教師鼓勵學生將問題向數學化轉化，讓學生深刻感受數學知識的簡潔性、便捷性和必要性，為接下來的新知學習打下堅實的基礎.

2.2探究新知，促進理解

為了更加清晰地展示小明直線行駛的路徑，教師啟發學生利用箭頭表示，學生給出圖2所示的圖形.

師：觀察圖2，你想到了什么？（學生一時不知從何說起.）

師：如果從平面向量的角度來看，你能將以上情境轉化為一道數學題嗎？

生1：在△ABC中，已知|AC|=300，|CB|=400，且AC與CB的夾角為120°，求|BA|的值.

師：非常好！根據圖2的路徑圖，結合向量加法的學習經驗，你能得到怎樣的等式？

生2：AC+CB=－BA.

師：根據前面分析可知，所求為BA的模，即|BA|.那么如何將BA與|BA|建立聯系呢？

生3：向量的平方等于向量模的平方，所以有BA2=|BA|2.

師：結合以上分析過程，現在是否能夠求出|BA|的值呢？

教師讓學生以小組為單位，共同探索|BA|的值.學生積極思考、交流，教師巡視，并適時指導.

師：哪個小組說一說，你們是如何求解的？

生4：將AC+CB=－BA這個關系式平方，得（AC+CB）2=（－BA）2，即AC2+2AC·CB+CB2=BA2，所以有|AC|2+2|AC|·|CB|cos120°+CB2=BA2.又

|AC|=300，|CB|=400，這樣將已知條件代入后，即可求得|BA|的值.

師：很好，現在我們將問題向一般化轉化，如圖3，若|CB|=a，|CA|=b，|BA|=c，CB與CA的夾角為α，結合以上研究經驗，你能得到怎樣的數量關系？

（問題給出后，學生開始新一輪的探究.）

生5：結合以上探究過程，易得b2－2abcosα+a2=c2，即c2=b2－2abcosα+a2.

師：很好，結合“c2=b2－2abcosα+a2”這一關系式，我們可以研究什么問題？

生6：已知三角形兩條邊的長度分別為a和b，且兩條邊的夾角為α，則第三邊的長度c可求.

師：很好，這就是我們今天所要學習的余弦定理.在△ABC中，若∠A，∠B，∠C所對應的邊為a，b，c，你能得到怎樣的數量關系？

生7：c2=a2+b2－2abcosC，a2=b2+c2－2bccosA，b2=a2+c2－2accosB.

師：非常棒，有了公式的幫忙，我們就能輕松地計算出小明從水果店到家的距離.

設計意圖：在探究過程中，教師繼續引導學生對問題進行抽象，并鼓勵學生用向量的知識解決問題，以此借助已有經驗有效溝通新知與舊知的聯系，喚醒學生的原認知，讓學生充分感知數學知識之間的內在聯系，以便將新知納入到原有的向量相關的知識體系中，促進個體知識體系的建構與完善.教師將主動權交給學生，通過有效問題的引領讓學生經歷數學化的過程，并通過由特殊到一般的轉化，形成新知識.這樣讓學生親歷探索新知、抽象新知等過程，有利于促成學生對新知的深度理解，切實提高教學有效性.

2.3鞏固練習，加深理解

例1在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.

例2在△ABC中，已知a=3，b=2，c=19，求S△ABC.

例3如圖4，已知直線AB和CD相交于點O，且∠COA=80°.甲、乙兩人同時從點O出發，分別沿OA，OC方向行駛，[JP+1]其步行速度分別為4km/h和4.5km/h，問3小時后，兩人相距多遠？（精確到0.1km.）

例3是一個以現實生活為背景的應用題，不妨設3小時后，甲到達點P，乙到達點Q，則問題可以轉化為：在△OPQ中，已知OP=12km，OQ=13.5km，∠POQ=80°，求QP的長.

設計意圖：通過基礎練習，學生能從不同角度理解余弦定理.對于例1，已知三角形的兩邊和它們的夾角，可以求第三邊；對于例2，已知三角形的三條邊，可以求出角；對于例3，通過經歷生活情境數學化的過程，進一步感知余弦定理的應用價值，真正實現為用而學，在學中用，學而能用.

2.4課堂小結，升華認知

師：通過以上研究過程，你學到了哪些知識、方法？談談你的心得體會.

此環節先由學生歸納總結，然后師生共同完善.

設計意圖：教師提供時間讓學生思考“為什么學、學什么、怎么學”等問題，讓學生腦海中形成清晰的知識脈絡，達成真正的理解.

3結束語

在高中數學教學中，教師作為課堂教學的組織者、引導者、啟發者、點撥者，切勿將知識直接灌輸給學生，應該創造機會讓學生主動參與到新知識的學習實踐中，引導學生深刻體會學習新知識的重要性與便捷性，激發學生學習的主動性和積極性，感悟“學以致用”的教學真諦.在學習新知識的過程中，要引導學生關注新知識與舊知識之間的內在聯系，引導學生用舊知識去探索新知識，從而讓新知識的學習更加自然、順暢，更易于學生理解和接受，逐步提高學生自主探究能力，提升學生數學素養.

總之，在高中數學教學中，教師要不斷提升自身的教學素質，認真地研究教學內容、研究學生，基于學生最近發現區創設有效的問題，提供機會讓學生主動探索新知，充分發揮課堂教學的育人功能，讓學生理解知識的本質與內涵，促進深度學習教學目標的落實.