倡導“三要”，回避“三忌”

耿萍

二輪復習是基于一輪復習后的一個重要階段，關鍵在于學生的能力提升與素養養成，進一步構建并完善數學學科的知識體系結構與網絡，以及更加全面的解題技巧與方法等.因而，為了更加有效地進行高考數學二輪復習，必須做到合理側重點、橫聯縱拓面、聚集能力點等，在復習過程中要倡導“三要“，回避“三忌”.

1倡導“凸顯主體”，忌諱“面面俱到”

在實際復習備考過程中，高考數學二輪復習有時也不是單獨存在的一個完整區間段，復習的時間較短，是一輪復習的合理延續，經常與三輪復習進行交叉融合，這就要求二輪復習應該明辨復習主體，全面凸顯主體，合理地有所側重，不要面面倶到.

一種比較成熟的認知，就是二輪復習時，可以通過高中數學學科的六大主干知識模塊（函數與導數、數列、三角函數與解三角形、立體幾何、解析幾何以及統計與概率等）來合理展開，予以更加高頻的關注與側重對待.

以“函數、方程與不等式的聯系與轉化”為例，借助函數這一高中數學基本核心內容，合理構建函數與方程、函數與不等式、方程與不等式等之間的聯系，并在此基礎上構建函數與導數的應用、函數的性質與圖象的聯系，以及函數和方程思想與其他相關數學思想方法的聯系與應用，有效構建主干知識網絡與分支知識網絡的聯系，使得知識的理解與掌握更加精細，更加完善.

例1（2023年浙江省高中數學競賽夏令營試題·12）已知x為實數，且滿足52x+1+3125=55x-x2，則x的最小值和最大值之和為＿＿＿＿.

解析：依題將原方程等價轉化為52x+1+5555x-x2=1，即5x2-3x+1+5x2-5x+5=1，

配方可得

52-54+5

2-54=1.

構造函數f（x）=5x-2-54+52-54，

則有f（2－x）=f（2+x），即函數y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱，

而f（0）=3130>1，f（2）=25<1，顯然方程f（x）=1有解，

所以x的最小值和最大值之和為4.

點評：本題充分體現了化歸與轉化的解題策略，在解題過程中對超越方程加以合理變形與轉化，通過函數的構造加以合理化歸，從而借助函數的對稱性為解決相應的超越方程提供條件，使得“看似無法解決”的問題得以合理轉化與巧妙解決，把“陌生”問題“熟悉”化，充分開發學生的潛能，對學生“四基”的鞏固與數學能力的提升與應用都有很好的效果.

2倡導“注重聯拓”，忌諱“就題講題”

基于一輪復習，此時大部分學生對數學學科基礎知識與基本方法的整體復習還只是處于簡單階段，沒有形成系統與網絡，還是比較單一的知識點.

作為其鏈接與延續，二輪復習應該選擇更加恰當的典型實例，注意數學知識點與思想方法間的“橫聯縱拓”，借助透徹的分析，有效的類比，幫助學生在此過程中逐漸完善與升華，將紛繁零碎的數學基礎知識點、數學能力點等系統化、網絡化、條理化和簡明化，不能只是停留在“就題講題”的一輪復習層面.

特別不能直接依托于問題，就題講題，否則只能保證該問題的效益，不能形成不同知識點之間的聯系，形不成知識網絡，只是一個個單一的、零碎的問題，沒有發揮到典型問題的多重效益.

例2（2023年南京大學強基計劃數學試卷·4）已知sin4αsin2β+cos4αcos2β=1，則sin4βsin2α+cos4βcos2α=＿＿＿＿.

分析：將所給的復雜分式進行整式化處理，是解題過程中比較常見的一種切入方式.在此基礎上利用三角函數中的平方關系進行合理的拆分、合并、化簡，構建更為簡捷的三角關系式，為進一步求三角函數式的值提供條件.

解法1：三角恒等變換思維法.

由已知sin4αsin2β+cos4αcos2β=1，可得sin4αcos2β+cos4αsin2β=sin2βcos2β，

于是可以得到sin4αcos2β+（1－sin2α）2sin2β－sin2βcos2β=0，

即sin4αcos2β+（1－2sin2α+sin4α）sin2β－sin2βcos2β=0，

可得sin4α5（sin2β+cos2β）+sin2β（1－cos2β）－2sin2αsin2β=0，

則sin4α+sin4β－2sin2αsin2β=0，即（sin2α－sin2β）2=0，可得sin2α=sin2β，

再由1－cos2α=1－cos2β，可得cos2α=cos2β，

所以sin4βsin2α+cos4βcos2α=sin4βsin2β+cos4βcos2β=sin2β+cos2β=1.

點評：利用同角三角函數的平方關系進行三角轉化處理時，化簡比較復雜，次冪較高，要注意降冪方法的應用，需要足夠的耐心與認真細致的態度.

解法2：換元思維法.

設cos2α=a，cos2β=b，利用平方關系可得sin2α=1－a，sin2β=1－b.由已知sin4αsin2β+cos4αcos2β=1，可得（1-a）21-b+a2b=1，

整理可得b（1－a）2+a2（1－b）=b（1－b），化簡得（a－b）2=0，即a=b，

所以sin4βsin2α+cos4βcos2α=（1-b）21-a+b2a=（1-a）21-a+a2a=1－a+a=1.

當然，在以上拓展數學思想方式的基礎上，合理加以深入與應用，并結合問題的結構特征，利用選擇題中具備結論對某一“對象類型”內均成立的前提條件，可以采用更加巧妙的方式與方法來處理，即可采用“特例排除法”來達到目的.同時也對“特值（例）排除法”的認識、理解與掌握等給出一個更高、更全面的應用.

解法3：特殊思維法.

依題sin4αsin2β+cos4αcos2β=1是一個不定方程，

顯然當α=β≠kπ2，k∈Z時，條件中的方程sin4αsin2β+cos4αcos2β=sin4βsin2β+cos4βcos2β=sin2β+cos2β=1成立，

所以將α=β≠kπ2（k∈Z）代入，可得sin4βsin2α+cos4βcos2α=sin4βsin2β+cos4βcos2β=sin2β+cos2β=1.

當然，以上問題還可以進行更加豐富多彩的“橫聯縱拓”，這里就不多加展開.可以肯定的是，借助典型實例的“橫聯縱拓”，從基礎知識與基本能力等方面都會使得學生“會一題、懂一類、通一片”等教學效果成為現實，這也是二輪復習教學所追求的最高目的.

3倡導“能力立意”，忌諱“唯知識論”

經過一輪復習，“知識論”的基礎就已經構建，合理滲透數學思想方法、數學能力等的“顯性運用”，是二輪復習中必須關注的重要方面.更加“自覺”“合理”地選擇對應的數學思想方法來分析與解決問題，還是要通過高考數學二輪復習加以有效訓練與不斷強化，這樣才能真正融合知識、能力、方法等于一體，吻合“能力立意”的高考數學命題理念，從而更加科學有效地應對高考.

例3〔2023年香港中文大學（深圳）綜合評價測試數學規組第2題〕數列{an}滿足an+1=anan+1+an+1，且a1=1+2－3，求數列{an}前2024項的積.

解析：依題意，顯然an≠0，an≠1，由an+1=anan+1+an+1變形整理，可得an+1=1+an1-an.

令an=tanxn，則有tanxn+1=an+1=1+an1-an=tanπ4+tanxn1-tanπ4tanxn=tanπ4+xn，

于是可得an+2=tanxn+2=tanπ4+xn+1=tanπ2+xn，an+3=tan3π4+xn，an+4=tan（π+xn）=tanxn=an，

所以數列{an}是以4為周期的周期數列.

又a3=tanπ2+x1=－1tanx1=－1a1，a4=tanπ2+x2=－1tanx2=－1a2，可得a1a3=－1，a2a4=－1，從而可得a1a2a3a4=－1×（－1）=1，

所以數列{an}前2024項的積a1a2a3……a2024=（a1a2a3a4）506=1506=1.

點評：合理的聯想與知識的鏈接巧妙地將數列與三角函數這兩個不同的知識點聯系起來，完成合作與應用，這才是問題的能力立意所在.通過數列的遞推關系式與三角函數的正切公式的聯系，借助兩角和正切公式的變形，為確定周期數列的周期提供一個全新的思維，得以求解與應用.

“能力立意”的高考數學命題理念在具體問題中的體現，往往需要閱讀、觀察、理解、分析、歸納、演算、驗證等探究過程，借助多層面、多視角來分析與探究.在具體求解問題的過程中，往往需要通過邏輯推理中的歸納法（不完全歸納或完全歸納）、類比法等，以及構造思維中的構造法等來達到目的.這些思想方法都是不可以事先預設的，只有在分析與探究的過程中，隨著數學思維的深入、問題分析的顯現等，才會逐步被觀察與聯想到.

二輪復習要立足根基，基于一輪復習的知識基礎，適度地求新求異，合理地綜合訓練，認真審視復習過程，及時修正復習過程中存在的偏差，在一輪復習的基礎上更加全面地“查缺補漏”，同時合理倡導“三要”，回避“三忌”，這樣，二輪復習的有效性方能得到更加有效、更加全面地實現，學生的數學知識、數學能力以及數學核心素養等才能真正得以有效提升.