開展主題教學，提升復習品質

孫芳

主題式教學以“核心議題”為焦點，將教學理論和生活實踐有機結合起來，引導學生關注知識間的內在聯系，充分發揮學生的主體作用，提升學生的數學應用水平.主題的范圍是比較廣泛的，它可以是一章或跨幾章的內容，也可以是某種能力或者某個素養，還可以是一些章節的重要概念，等等.教師作為課堂教學的組織者，要打破單一知識、單一章節的束縛，著眼于全局，結合教學實際合理設計主題，充分發揮主題式教學的優勢，提升復習教學品質.筆者以“圓錐曲線的參數方程復習”為例，談談對“主題式”課堂教學的幾點認識，若有不足，請指正！

1知識回顧

問題1圓的標準方程及參數方程分別是什么？

根據預設，大多數學生能夠輕松地給出圓的標準方程和參數方程，即圓的標準方程為（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0），參數方程為x=a+rcosθ，y=b+rsinθ，其中θ為參數.

問題2橢圓的標準方程、參數方程呢？

根據預設，大多數學生能夠輕松地給出橢圓的標準方程和參數方程，即橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），常用的參數方程為x=acosθ，y=bsinθ，其中θ為參數.

思考1它們的參數方程是否唯一？

思考2圓錐曲線的普通方程和參數方程是否可以互相轉化？如果可以，如何轉化？

設計意圖：通過指向明確的問題，引導學生回顧已學的圓與橢圓的標準方程和參數方程，及參數方程和普通方程的互化，檢測學生的基本知識掌握情況，喚醒學生的自主學習意識，為接下來進入主題做好充分的準備.

2方法建構

例1已知M是橢圓x29+y24=1上一點，M到x+2y－10=0的距離最小，求點M坐標及最小距離.

例1看似簡潔，但是蘊含著豐富的信息，非常具有典型性.教學中，教師先讓學生獨立思考，然后通過師生互動的方式了解學生基礎知識、基本技能的掌握情況，充分挖掘學生的思維漏缺，以便通過及時的修補提升學生的解題技能.從教學反饋上來看，大部分學生還是習慣應用普通方程來求解，但是應用該方法不僅需要較強的分析能力，而且對學生的運算能力也提出了更高的要求，這樣學生雖然最終得到了答案，但是卻消耗了較多的時間.為了充分展示圓錐曲線參數方程中“坐標法”在解決有關距離問題、交點問題、最值問題等方面的優越性，教師做了如下引導：

師：你認為解題的關鍵是什么呢？

生1：設點M的坐標，這樣可以根據點到直線的距離公式把距離表示出來.

師：點M的坐標如何設呢？如何表示橢圓上的點呢？

（問題給出后，教師刻意放緩速度，讓學生思考、交流，最終達成共識.）

生2：設M（3cosθ，2sinθ）.

師：說說你的理由.

生3：點M（3cosθ，2sinθ）中只有一個變量，顯然用“坐標法”表示出橢圓上動點M的坐標更高效.

這樣確定解題策略后，教師預留時間讓學生動手計算，從解題反饋來看，大多學生能夠求出點M到橢圓的最小距離，不過部分學生在求點M的坐標時卻犯了難，可見學生對三角函數輔助角公式的掌握還有些欠缺，在后續學習中有必要進行進一步的強化.

設計意圖：教學中，教師先讓學生獨立求解，并結合學生解題反饋進行啟發和引導，讓學生體會應用“坐標法”解題的優越性，強化橢圓參數方程的應用.在以上教學過程中，教師以學生已有認知為出發點，讓學生的思維能力在“低起點、小坡度”問題的解決中螺旋上升.

3類比探究

問題3與簡單的線性規劃相類比，請對例1進行改編.

教師鼓勵學生結合已有經驗對題目進行改編，教師巡視，并投影學生交流結果：

（1）已知M（x，y）是橢圓x29+y24=1上一動點，求2x+3y的取值范圍.

（2）已知M是圓（x－1）2+y2=1上一點，若點M到直線x+2y－10=0的距離最小，求點M坐標及最小距離.

師：對于以上問題，我們可以用什么方法來求解呢？

生齊聲答：坐標法.

師：很好，在圓錐曲線中，對于求取值范圍、最值、位置關系等問題，都可以用“坐標法”來求解.請大家以小組為單位，給出以上兩道題目的解答過程.

教師讓學生以小組為單位，共同完成以上問題的解答，通過互動交流進一步強化“坐標法”的理解，感悟“坐標法”的優越性.

設計意圖：教師引導學生對例1進行改編，讓學生體會知識間的內在聯系，幫助學生進行知識的遷移，加深對“坐標法”的理解，領悟問題的本質.在復習教學中，教師要提供機會讓學生類比、聯想、驗證，培養學生勇于聯想、樂于探究的良好習慣，提高學生提出問題和解決問題的能力，促進學生學科素養的發展.

4思考探析

例2已知M是C1：x24+y2=1上一點，N是C2：x2+（y－3）2=1上一點，求|MN|的取值范圍.

師：例1及其改編題中僅有一個動點，對于例2這種多個動點的問題，我們該如何解決呢？

生4：例2是兩個動點，設點M（2cosα，sinα）（α為參數），點N（cosβ，3+sinβ）（β為參數），利用兩點間距離公式，可求|MN|的取值范圍.

生5：這樣又有兩個變量，可以嘗試將動點M到動點N的距離化為轉化為動點M到圓心的距離，求出|OM|，然后加上或者減去半徑，即可求得|MN|的取值范圍.

師：非常好，在解決多個動點問題時，我們要學會“以靜制動”，在變化中尋找不變的量，從而利用化歸與轉化的思想方法將問題轉化，高效解決問題.

設計意圖：在復習教學中，教師應該結合教學實際選擇典型例題，這樣不僅可以幫助學生鞏固知識，更重要的是可以讓學生掌握知識應用的不變性、靈活性，突出知識體系的完整性和知識間的聯系，提高綜合應用知識解決問題的能力.多個動點問題是高考的一個重要考點，也是教學難點，為了突出重點、突破難點，教師通過典型例題在學生的“最近發展區”創設沖突，引導學生在“變”與“不變”中體會知識間的橫向聯系和方法上的差異性，滲透“化歸轉化”“數形結合”“以靜制動”等常用的數學思想方法，突出“坐標法”在解決動點問題中的優越性，發揮參數方程的最大作用，幫助學生積累豐富的解題經驗，突出本課主題.

5鞏固成果

練習在平面直角坐標系中，曲線C的參數方程為x=3cosθ，y=sinθ（θ為參數），直線l的參數方程為x=a+4t，y=1－t（t為參數）.若C上的點到l距離的最大值為17，求a.

設計意圖：練習是課堂的重要一環，其在數學教學中是必不可少的.從教的角度來看，通過練習可以檢測課堂教學效果，判斷教學目標是否達成；從學的角度來看，學生通過練習可以經歷用“坐標法”解題的全過程，充分體會“坐標法”的應用價值，增強解題信心.解題后，教師應鼓勵學生對知識、方法等進行歸納總結，讓學生更加全面地理解知識，切實提高分析和解決問題的能力.

6結束語

本課以“坐標法”研究為主題，充分展示參數方程的優越性，引導學生學會用代數方法解決幾何問題.在本課教學中，教師精心挑選例題，讓學生體驗利用“坐標法”解決問題的優越性和必要性，讓學生學會根據問題的特點選擇合適的參數，借助參數為已知與未知架設橋梁，實現快速解題.在此過程中，教師引導學生進行類比改編，實現知識的橫向拓展和縱向延伸，幫助學生建構知識網絡，提升復習品質.

從教學安排上來看，教師遵循學生的認知發展規律，讓學生體會知識的發生、發展過程，發展數學水平，提升思維品質.另外，教學中，教師以發展學生為目標，鼓勵學生獨立思考與合作交流，讓學生在互動交流中形成正確的解題策略，感悟問題的本質，發展自主學習能力.

總之，在高中復習教學中，教師要從整體和全局的視角出發，根據教學實際設計“主題”，充分發揮“主題式”教學的優勢，實現知識系統的完善和解題技能的提升，發展學生數學核心素養.