抓住函數本質 突破思維盲區

專題復習 函數及其圖像

領" 銜" 人：康葉紅

組稿團隊：江蘇省“深度學習視域下初中數學大單元教學”課題組

函數是初中數學的重要內容之一，一次函數、反比例函數和二次函數是初中階段函數的三個重要分支。在解決函數問題時，我們常因為思考問題不全面或者忽視相關函數的概念和圖像性質而出現一些錯誤。現將函數中易混淆的知識點進行辨析，希望同學們能及時查漏補缺，舉一反三。

一、忽視函數的概念而出錯

例1 二次函數y=（m-1）x2+x+m2-1的圖像經過原點，則m的值為 。

【錯解】∵二次函數的圖像經過原點，∴將x=0，y=0代入可得m2-1=0，于是m=±1。

【錯因剖析】忽視了二次函數中a≠0，即m-1≠0的條件限制。

【正解】由題意可得m2-1=0且m-1≠0，解得m=-1。

例2 已知函數y=（m+1）x2-4x+2（m是常數）的圖像與x軸只有一個交點，則m= 。

【錯解】當y=0時，（m+1）x2-4x+2=0。

∵函數的圖像與x軸只有一個交點，∴b2-4ac=0，即（-4）2-4×（m+1）×2=0，解得m=1。

【錯因剖析】看到y=（m+1）x2-4x+2（m是常數）這個函數表達式，部分同學會認為此函數一定是二次函數，忽略了當二次項系數為零時，此函數是一次函數，也符合題意。

【正解】當m+1≠0時，此函數為二次函數，由上述解法可得m=1；當m+1=0時，y=-4x+2為一次函數，函數的圖像與x軸只有一個交點，即m=-1。綜上可得m=±1。

【總結】解決此類問題，我們需要結合函數的概念來分析。其中，一次函數y=kx+b與反比例函數y=[kx]的限制條件都是k≠0，二次函數y=ax2+bx+c的限制條件是a≠0。例1忽視了上述限制條件；例2在未說明哪一類函數的情況下，需要對函數進行分類討論，如果缺少分類的意識，就容易漏解。

二、忽視函數的性質而出錯

例3 如圖1，點P在反比例函數y=[kx]圖像的一支上，過點P作PM⊥x軸于點M，點N是y軸上一動點，連接PN、MN。已知△PMN的面積為6。

（1）k的值為（ ）。

A.6 B.-6 C.12 D.-12

（2）這個函數的圖像位于哪些象限？y隨x的增大怎樣變化？

（3）若點P（x1，y1）、Q（x2，y2）在這個反比例函數的圖像上，且x1＜x2，試比較y1與y2的大小。

【錯解】（1）選A或B或C；（2）這個函數的圖像位于第二、四象限，y隨x的增大而增大；（3）y1＜y2。

【錯因剖析】（1）錯選A，是誤認為k就是△PMN的面積；錯選B，是在A的基礎上考慮了反比例函數在第二象限，k是負數；錯選C，是雖然理解了k與△PMN的面積的關系，但忽視了反比例函數在第二象限時，k是負數這一要求。

（2）反比例函數的圖像是雙曲線，此題k=-12，雙曲線的兩支分別在第二、四象限，在每一個象限內，y隨x的增大而增大。性質中，“在每一個象限內”容易被忽略，而它不可缺少，否則將出現錯誤。例如，反比例函數y=[-12x]，當x=-2時，y=6；當x=2時，y=-6，y隨x的增大而減少，這與性質不符，原因就是（-2，6）和（2，-6）不在同一象限內。

（3）出現錯誤是因為忽視了反比例函數增減性中“在每一個象限內”的要求，對于x1＜x2這一條件缺少分類討論，從而導致錯誤。

【正解】（1）∵PM⊥x軸于點M，

∴PM∥y軸。

∴△PMN底邊PM上的高就是平行線間的距離。

又∵△PMN的面積為6，

∴[k]=2×6=12。

又∵圖像在第二象限，∴k=-12。

故選D。

（2）∵k=-12，

∴y=-[12x]的圖像在第二、四象限，在每一個象限內，y隨x的增大而增大。

（3）當x1＜x2＜0或0＜x1＜x2時，則y1＜y2；當x1＜0＜x2時，則y2＜y1。

例4 已知二次函數y=-x2+bx+c的圖像經過點（2，3）、（3，0）。

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）當-1＜x＜2時，y的取值范圍為 。

【錯解】（1）略。

（2）由（1）得y=-x2+2x+3。當x=-1時，y=0；當x=2時，y=3，∴0＜y＜3。

【錯因剖析】上述解法在已知自變量的取值范圍時，采用臨界值代入計算，忽視了二次函數的對稱性、增減性和頂點坐標的性質。

【正解】（1）易得y=-x2+2x+3；（2）畫出y=-x2+2x+3的圖像，如圖2所示，頂點坐標是（1，4），觀察圖像可知當-1＜x＜2時，y的取值范圍為0＜y≤4。

【總結】函數主要研究其圖像、性質和應用，在給定自變量x的取值范圍時，求y的取值范圍，先代入臨界值計算，然后根據函數圖像的增減性進行判斷，其中反比例函數要考慮所在的象限，二次函數要考慮頂點坐標，避免產生錯誤。

三、忽視函數圖像與方程不等式的聯系而出錯

例5 如圖3，將二次函數y=（x+1）2

-4的圖像在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖像的其余部分不變，即得到y=[（x+1）2-4]的圖像。根據圖像，若關于x的方程[（x+1）2-4]=k有四個不相等的實數根，則k的取值范圍是 。

【錯解】∵二次函數頂點坐標是（-1，4），∴k＜4。

【錯因剖析】只分析了二次函數的頂點坐標，而對于問題中方程“有四個不相等的實數根”沒有正確理解。應利用數形結合的思想從函數的視角去分析，將方程問題轉化為函數圖像的交點問題。

【正解】由題意得y=[（x+1）2-4]的圖像與y=k的圖像有四個交點，由函數圖像可知，0＜k＜4。

【總結】熟練掌握函數圖像及其性質，利用兩個函數的交點和圖像的直觀性解決方程和不等式相關聯的問題。

（作者單位：江蘇省六合高級中學附屬初級中學）