悟數想形 歸本求真

教材中的例題是學習之“源”?；诮滩睦}或習題進行組合、加工、深化，能得到很多有思維深度的問題。因此，同學們要重視自己的學習過程，多思考教材中的例題變式或習題變式，提升數學思維能力。下面以蘇科版數學九年級下冊第25頁的例題為例，談談例題的學習與拓展。

【原題呈現】不畫圖像，判斷二次函數y=-x2+5x-8的圖像與x軸是否有公共點。

【分析】本題考查的是根據二次函數相對應的一元二次方程的根的有關情況判斷二次函數圖像與x軸的位置關系。首先將已知函數轉化為一元二次方程，再根據根的判別式b2-4ac判斷出方程實數根的個數，從而得出函數圖像與x軸交點的個數。

解：因為方程-x2+5x-8=0的根的判別式b2-4ac=52-4×（-1）×（-8）=-7＜0，所以方程-x2+5x-8=0沒有實數根，即二次函數y=-x2+5x-8的圖像與x軸沒有公共點。

【點評】本題巧妙利用了轉化思想將二次函數圖像問題代數化，把位置關系轉化為數量關系，將復雜問題簡單化。

一、根據二次函數確定函數中參數的值或取值范圍

變式1 已知二次函數y=mx2+3mx+m-1的圖像與x軸有公共點，則實數m的取值范圍為 。

【解析】根據題意，得b2-4ac=（3m）2-4m（m-1）≥0，解得m≤[-45]或m≥0。

又因為函數y=mx2+3mx+m-1為二次函數，所以m≠0。

綜上所述，m≤[-45]或m＞0。

【點評】如何根據二次函數圖像與x軸的交點個數確定函數中參數的取值范圍呢？我們可以先根據拋物線與x軸的交點個數確定根的判別式的取值范圍，再列出關于參數的方程或不等式，最終求出參數的值或取值范圍。

延伸1 已知函數y=mx2+3mx+m-1的圖像與坐標軸恰有兩個公共點，則實數m的值為 。

【解析】①當m=0時，原函數為常函數y=-1，僅與y軸有一個交點。與題意不符，舍去。②當m≠0時，此時原函數為二次函數。因為二次函數y=mx2+3mx+m-1與坐標軸恰有兩個公共點，且任意二次函數都與y軸有且只有一個交點，由此可以判斷二次函數y=mx2+3mx+m-1與x軸只有一個公共點。所以b2-4ac=（3m）2-4m·（m-1）=0，解得m=[-45]或m=0（舍去）。綜上所述，m=[-45]。

【點評】本題與變式1相似，主要存在兩處陷阱：一是當題目中沒有明確指出函數為二次函數時，需要分類討論；二是“與坐標軸的交點”包括“與x軸的交點”和“與y軸的交點”兩種情況，也需要分類討論。解決此類問題時，要仔細讀題，抓住題目所給的關鍵信息。

二、根據二次函數求一元二次方程的解及參數

變式2 如圖1是二次函數y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）的部分圖像，該圖像的對稱軸是直線x=3，點A的坐標為（-1，0），則方程ax2+bx+c=0的解是 。

【解析】由圖可知，點A、B是二次函數y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點，所以ax2+bx+c=0的一個根是x=-1。又因為點B與點A關于直線x=3對稱，所以點B的坐標為（7，0）。所以一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x1=-1，x2=7。

【點評】本題主要考查二次函數圖像與x軸交點坐標和對應的一元二次方程的根的關系，即若二次函數圖像與x軸有交點，那么交點坐標的橫坐標就是對應的一元二次方程的根。本題結合二次函數的對稱性得出點B坐標，即可求解。

延伸2 已知二次函數y=-x2+2mx-m2-1（m為常數）。當自變量x的值滿足-3≤x≤-1時，y的最大值為-5，求m的值。

【解析】二次函數y=-x2+2mx-m2-1的對稱軸為直線x=[-2m-2]=m，所以頂點坐標為（m，-1）。

①若m＞-1，則當-3≤x≤-1時，y隨x的增大而增大。

∴ 當x=-1時，y有最大值-5。

即-m2-2m-2=-5，

解得m1=1，m2=-3（舍去）。

②若-3≤m≤-1，則當x=m時，y有最大值-1，與題意不符，舍去。

③若m＜-3，則當-3≤x≤-1時，y隨x的增大而減小。

∴ 當x=-3時，y有最大值-5。

即-m2-6m-10=-5，

解得m1=-1（舍去），m2=-5。

綜上所述，m的值為1或-5。

【點評】本題主要考查二次函數在給定自變量范圍內，已知函數的最（大或小）值求參數的取值范圍。本題屬于典型的“定區間動軸”題型，由于對稱軸中含參數，無法確定對稱軸位置，所以需要分類討論。我們可以結合函數的單調性判斷出最大值所對應的自變量的值，最后通過求解相應的方程得出答案。

【總結】我們知道，二次函數y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）與x軸的交點的橫坐標實際上就是對應的一元二次方程ax2+bx+c=0的根，二次函數與x軸的交點的個數與一元二次方程的根的個數緊密聯系。其實，二次函數y=ax2+bx+c與x軸的交點問題就是探究二次函數y=ax2+bx+c與直線y=0之間的關系。我們還可以深層次地思考二次函數y=ax2+bx+c與直線y=m之間的關系，甚至是與直線y=mx+n的關系，從特殊到一般，再到更一般，系統地把握兩者之間的聯系，內化成與之相關的結構性思維就能使問題化難為易。

（作者單位：江蘇省南京市致遠初級中學）