一次函數與反比例函數的“相交情誼”

數學教材中的例題都是編者精心遴選設計的，具有代表性。下面以蘇科版數學八年級下冊第131頁的例題為例，談談例題的學習與拓展（例題解決過程見教材）。

例題 已知反比例函數y=[kx]的圖像與一次函數y=x+1的圖像的一個交點的橫坐標是-3。

（1）求k的值，并畫出這個反比例函數的圖像；

（2）根據反比例函數的圖像，指出當x＜-1時，y的取值范圍。

【點評】例題主要是根據反比例函數的圖像特征，分析反比例函數的類型，進而根據條件確定函數表達式。第（2）問要結合函數的圖像，利用數形結合的方法求解。

結合例題的已知信息，我們還可以繼續思考，解決其他問題。

延伸思考 （3）根據圖像寫出方程x+1=[kx]的解；

（4）當x取什么值時，反比例函數y=[kx]的值大于一次函數y=x+1的值？

（5）將兩個函數圖像的交點記作A、B，連接OA、OB，求△AOB的面積。

【解析】（3）同學們可以先畫出y=x+1的圖像，由圖像得兩個函數圖像的兩個交點坐標分別是（-3，-2）和（2，3），所以方程的解是x=-3或x=2。

（4）由函數圖像知，x＜-3或0＜x＜2。

（5）令y=x+1與y軸的交點為C。把x=0代入y=x+1，得y=1，

∴OC=1。

∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=[12]OC× [-3] +[12]OC×2=[52]。

變式1 如圖1，一次函數y1=kx+b（k≠0）與函數為y2=[mx]（x＞0）的圖像交于A（4，1）、B（[12]，a）兩點。點P在線段AB上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數y2的圖像于點Q，若△POQ的面積為3，求點P的坐標。

【解析】把A（4，1）代入y2=[mx]，得m=4，即y2=[4x]；再把B（[12]，a）代入y2=[4x]，得a=8，即B（[12]，8）；再將A（4，1）、B（[12]，8）兩點坐標代入y1=kx+b，得[1=4k+b，8=12k+b，]解得[k=-2，b=9，]所以y1=-2x+9。∵點P在線段AB上，∴設P（p，-2p+9）且[12]≤p≤4。由題意知Q（p，[4p]），∴PQ=-2p+9-[4p]?！郤△POQ=[12]（-2p+9-[4p]）·p=3，解得p1=[52]，p2=2?！帱cP的坐標為（[52]，4）或（2，5）。

變式2 已知反比例函數y=[kx]（k≠0）在第一象限內的圖像與一次函數y=-x+b的圖像如圖2，則函數y=x2-bx+k-1的圖像可能為（ ）。

A." "B.

C." "D.

【解析】根據反比例函數y=[kx]與一次函數y=-x+b的圖像，可知k＞0，b＞0。所以函數y=x2-bx+k-1的圖像開口向上，對稱軸為直線x=[b2]＞0。由兩個交點為（1，k）和（k，1），得k-b=-1，b=k+1。根據反比例函數k的幾何意義可得k＞1，從而得函數y=x2-（k+1）x+k-1，即y=x2-x+k（1-x）-1。當x=1時，y=-1，即圖像經過點（1，-1）。由k＞1得k-1＞0，所以圖像不過原點。符合以上條件的只有A選項。

（作者單位：江蘇省南京市科利華中學棠城分校）