關(guān)注圖像信息 探尋解題思路

數(shù)學(xué)中考題對于函數(shù)的考查往往聚焦于函數(shù)的圖像。我們可以通過對函數(shù)圖像的直觀想象，邏輯推理，挖掘出更多的內(nèi)涵條件，進(jìn)而解決綜合型、應(yīng)用型的函數(shù)問題。下面以2023年江蘇省泰州市的中考題為例，談?wù)勅绾侮P(guān)注圖像信息，解決問題。

某公司的化工產(chǎn)品成本為30元/千克。銷售部門規(guī)定：一次性銷售1000千克以內(nèi)時，以50元/千克的價格銷售；一次性銷售不低于1000千克時，每增加1千克降價0.01元。考慮到降價對利潤的影響，一次性銷售不低于1750千克時，均以某一固定價格銷售。一次性銷售利潤y（元）與一次性銷售量x（千克）的函數(shù)關(guān)系如圖1所示。

（1）當(dāng)一次性銷售800千克時，利潤為多少元？

（2）求一次性銷售量在1000～1750kg之間時的最大利潤；

（3）當(dāng)一次性銷售多少千克時，利潤為22100元？

【分析】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的實際應(yīng)用。圖像反映了一次性銷售利潤y（元）與一次性銷售量x（千克）的函數(shù)關(guān)系，呈現(xiàn)出三段不同的函數(shù)。因此，我們在解決問題時要關(guān)注不同范圍內(nèi)的銷售利潤和銷售量之間的關(guān)系，注意分類討論。

解：（1）當(dāng)x=800時，y=800×（50-30）=16000。

∴當(dāng)一次性銷售800千克時，利潤為16000元。

（2）設(shè)一次性銷售量在1000～1750kg

之間時，每千克商品銷售利潤為50-30-0.01·（x-1000）=-0.01x+30。

∴y=x（-0.01x+30）=-0.01x2+30x

=-0.01（x-1500）2+22500。

∵-0.01＜0，1000≤x≤1750，

∴當(dāng)x=1500時，y有最大值，最大值為22500。

∴一次性銷售量在1000～1750kg之間時的最大利潤為22500元。

（3）①當(dāng)一次性銷售量在1000～1750kg之間時，利潤為22100元，

∴-0.01（x-1500）2+22500=22100。

解得x1=1700，x2=1300。

②當(dāng)一次性銷售不低于1750kg時，均以某一固定價格銷售，設(shè)此時函數(shù)表達(dá)式為y=kx（k≠0）。

由（2）知，當(dāng)x=1750時，y=-0.01（1750

-1500）2+22500=21875。

∴B（1750，21875）。

將點B（1750，21875）代入y=kx，得k=12.5。

∴y=12.5x。

當(dāng)y=22100時，22100=12.5x。

解得x=1768。

綜上，當(dāng)一次性銷售1300kg或1700kg或1768kg時，利潤為22100元。

【點評】如圖2，在解決函數(shù)的應(yīng)用這一類問題時，我們應(yīng)結(jié)合題目條件和函數(shù)圖像所給信息，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并建立函數(shù)模型，通過解決函數(shù)問題進(jìn)而解決實際問題。在此過程中，應(yīng)充分借助模型思想，增強應(yīng)用意識。

對于函數(shù)類問題，同學(xué)們只要充分關(guān)注函數(shù)圖像信息，認(rèn)真分析，與題意整合，關(guān)聯(lián)，充分挖掘題目中的條件，相信一定能水到渠成。

（作者單位：江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級中學(xué)）