把握圖形特征 厘清圖形關系

專題復習 三角形和四邊形

領" 銜" 人：施曉丹

組稿團隊：江蘇省常熟市鄉村初中數學骨干教師培育站

在三角形與四邊形這一部分內容中，我們從一般到特殊，學習了三角形、特殊三角形（等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形）、平行四邊形、特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的定義、性質、判定，在解決相關問題時要把握圖形特性，厘清圖形關系。

一、結合整體與局部，把握圖形性質

例1 出入相補原理是我國古代數學的重要成就之一，最早是由三國時期數學家劉徽創建。“將一個幾何圖形任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內容之一。如圖1，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，對角線AC與BD交于點O，點E為BC邊上的一個動點，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分別為點F、G，則EF+EG= 。

【解析】本題先介紹“出入相補法”，啟發我們關注圖形的面積。如圖2，連接OE，根據矩形性質，得BO=CO=[12]BD=[132]，所以S△BOC=S△COE+S△BOE=[12]CO·EF+[12]BO·EG=[12]BO·（EF+EG），如此只需再求出△BOC的面積即可。這里有兩種思路：一是過點C作CH⊥BD于點H，根據面積相等，得CH=[BC·CDBD]=[12×513]=[6013]，又因為S△BOC=[12]BO·CH=[12]BO·（EF+EG），所以EF+EG=CH=[6013]；二是由矩形知AO=CO，得S△AOB=S△BOC，同理可得S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD=[14]S矩形ABCD=[14]×12×5=15，即S△BOC=[12]BO·（EF+EG） =15，解得EF+EG=[6013]。

【點評】研究圖形性質，既要有整體的眼光，又要著眼于具體的幾何元素。從整體看，考慮圖形的對稱性，圖形間的全等、相似等關系；從局部看，考慮圖形的邊、角、對角線、高等元素之間的數量和位置關系。此題求△BOC面積的兩種方法，一種著眼于底和高，一種是基于整體。

二、關聯定義與性質，理解圖形概念

例2 對于平面內的一個四邊形，若存在點O，使得該四邊形的一條對角線繞點O旋轉一定角度后能與另一條對角線重合，則稱該四邊形為“可旋四邊形”，點O是該四邊形的一個“旋點”。例如，在矩形MNPQ中，對角線MP、NQ相交于點T，則點T是矩形MNPQ的一個“旋點”。

（1）若菱形ABCD為“可旋四邊形”，其面積是4，則菱形ABCD的邊長是 ；

（2）如圖3，四邊形ABCD為“可旋四邊形”，邊AB的中點O是四邊形ABCD的一個“旋點”，求∠ACB的度數；

（3）如圖4，在四邊形ABCD中，AC=BD，AD與BC不平行。四邊形ABCD是否為“可旋四邊形”？請說明理由。

【解析】（1）根據“可旋四邊形”定義，該四邊形對角線相等，由對角線相等的菱形是正方形，可得四邊形ABCD是正方形。由于其面積是4，則邊長為2。

（2）如圖5，連接OC，根據四邊形ABCD是“可旋四邊形”，O為“旋點”，可得OC=OB=OA，故∠OCB=∠OBC，∠OCA=∠OAC。因為∠OCB+∠OBC+∠OCA+∠OAC=180°，即2（∠OCB+∠OCA）=180°，所以∠ACB=90°。

（3）如圖6，根據定義，若四邊形ABCD為“可旋四邊形”，則存在點O，使得OA=OD，OC=OB，∠AOD=∠BOC，故點O在AD和BC的垂直平分線上。由于AD與BC不平行，則AD和BC的垂直平分線有唯一交點，此時△AOC≌△DOB（SSS），從而∠AOC=∠BOD，所以∠AOD=∠BOC，故四邊形ABCD是“可旋四邊形”。

【點評】本題為新定義閱讀理解題，3個問題都抓住了“可旋四邊形”定義，根據旋轉性質，得到相等的線段與角，進一步利用三角形相關知識進行解決。第（3）題需要運用逆向思維，先假設這是“可旋四邊形”，再對圖形性質進行推理，找出旋點位置，這與尺規作圖的思路類似。

三、區分共性與差異，梳理圖形關系

例3 小惠自編一題：“如圖7，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD，OB=OD。求證：四邊形ABCD是菱形?！彪S后，小惠將自己的證明過程與同學小潔交流。

小惠：

證明：因為AC⊥BD，OB=OD，

所以AC垂直平分BD。

所以AB=AD，CB=CD。

所以四邊形ABCD是菱形。

小潔：這個題目還缺少條件，需要補充一個條件才能證明。

你贊成誰呢？若贊成小潔的說法，試補充一個條件，并證明。

【解析】我贊成小潔的說法。根據“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”，在已知AC⊥BD、OB=OD的條件下，需添加一個條件使四邊形ABCD是平行四邊形，最簡便的是添加AO=CO。

證明：∵OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形。又∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形。

本題添加∠DAC=∠ACB或AB∥CD也可以，同學們不妨自己嘗試證明。如果結合垂直平分線性質，可以根據“四邊相等的四邊形是菱形”，添加AB=BC或AD=CD。

【點評】本題知識層面考查菱形的判定、垂直平分線性質等，具有一定的開放性。矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的一切性質。同時它們又是平行四邊形的特例，具有自己的特性，判定所需的條件也在不斷強化。

平行四邊形、矩形、菱形、正方形從定義的角度來看，它們之間的關系與我們之前學習的三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形之間的關系類似。從本文例題也可以看出，有的問題以特殊四邊形為背景，利用其性質，還能夠得到直角三角形、等腰三角形、有特殊關系的三角形等，進一步利用三角形相關知識解決問題，體現了化繁為簡的思想。

（作者單位：江蘇省常熟市常清中學）