注重本質(zhì)，探究方法，解決問題

近幾年，折疊問題已經(jīng)成為中考的熱點(diǎn)問題，題型靈活多變，設(shè)計(jì)層出不窮。解決這類問題的關(guān)鍵是抓住折疊的本質(zhì)：軸對稱變換。下面，我們從特殊三角形中的折疊問題出發(fā)，一起探究解決這類問題的方法。

一、直角三角形中的折疊問題

例1 如圖1，三角形紙片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3。沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與AC的交點(diǎn)為E，則AE的長是（ ）。

A.[136] B.[56] C.[76] D.[65]

【解析】由軸對稱性質(zhì)，得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE。

∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°。

∴∠ADB+∠CDE=90°。

∴∠ADE=90°。

∴AD2+DE2=AE2。

設(shè)AE=x，

則CE=DE=3-x。

∴22+（3-x）2=x2。解得x=[136]。

∴AE=[136]。故選A。

【點(diǎn)評】本題考查直角三角形中的折疊問題，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)，通過勾股定理列出方程，從而解決問題。

二、 等腰三角形中的折疊問題

例2 如圖2，在三角形紙片ABC中，AB=AC，∠B=20°，點(diǎn)D是邊BC上的動點(diǎn)，將三角形紙片沿AD對折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，當(dāng)B′D⊥BC時(shí)，∠BAD的度數(shù)為 。

【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)B′在直線BC的下方時(shí)，如圖3。

∵B′D⊥BC，∴∠BDB′=90°。

∴∠ADB′+∠ADB=360°-90°=270°。

由軸對稱性質(zhì)，得

∠ADB′=∠ADB=[12]×270°=135°。

∵∠B=20°，

∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-20°-135°=25°。

（2）當(dāng)點(diǎn)B′在直線BC的上方時(shí)，如圖4。

∵B′D⊥BC，∴∠BDB′=90°。

由軸對稱性質(zhì)，得

∠ADB′=∠ADB=[12]×90°=45°。

∵∠B=20°，

∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-20°-45°=115°。

【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形中的折疊問題，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，正確地求出∠ADB的度數(shù)是解題的關(guān)鍵。

三、 等邊三角形中的折疊問題

例3 如圖5為一張等邊三角形紙片ABC，其中點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上。以DE為折線將點(diǎn)B往右折后，BD、BE分別與AC相交于點(diǎn)F、G，如圖6所示。若AD=10，AF=16，DF=14，BF=8，則CG的長度為（ ）。

A.7 B.8 C.9 D.10

【解析】∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=60°，AB=AC。

∵∠AFD=∠BFG，∴△AFD∽△BFG。

∴[FDFG]=[AFBF]，即[14FG]=[168]。∴FG=7。

∵AD=10，DF=14，BF=8，

∴AC=AB=AD+DF+BF=32。

∴CG=AC-AF-FG=9。

【點(diǎn)評】本題考查等邊三角形中的折疊問題，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)，利用兩對角相等證明△AFD∽△BFG，從而得到對應(yīng)邊成比例，求出FG的長度。

（作者單位：江蘇省常熟市昆承中學(xué)）