巧借錯題，提質增效

在初中數學中，三角形、四邊形這些直線型圖形一直是重要的學習內容，是幾何學習的基礎，涉及定義、性質、判定和圖形之間的關系等大量的知識點。同學們在解題過程中往往會由于知識點掌握不牢、考慮不全面、思維定式等造成錯解。現結合相關易錯題型進行分析，供大家參考，希望同學們能巧借錯題，提質增效。

一、概念不清導致錯誤

例1 如圖1，在?ABCD中，點E、F分別在AB、CD的延長線上，且BE=DF，連接EF與AC交于點M，連接AF、CE。求證：△AEM≌△CFM。

【錯解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，AB=DC，AM=CM。

∴∠EAM=∠FCM。

∵BE=DF，

∴AB+BE=CD+DF，即AE=CF。

在△AEM和△CFM中，[AM=CM，∠EAM=∠FCM，AE=CF，]

∴△AEM≌△CFM（SAS）。

【剖析】錯解誤用了平行四邊形對角線互相平分的性質。AC是?ABCD的對角線，EF是四邊形AECF的對角線，它們不是同一個平行四邊形的對角線，不具備平行四邊形的性質特征。

【正解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，AB=DC。

∴∠EAM=∠FCM。

∵BE=DF，

∴AB+BE=CD+DF，即AE=CF。

在△AEM和△CFM 中，[∠AME=∠CMF，∠EAM=∠FCM，AE=CF，]

∴△AEM≌△CFM（AAS）。

二、考慮不全導致漏解

例2 如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，點M是邊AD上一點（點M不與點A、D重合），連接CM，將△CDM沿CM翻折得到△CNM，連接AN、DN。當△AND為等腰三角形時，DM的長為 。

【錯解】當AN=DN時，過點N作NH⊥AD于點H，延長HN交BC于點G，如圖3。

設DM=x。

∵AN=DN，NH⊥AD，

∴AH=DH=3。

∴MH=DH-DM=3-x。

易證四邊形CDHG為矩形，

∴CG=DH=3，GH=CD=5。

∵△CDM沿CM翻折得到△CNM，

∴CN=CD=5，NM=DM= x。

在Rt△CGN中，CN=5，CG=3，由勾股定理，得NG=4。

∴NH=GH-NG=5-4=1。

在Rt△MNH中，MH=3-x，NH=1，NM=x，由勾股定理，得（3-x）2+12=x2，∴x=[53]。

∴DM的長為[53]。

【剖析】此題是一道動點問題，點M在AD上移動，會使得△AND兩邊的長度發生變化。條件要求△AND為等腰三角形，我們應考慮分類討論，不能只考慮一種情況。

【正解】當AN=DN時，如圖3，由上述求解過程，可得DM的長為[53]。

當DN=AD時，則DN=6，如圖4。

設MT=x。

∵△CDM沿CM翻折得到△CNM，

∴CN=CD=5，DM=NM，DT=NT=3，CM⊥DN。

在Rt△CDT中，CD=5，DT=3，由勾股定理，得CT=4。

在Rt△CDM中，DM2= CM2-CD2；

在Rt△TDM中，DM2=DT2+MT2，

∴（x+4）2-52=x2+32。∴x=[94]。

∴Rt△TDM中，DM=[154]。

∴DM的長為[154]。

當AD=AN時，點M與點A重合，舍去。

綜上所述：DM的長為[53]或[154]。

【點評】此題主要考查矩形的性質、等腰三角形的性質、圖形的翻折及性質、勾股定理等。熟練掌握矩形的性質、圖形的翻折及性質是解題的關鍵，分類討論是解題的難點，漏解是易錯點。

三、思維定式導致錯誤

例3 如圖5，AC是菱形ABCD的對角線，∠ABC=120°，點E、F是AC上的動點，且EF=[14]AC，若AD=2，則DE+BF的最小值為（ ）。

A.[152] B.[172] C.2 D.[192]

【錯解】選C。

【剖析】部分同學受思維定式的影響，誤認為DE、BF已經在AC的兩側，要求兩條線段之和最短，直接連接BD，使B、E、F、D共線（如圖6），求出BD的長即為最小值。

【正解】如圖7，連接BD交AC于點O，以EF、BF為鄰邊作平行四邊形BFEG，

∴EF=BG，BF=GE。

∴DE+BF=DE+EG≥DG。

∵∠ABC=120°，AD=2，

根據菱形性質，可知∠DAB=60°，BD=2， OD=1，AC⊥BD，

∴OA=[3]，AC=[23]。

∴EF=BG=[14]AC=[14]×[23]=[32]。

∴在Rt△BDG中，DG=[GB2+DB2]=[（32）2+22]=[192]。

∴DE+BF的最小值為[192]。

故選D。

【點評】本題考查了軸對稱圖形中的最短路線問題。求線段之和的最小值，一般是對稱后直接共線，但如果兩條線段沒有公共點，我們應先將其中一條線段進行平移，再考慮共線。同學們一定要仔細審題，切不可形成思維定式。

（作者單位：江蘇省常熟市實驗中學）