逐層推進破難點 變式拓展促思維

我們在平時的學習過程中，應努力培養自己的發現意識和創新能力，以便在考場上更好地解決問題。一題多解，多題一解，都是很好的學習方法。下面，我們來看教材上的一道原題。

原題呈現 （蘇科版數學八年級下冊第94頁19題）在正方形ABCD中：

（1）如圖1，如果點E、F分別在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足為M，那么AE與BF相等嗎？證明你的結論。

（2）如圖2，如果點E、F、G分別在BC、CD、DA上，且GE⊥BF，垂足為M，那么GE與BF相等嗎？證明你的結論。

（3）如圖3，如果點E、F、G、H分別在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足為M，那么GE與HF相等嗎？證明你的結論。

【解析】第（1）問中，可以通過同角的余角相等得到∠BAE=∠MBE，然后通過“ASA”證得△ABE≌△BCF，從而得到AE=BF。第（2）問中，可以把GE平移到AE′的位置，如圖4，從而用（1）的方法來證明。第（3）問可以和第（2）問作同樣的平行線段，構成平行四邊形，如圖5，從而得證。

【點評】這道題設置第（1）問的目的在于喚醒同學們關于全等三角形相關知識的經驗，使得我們能在做第（2）問、第（3）問時自覺添加輔助線，構造出常見的基本模型，感受到可以利用正方形的特殊性證明兩個三角形全等，利用線段特殊的位置關系得到數量關系。那么，由線段特殊的數量關系是否能得到位置關系呢？兩者之間是否有對應關系呢？我們看變式1。

變式1 在正方形ABCD中，如圖6，如果點E、F分別在BC、CD上，且BE=CF，那么AE與BF的位置關系是什么？數量關系是什么？證明你的結論。

【解析】可通過“SAS”證得△ABE≌△BCF，得到AE=BF，∠BAE=∠FBC。所以∠BAE+∠ABF=∠FBC+∠ABF=∠ABE=90°。所以AE⊥BF。

【點評】通過這道題，我們進一步體驗了線段數量關系和位置關系之間的聯系，而此類問題在中考題中也常常出現，請看變式2。

變式2 （2022·貴州貴陽）如圖7，在正方形ABCD中，E為AD上一點，連接BE，BE的垂直平分線交AB于點M，交CD于點N，垂足為O，點F在DC上，且MF∥AD。

（1）求證：△ABE≌△FMN；

（2）若AB=8，AE=6，求ON的長。

【解析】第（1）問中，先證四邊形AMFD為矩形，得到∠A=∠MFN=90°，AB=AD=MF；又通過∠BMO的余角相等，得到∠FMN=∠MBO，從而證得△ABE≌△FMN（ASA）。第（2）問中，由∠MOB=∠A=90°，∠ABE是公共角，得△BOM∽△BAE，得到OM=[154]；由（1）中的全等，得到NM=BE=10，得到ON=MN-MO=[254]。

【點評】在這類基本圖形中，MN和BE之間存在著數量和位置上的對應關系，我們在做題時應該牢牢抓住其中的關系。

拓展1 如圖8，已知正方形ABCD的邊長為1，點E、F分別在邊BC、CD上，且CE=DF。連接BF、AE。

（1）求證：BF=AE；

（2）如果將線段AE繞點E順時針旋轉90°，使得點A落在點G處，連接FG。設CE=x。①試用含x的代數式表示四邊形BFGE的面積；②當CF和EG互相平分時，求x的值。

【解析】第（1）問用“SAS”證得△ABE

≌△BCF，得到BF=AE。第（2）問的①如圖9所示，可證BF∥EG，BF=GE，從而得到四邊形BFGE為平行四邊形，得到BE=1-x=CF，所以S四邊形BFGE=BE×CF=（1-x）2；②中當CF和EG互相平分時，四邊形CEFG為平行四邊形，可知GF∥CE，所以只有當GF=CE，即GF=EB=CE時，四邊形CEFG為平行四邊形，從而得到x=1-x，解得x=[12]。

【點評】第（1）問的解答是比較輕松的；第（2）問由于沒有圖，有的同學可能就有點無從下手了，這時，我們就要根據題意畫出圖形，再根據圖形性質找到等量關系列出方程。

拓展2 如圖10，已知正方形的邊長為8，點E、F分別在邊AD、CD上運動，且AE=DF，AF與BE交于點P，連接DP，求DP的最小值。

【解析】由上面的變式1可以得到∠APB=∠APE=90°。在Rt△APB中，斜邊AB的長度是定值，可聯想到直角三角形中的重要知識“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，由“到定點的距離等于定長的點的集合是圓”逐步發現“點P的運動路徑是以AB中點為圓心，AB的一半為半徑的圓弧”的本質，起點是A，終點是AC、BD的交點，如圖11。在知道了點P的運動路徑后，點D就是圓弧路徑外的定點，可以聯想到“圓外一點到圓上點的最近距離和最遠距離”的基本模型，從而可以得到DP的最小值為DP=DG-GP=[45]-4。

【點評】這道題有一定的難度，解題的關鍵是要找到點P的運動路徑，在畫出路徑圖后，能直觀地找到DP的最小值。我們還可以想一想，如果連接CP，那么CP的最小值又應該如何求呢？（提示：當點P運動到AC、BD交點時，CP的值最小。）

（作者單位：江蘇省常熟市莫城中學）