善思變 變則通

我們常說“數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活”，其實(shí)中考題是“來源于教材，又高于教材”。下面我們從教材的原題出發(fā)，漫步到中考題，一起讀懂四邊形的“折疊”。

原題呈現(xiàn) 【蘇科版數(shù)學(xué)八年級下冊第95頁21題（1）】在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8。 將矩形紙片沿BD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處（如圖1），設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)F，求BF的長。

解：設(shè)BF=x。由題意，得∠FDB=∠ADB=∠DBF。于是DF=BF，F(xiàn)C=BC-BF=8-x。在Rt△DFC中，由勾股定理得62+（8-x）2=x2，解得x=6.25。

【點(diǎn)評】本題主要考查四邊形折疊求長度的問題，這也是中考常見的題型。主要涉及的方法是勾股定理，值得我們關(guān)注的是：①用于勾股定理的直角三角形一般是折疊產(chǎn)生的直角三角形，且它的三邊均能由已知條件來表示；②設(shè)未知數(shù)來表示圖中線段時(shí)，一般來說，我們的原則是“問什么，就設(shè)什么”，而用x表示線段長度這一步驟的核心就是要明確圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系。

變式1 （2023·江蘇揚(yáng)州）如圖2，已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿著EF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)B′處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3∶5，那么線段CF的長為 。

【分析】這是一道正方形折疊問題，我們可以沿用“原題”中提及的思想方法：第一步，設(shè)CF=x；第二步，鎖定折疊產(chǎn)生的Rt△B′FC。接下來，我們要做的，就是根據(jù)條件想辦法，用x表示Rt△B′FC中各邊的長度，然后依據(jù)勾股定理列方程求解即可。

解：如圖3，連接BB′，過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，則∠AHF=∠DHF=90°。

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°。從而四邊形ABFH和四邊形DCFH均為矩形。

∵正方形ABCD的邊長為1，四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3∶5，

∴S四邊形ABFE=[38]×1=[38]。

設(shè)CF=x，則DH=x，BF=1-x。

∴S四邊形ABFE=[12]（AE+BF）×AB=[38]，

即[12]（AE+1-x）×1=[38]。

∴AE=x-[14]。∴DE=1-AE=[54]-x。

∴EH=ED-HD=[54]-x-x=[54]-2x。

∵沿EF折疊，∴BB′⊥EF。

∴∠1+∠2=90°。

∵四邊形ABFH是矩形，

∴∠BFH=∠2+∠3=90°。∴∠1=∠3。

又∵FH=BC=1，∠EHF=∠C，

∴△EHF≌△B′CB（ASA）。

∴B′C=EH=[54]-2x。

在Rt△B′FC中，B′F2=B′C2+CF2，則（1-x）2=x2+（[54]-2x）2。解得x=[38]，即CF=[38]。

【點(diǎn)評】本題“高于”教材原題的地方在于圖中的線段關(guān)系更為復(fù)雜：一方面，要根據(jù)已知的“面積”條件得到四邊形ABFE（或四邊形EFCD）的面積，從而找到AE與BF的關(guān)系（或者DE與CF的關(guān)系）；另一方面，需要結(jié)合折疊性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，通過證明三角形全等得到EH與B′C是相等的，最終才能在Rt△B′FC中順利運(yùn)用勾股定理建立方程求解。

變式2 （2023·江蘇無錫）如圖4，四邊形ABCD是邊長為4的菱形，∠A=60°，點(diǎn)Q為CD的中點(diǎn)，P為線段AB上的動點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形PBCQ沿PQ翻折得到四邊形PB′C′Q。當(dāng)∠QPB=45°時(shí)，求四邊形BB′C′C的面積。

【分析】這是一道菱形折疊問題，雖然是求四邊形BB′C′C的面積，但由折疊性質(zhì)可知，BB′與CC′均與PQ垂直，所以四邊形BB′C′C實(shí)為梯形，本質(zhì)還是要求線段長度。另外，我們看到，題目所給圖形是不符合∠QPB=45°這個(gè)條件的，因此我們首先要自己畫出示意圖，這是難點(diǎn)之一。我們還要看到這道題與“原題”的不同：由于圖形變成了菱形，在原圖中，我們無法看到折疊產(chǎn)生的直角三角形，因此，我們必須深挖圖中的直角三角形在哪。如，我們連接BD、BQ，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及特殊角60°，可得△BDC為等邊三角形，而點(diǎn)Q為中點(diǎn)，因此BQ⊥DC；又如，折疊產(chǎn)生了45°角，那么∠B′PB=90°。這樣，用于計(jì)算邊長的直角三角形就找到了。

解：根據(jù)題意作出圖5，連接BD、BQ，延長PQ交CC′于點(diǎn)F。

∵四邊形ABCD為菱形，

∴CB=CD=4，∠A=∠BCD=60°。

∴△BDC為等邊三角形。

∵Q為CD中點(diǎn)，∴CQ=2，BQ⊥CD。

∴BQ=[23]，QB⊥PB。

∵∠QPB=45°，

∴△PBQ為等腰直角三角形。

∴PB=[23]，PQ=[26]。

∵沿PQ翻折，∴PE⊥BB′，∠B′PQ=∠BPQ=45°，PB′=PB=[23]。∴∠BPB′=90°。∴BB′=[26]，PE=[6]。

同理：由CQ=C′Q=2，∠FQC=∠QPB=45°，知△CQC′為等腰直角三角形，且QF⊥CC′。∴CC′=[22]，QF=[2]。∴EF=PQ+QF-PE=[26]+[2]-[6]=[6]+[2]。

∵沿PQ翻折，∴PF⊥BB′，PF⊥CC′。∴BB′∥CC′。∴四邊形BB′C′C是梯形。

∴S四邊形BB′C′C=[12]（BB′+CC′）·EF=[12]×（[26]+[22]）×（[6]+[2]）=8+[43]。

【點(diǎn)評】本題“高于”教材題的地方在于：一是我們要通過想象和分析，將折疊圖形可視化，也就是自己畫出示意圖，有了直觀的圖形，我們才能更好地解決問題；二是本題折疊的是菱形，本身不帶直角，所以我們在圖中要找出直角三角形，從而利用勾股定理來求出線段的長度。

（作者單位：江蘇省常熟市東張中學(xué)）