核心素養導向下的合情推理能力考查分析

方佩佩

摘要：本文從核心素養出發，提出合情推理能力對學生創新意識的培養具有推動的作用.學生的創新能力想要得到提升，合情推理能力的培養須放在首位.

關鍵詞：核心素養；合情推理；高考；能力考查

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）12-0053-03

合情推理是指通過對已經發生的事實觀察、分析、比較等，提出合理的猜想，進行深入的推理.在核心素養的培育階段，要強化合情推理能力，并將其作為問題解決中猜測、探索和發現結論的思維方式的關鍵，這種思維訓練對培養學生的創新意識有著推動作用.正因為合情推理能力的重要性，對合情推理能力的考查成為近幾年數學新課程高考的熱點.合情推理劃分為歸納推理與類比推理[1]，本文將對有關合情推理能力的考題做出分類分析與思考.

1 歸納推理的考查分析

由特殊到一般，是歸納推理的一個特征，它要求我們要透過“現象”看“本質”.一般地，“求同存異”“先粗后精”“逐步細化”等技巧，是解答歸納推理題的基礎技巧.

例1（2010高考福建卷文科第16題）在一次學習過程中，某位同學找出了值為相同常數的五個不同式子：

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°;

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°;

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°;

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°）cos48°;

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin（-25°）cos55°;

（Ⅰ）選擇其中任何一個式子，通過計算得出常數的值；

（Ⅱ）結合（Ⅰ）求出的具體值，進一步拓展到一般的三角恒等式，并證明.

評析這道題主要考查的是學生的歸納推理能力，也是福建省數學高考歷史上第一次直接考查研究性學習內容的題目，凸顯了核心素養中邏輯推理能力的考查.本題從5個特殊的三角恒等式出發，猜測一般性的三角函數恒等式，讓學生經歷從特殊到一般的思維過程，可歸納猜測：sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=34.

例2（2011年高考江西卷理科第7題）觀察下列各式：55=3 125，56=15 625，57=78 125，…，則52 011的末四位數字為（）.

A.3 125B.5 625C.0 625D.8 125

評析這個問題的主要目的是考查學生的歸納推理能力和對函數周期性的理解，發現末四位數字按3 125，5 625，8 125，0 625，3 125，5 625，8 125，0 625，…，周期性出現，周期為4，2011被4除余3，因此末四位數字為8 125，故選D.

例3（2015年高考山東卷理科第11題）

觀察下列各式：C01=40；

C03+C13=41；

C05+C15+C25=42；

C07+C17+C27+C37=43；

…………

照此規律，當n∈N*時，C02n-1+C12n-1+C22n-1+…+C2n-12n-1=.

評析本題旨在考查考生的歸納推理能力，著重考查他們在觀察、分析、歸納和推理判斷方面的能力.通過歸納推理，可以順利得出答案為4n-1.本題并不算特別困難，但可以清楚地看出合情推理在新課程高考中正逐漸受到重視[2]，由歸納推理得到的結果不一定正確，但具有預測性.

2 類比推理的考查分析

類比推理是一種思維方式，它通過觀察一類對象的某些特征來推斷另一個對象具有相似特征.在學習中，類比推理主要應用于類似數與式、平面與空間、向量與數、不等式與相等性、等差與等比的概念.當今，考試改革開始重視考查類比推理的文化內涵，并將其視為評估學生應用意識、問題分析和解決能力的重要方面之一.

2.1 數與形的類比

在解題時，通過類比數與式是一種有效的方式，在建立坐標系的基礎上，可以通過將圖形轉化為數式或者將數式描述為圖形的方式來解決問題.通過這種數形類比的方式，學生可以將問題變得更加簡單明了，從而開拓思路，提高對問題的認識.

例4對于實數a和b，定義運算“*”：a*b=a2-ab，a≤b，b2-ab，a>b.設fx=2x-1*x-1，且關于x的方程為fx=mm∈R恰有三個互不相等的實數根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是.

評析本題以函數為載體，通過定義一種新的運算“*”，將函數用這種新運算表示出來，主要考查學生類比的能力，運用數與形的類比，巧妙地將求方程根的問題轉化為求函數y=f（x）與函數y=m圖象交點的問題，從而使問題得到解決.

由條件知f（x）=2x2-x，x≤0-x2+x，x>0，該函數圖象如圖1所示，函數y=f（x）與函數y=m有三個交點，不妨設x12x2x3，1-34

2.2 低維與高維的類比

通常情況下，我們將低維到高維的類比理解為從平面到空間的類比.這種類比有多種形式，比如線到面的類比、圓到球的類比、平面角到二面角的類比等.在學習空間問題時，應當多嘗試通過類比與平面中相似的數量關系問題、位置結構等問題來解決.通過類比這些平面問題，我們可以更好地理解和應用到空間問題中.通過這樣的方式激發學生學習數學的潛力，開拓思維視野，找到更多的解決方法，并將已掌握的數學知識聯系在一起.

例5如圖2所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為底面ABCD上的動點，PE⊥A1C于E，且PA=PE，則點P的軌跡是（）.

A.線段B.圓弧

C.橢圓的一部分D.拋物線的一部分

評析本題有部分學生簡單地認為P點滿足到定點A的距離等于其到定直線A1C的距離，因此點P的軌跡是拋物線的一部分.需要注意的是拋物線的定義的前提是在同一平面內，而這里點P和點A與直線A1C并不在同一平面內，因此出現答案錯誤.這里我們應該發現到A1A⊥底面ABCD，而AP平面ABCD，因此A1A⊥AP，又因為PE⊥A1C于E，且PA=PE，點P到∠AA1C兩邊距離相等.從平面到空間的類比告訴我們，當一個點到角的兩邊的距離相等時，它在平面上位于這個角的角平分線上.同樣地，我們可以將這個概念延伸到三維空間中，得出相似的結論：如果一個點到角的兩邊的距離相等，那么這個點應該位于與這個角的兩邊距離相等的平面上，這里我們暫且將其稱為角平分面[3].利用二維到三維的類比，我們可以得到結論P點既在底面ABCD上，也在∠AA1C的角平分面上，那么P點就在兩個平面的交線上，因此選A.

2.3 其他的類比

例6（2022全國乙卷理科第9題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）.

A.13 B.12 C.33D.22

評析許多考生看到這題望而卻步，覺得條件太少，四棱錐的高和底面都在動，尤其連底面四邊形形狀都無法確定，第一眼就覺得運算量極大.但是只要靜下心來分析，不妨先假設高確定，思考底面是什么形狀時面積最大，由于四棱錐的底面與球面的交線是圓，所以四棱錐的底面是圓內接四邊形，若要四棱錐體積最大，則需要底面面積達到最大.此時可以展開聯想：周長為定值的矩形，當且僅當長寬相等時面積最大，圓內接矩形中也是正方形面積最大.由此可以通過直觀想象，結合解題經驗進行大膽的合情推理，底面圓內接四邊形或許也是正方形面積最大.后續我們再對其進行嚴格的證明，假設一個四棱錐的底面為ABCD，并且四邊形ABCD所在圓的半徑為r.同時假設四邊形ABCD的對角線夾角為α，則SABCD=12·AC·BD·sinα≤12·AC·BD≤12·2r·2r=2r2（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立），此時再設高為x，即可很容易表示出體積，進而借助導數求函數的最大值，即可得出答案為C.可以看出，直觀想象，合情推理起到了關鍵的“預測”作用，面對難題要敢于想象，大膽預測.

例7（2018年全國卷Ⅰ理科第12題）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（）.

A.334B.233C.324D.32

評析本題我們可以類比“過球心的平面截得圓面面積最大”，得出平面α必然過正方體的中心，再根據條件“每條棱所在直線與平面α所成的角都相等”，即可得到所求截面為正六邊形，從而順利得出答案為A.

3 結束語

波利亞曾說過：“一個認真把數學作為他終身事業的學生必須學習論證推理，而為了取得真正的成就必須合情推理[4].”在高中數學學習過程中，合情推理的重要性是毋庸置疑的，合情推理是將原有的知識體系進行有效的整合與創新，能培養學生的發散性思維.通過合情推理的考查，能幫助學生提升邏輯推理的數學核心素養.學生的創新能力想要得到提升，合情推理能力的培養需要放在首位.

參考文獻：

[1]史寧中.試論數學推理過程的邏輯性：兼論什么是有邏輯的推理[J].數學教育學報，2016（8）：1-16，46.

[2] 李桂春.例談合情推理在解題中的應用[J].高中數理化，2021（3）：21-23.

[3] 李錦標.運用合情推理巧解高考數學題[J].數學學習與研究，2013（11）：84

[4] G.波利亞.數學與猜想（第一卷）（第二卷）[M].北京：科學出版社，2001.

［責任編輯：李璟］