基于數學多元表征下的高中數學問題解決

馬建

摘要：本文基于數學多元表征下的主要三元表征數學圖形表征、數學符號表征、數學文字表征來解決難度較高的不等式整數解題目，提供兩大類別、五種解題方法，一題多解，拓寬學生的解題思路，提高學生的數學解題能力，并借助數學文字表征下的情景創新實例，總結此類問題的解決辦法.

關鍵詞：數形結合；文字表征；圖形表征；符號表征；分離參數

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）12-0030-05

本文以高三復習中出現的一道較難的考題作為例題，深入研究展示基于數學多元表征下的主要三元表征：數學圖形表征、數學符號表征、數學文字表征.同時用五大方法進行了分離函數和分離參數，充分體現數學解題中數形結合的重要思想，達到數形完美統一，學生思維得到了遷移，數學思維和轉化的能力得到提高.

1 數學多元表征

在數學教育領域中，雖然人們經常談到數學多元表征，卻并沒有統一的概念界定，但基本含義一致.歸納相關研究，本研究認為數學多元表征，是指將同一個數學學習對象用敘述性（言語化表征）和描繪性（視覺化表征）兩種本質不同的多種形式表征.這包括兩層含義：其一，在數學學習中，數學學習對象的表征至少出現敘述性表征和描繪性表征兩種本質不同的表征；其二，在數學學習中，數學學習對象的表征至少含有敘述性表征或描繪性表征的兩種或兩種以上的表征形式[1].

常見的數學多元表征有數學圖形表征、數學符號表征、數學文字表征、數學表格表征等形式.

2 數學圖形表征、符號表征、算法表征

2.1 選題概況

例1若不等式alnxx3+3x>2恰好有兩個整數解，則實數a的取值范圍是（）.

A.0，4ln2B.4ln2，40ln2

C.4ln2，27ln3D.27ln3，40ln2

（題目來源：廣東省中山市中山紀念中學2023屆高三年級上學期11月模擬考試）

試題分析：批閱完試卷后，閱卷系統統計出考試數據（如表1），發現本題的得分率比較低，有將近三分之一的同學作答錯誤.

本題主要考查利用導數研究函數，判斷不等式的整數解，在數學的圖形表征和符號表征下考查學生的分析問題、解決問題的能力，屬于較難題.

2.2 第一大類四種解決辦法（數學圖形表征的運用，不同形式的數形結合）

解法一分離出典型函數y=lnxx3，數形結合

設F（x）=lnxx3，g（x）=2-3x，則原不等式可化為：aF（x）>g（x）

接下來研究一下F（x）、g（x）的圖象和性質：

F′（x）=1x·x3-3x2·lnxx6=1-3lnxx4，F′（3e）=0

在（0，3e）上，F′（x）>0，F（x）單調遞增；在（3e，+∞）上，F′（x）<0，F（x）單調遞減；

所以，F（x）在x=3e時取得最大值，x→0時，F（x）→-∞；x→+∞時，F（x）→0.

F（x）、g（x）的圖象如圖1：

由圖象易知：當a≤0時，顯然不符合題意（含有無數個整數解），

所以，考慮a>0的情況：

不等式aF（x）>g（x）恰好有兩個整數解，顯然x=1，已經符合題意，且是第一個整數解，所以，x=2是第二個整數解，x=2之后的整數都不能符合題意，如圖2，

即：aF（2）>g（2）

aF（3）≤g（3）aln28>12

aln327≤1，解得：4ln2

解法二分離出典型函數y=lnxx2，數形結合

設F（x）=lnxx2，g（x）=2x-3，則原不等式可化為：aF（x）>g（x）.

接下來研究一下F（x）、g（x）的圖象和性質：

F′（x）=1x·x2-2x·lnxx4=1-2lnxx3，F′（e）=0，

在（0，e）上，F′（x）>0，F（x）單調遞增；在（e，+∞）上，F′（x）<0，F（x）單調遞減；

所以，F（x）在x=e時取得最大值，x→0時，F（x）→-∞；x→+∞時，F（x）→0.

F（x）、g（x）的圖象如圖3：

由圖象易知：當a≤0時，顯然不符合題意（含有無數個整數解），

所以，考慮a>0的情況：

不等式aF（x）>g（x）恰好有兩個整數解，顯然x=1，已經符合題意，且是第一個整數解，所以，x=2是第二個整數解，x=2之后的整數都不能符合題意，如圖4

即：aF（2）>g（2）

aF（3）≤g（3）aln24>1

aln39≤3，

解得：4ln2

解法三分離出典型函數y=lnxx，數形結合

設F（x）=lnxx，g（x）=2x2-3x，則原不等式可化為：aF（x）>g（x）.

接下來研究一下F（x）、g（x）的圖象和性質：

F′（x）=1x·x-lnxx2=1-lnxx2，F′（e）=0，

在（0，e）上，F′（x）>0，F（x）單調遞增；在（e，+∞）上，F′（x）<0，F（x）單調遞減；

所以，F（x）在x=e時取得最大值，x→0時，F（x）→-∞；x→+∞時，F（x）→0.

F（x）、g（x）的圖象如圖5：

由圖象易知：當a≤0時，顯然不符合題意（含有無數個整數解），

所以，考慮a>0的情況：

不等式aF（x）>g（x）恰好有兩個整數解，顯然x=1，已經符合題意，且是第一個整數解，所以，x=2是第二個整數解，x=2之后的整數都不能符合題意，如圖6.

即：aF（2）>g（2）

aF（3）≤g（3）aln22>2

aln33≤9，

解得：4ln2

解法四分離出基本函數y=lnx，數形結合

設F（x）=lnx，g（x）=2x3-3x2，則原不等式可化為：aF（x）>g（x）.

接下來研究一下F（x）、g（x）的圖象和性質：

F′（x）=1x，在（0，+∞）上，F′（x）>0，F（x）單調遞增；

g′（x）=6x（x-1），在（0，1）上，g′（x）<0，g（x）單調遞減，在（1，+∞）上，g′（x）>0，g（x）單調遞增，當x=1時g（x）取得最小值-1.

F（x）、g（x）的圖象如圖7：

由圖象易知：當a≤0時，顯然不符合題意（只有一個整數解）（如圖8），所以，考慮a>0的情況：

不等式aF（x）>g（x）恰好有兩個整數解，顯然x=1，已經符合題意，且是第一個整數解，所以，x=2是第二個整數解，x=2之后的整數都不能符合題意，如圖9.

即：aF（2）>g（2）

aF（3）≤g（3）aln2>4

aln3≤27，

解得：4ln2

這個問題的處理主要運用了數形結合思想方法.

數形結合思想，主要指的是數與形之間的一一對應關系，是數學符號表征和圖形表征相結合的具體體現.數形結合是將數學的抽象語言、數量關系和直觀圖形、位置關系結合在一起，通過抽象思維與形象思維的結合，讓復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而實現優化解題途徑的目的[2].

所以，以形助數、以數輔形的數形結合思想，可以讓問題更直觀地呈現，加深學生對知識的理解和應用，把復雜的代數問題賦予靈活的變通形式.在解答數學問題時，數形結合可以快速分析題中數量之間的關系，啟迪了思維，拓寬了思路，能讓學生迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題與解決問題的能力和思維遷移能力.

2.3 第二大類解決辦法（數學圖形符號表征的運用，分離參數構造函數）

解法五分離參數，構造函數

原不等式alnxx3+3x>2，x>0可化為：alnx>2x3-3x2.

因為題目中不等式alnxx3+3x>2恰好有兩個整數解，而x∈（0，+∞），

所以，x∈（0，1）不存在整數解，當x=1時得3>2顯然成立，符合題意，

所以第一個整數解為x=1，第二個整數解在（1，+∞）中產生.

當x>1時，lnx>0，所以，原不等式可化為a>2x3-3x2lnx，

設F（x）=2x3-3x2lnx，x>1，則：

F′（x）=6x（x-1）lnx-（2x2-3x）（lnx）2=6x（x-1）［lnx-2x-36（x-1）］（lnx）2，

記g（x）=lnx-2x-36（x-1），則

g? ?′（x）=1x-16（x-1）2=（3x-2）（2x-3）6x（x-1）2，

g? ?′（32）=0，在（1，32）上，g′（x）<0，g（x）單調遞減，在（32，+∞）上，g′（x）>0，g（x）單調遞增，當x=32時g（x）取得最小值，g（x）≥g（x）min=g（32）=ln32>0.

所以，F′（x）>0在（1，+∞）上恒成立，F（x）在（1，+∞）上單調遞增，

x→1時，F（x）→-∞；x=32時，F（x）=0；x=2時，F（x）=4ln2；x=3時，F（x）=27ln3.

因為第二個整數解在（1，+∞）中產生，所以，這個整數解只能是x=2，

所以4ln2

這個問題的處理主要是運用了分離參數的方法.

分離參數法：即將最值、值域、取值范圍、恒成立和存在性等問題的參數與未知量分離于表達式的兩端，整理成類似k=f（x）或k

例2古希臘哲學家畢達哥拉斯曾說過：“美的線型和其他一切美的形體都必須有對稱形式.”在中華傳統文化里，建筑、器物、書法、詩歌、對聯、繪畫幾乎無不講究對稱之美，如清代詩人黃柏權的《茶壺回文詩》（如圖10）以連環詩的形式展現，20個字繞著茶壺成一圓環，不論順著讀還是逆著讀，皆成佳作.數學與生活也有許多奇妙的聯系，如2020年02月02日20200202被稱為世界完全對稱日（公歷紀年日期中數字左右完全對稱的日期）.數學上把20200202這樣的對稱數叫回文數，兩位數的回文數共有9個（11，22，…，99），則共有多少個這樣的三位回文數（）.

A.64B.72C.80D.90

題目分析本題給出的題目內容特別多，有230個字左右，是數學文化知識和數學排列組合相結合的一道例題，學生拿到這題時第一感覺就是估計這道題是一道難題，光文字解釋就是這么多.這就需要同學們冷靜面對，把對解題有利的信息要加以篩選，重新用數學的文字表征來重塑這道題：把數字左右完全對稱（例如：20200202）的對稱數叫回文數，兩位數的回文數共有9個（11，22，…，99），則共有多少個這樣的三位回文數？

這樣學生就能夠明白：本題主要考查分類加法計數原理的應用.

解題的關鍵信息：三位回文數首尾要相同.

解析由題意，三位數的回文數以1為開頭和結尾的有10個（中間為0～9這10個數字）；此外有以2，3，…，9分別開頭和結尾的也都各有10個（中間為0～9這10個數字）；

由分類加法計數原理：綜上共有10+8×10=90個，故答案選D.

在作這樣的題目的時候，就要把外在文字表征轉換成內在的數學表征，清晰地用數學的知識做題.

例3埃拉托斯特尼是古希臘亞歷山大時期著名的地理學家，他最出名的工作是計算了地球（大圓）的周長.如圖11，在賽伊尼，夏至那天中午的太陽幾乎正在天頂方向（這是從日光直射進該處一井內而得到證明的）.同時在亞歷山大城（該處與賽伊尼幾乎在同一子午線上），其天頂方向與太陽光線的夾角測得為7.2°.因太陽距離地球很遠，故可把太陽光線看成是平行的.埃拉托斯特尼從商隊那里知道兩個城市間的實際距離大概是5 000斯塔蒂亞，按埃及的長度算，1斯塔蒂亞等于157.5米，則埃拉托斯特尼所測得地球的周長約為（）.

A.38 680千米B.39 375千米

C.41 200千米D.42 192千米

題目分析本題選自2022年的高三數學訓練題.對于地理學得比較好的同學來說，理解這道題是沒有問題的，但是對于地理不太好的學生來說，看到了地球的各種線，腦子里面就會亂成一團麻，再加上各種復雜的人名和地名，簡直沒法做.

閱讀題目后，需要從繁雜的題設中抽取有用信息，再進行加工：由平行光線的作用，得到圓心角也為7.2°，在地球的大圓上，兩個城市之間的距離實際為大圓上的一段弧長，接下來，求地球的周長幾乎就用不到高中的數學知識，利用比例關系就可以直接求出地球的周長了.實則考查比例的性質、圓的周長公式，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題.

解析由題意知，太陽光線互為平行線，則亞歷山大城、賽伊尼與地球中心所成角和天頂方向與太陽光線的夾角為同位角，則亞歷山大城、賽伊尼與地球中心所成角為7.2°，且亞歷山大城、賽伊尼間距離為5 000×157.5=787 500（米）=787.5千米，即亞歷山大城、賽伊尼與地球中心所成角的7.2°角所對的地球的大圓的弧長為787.5千米.所以根據比例關系，地球周長為787.57.2°×360°=39 375（千米），故答案選B.

近年來，文字閱讀型情境創新題在高考試卷中頻頻出現，這類根據材料提供的信息現場快速閱讀、理解和運用的新題型，知識背景較為寬廣，知識跨度大，包含的信息也較多，它綜合考查了考生的閱讀理解、數據處理、分析推理、文字概括和書面表達及知識遷移等諸多方面的能力.這就要求學生要有良好的閱讀習慣，從閱讀中發現信息，找到有用信息后進行歸納、抽象、概括并大膽地猜測、假設構建數學模型[4].

4 結束語

除了以上出現的幾個常見函數外，不妨看看下面這些函數的圖象，下面給出函數供研究和參考（圖12-圖17）：

4 結束語

本文主要基于數學圖形和符號表征，解決高三月考試卷中一道有難度的不等式整數解問題的題目，用了數形結合與分離參數這兩大類別的五種方法解決了問題，體現出數學學習的通性通法，也幫助學生拓廣了解題思路，提高學生的數學運算和解題能力.對于學生害怕的文字型情景創新題，要對它進行拋繁去雜，留下枝葉，轉化為課堂所學的知識和問題，再解決問題.

參考文獻：

[1]唐劍嵐.數學多元表征學習及教學[M].南京：南京師大出版社，2009.

[2] 吳有昌，鄭錦松.數形結合思想[J].中學數學教學參考，2018（22）：112-115.

[3] 王琳茹.分離參數法在解決與函數有關問題中的應用[J].科教導刊，2019（33）：202.

[4] 晏華東.高中數學“文字題”難得分原因分析及對策[J].中學數學，2022（15）：36-37，86.

［責任編輯：李璟］