高中物理力學中動態平衡問題的解法探析

陳梅宗

摘要：在高中物理學習中，力學的動態平衡問題是重要內容之一，該類題型的求解具有一定的挑戰性和復雜性.文章旨在探討高中物理力學中動態平衡問題的解題方法和應用，幫助學生更好地理解和掌握動態平衡問題的解題技巧.

關鍵詞：高中物理；力學；動態平衡

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）12-0107-03

動態平衡問題是物理學中的重要內容，它涉及物體在受力作用下的“靜止”運動狀態[1].在解決動態平衡問題時，我們常常會遇到以下三種常見類型：一力恒定，另一力方向不變；一力恒定，另兩力方向變化；“活結”[2].下面我們分別對這三種類型問題進行解析.

1 “一力恒定，另一力方向不變”動態平衡問題

例1如圖1所示，將一截面為1/4圓弧的柱狀物體A放置在粗糙的水平地面上，其左端和豎直墻緊密相接.在物體A和豎直墻之間，放置著一個光滑的圓球B.已知球B的半徑為A的圓半徑的1/3，球B所受到的重力為G，整個系統處于靜止的狀態.設B受到墻的支持力為F1，受到A施加的支持力為F2，某一時刻，將A沿著水平向右的方向，移動少許，裝置的狀態不發生變化，支持力F1、F2的變化情況為（? ）.

A．F1會增大B．F1會減小

C．F2會增大D．F2會減小

解析在變化過程中，重力G的大小和方向均不發生變化，即一力恒定.支持力F1的方向不發生變化，即另一力方向不變.選取球B為研究對象，對其進行受力分析，如圖2所示，球B在

重力G、支持力F1和支持力F2的共同作用下，維持靜止狀態，此時有F1＝Gtanθ，F2＝Gcosθ.當將A向右移動時，θ減小，則F1減小，F2減小，故B、D正確.

例2如圖3所示，水平地面上放置一傾斜角為α的斜面.在斜面上，有一個擋板和質量為m的小球，已知小球與擋板、斜面間均不存在摩擦.當斜面上的擋板繞著O點，以逆時針的方向開始緩慢轉動至水平位置的過程中，下列說法正確的是（）.

A．小球受到斜面對其施加的支持力會逐漸變大

B．小球受到斜面對其施加的支持力會逐漸變小

C．擋板施加給小球的彈力先增大，后減小

D．擋板施加給小球的彈力先減小，后增大

解析該題中重力是恒力，支持力的方向不發生變化.以小球為研究對象進行分析.先對小球進行受力分析，如圖4所示，小球受到重力mg、擋板對其的彈力FN2以及斜面的支持力FN1.在擋板緩慢轉動的過程中，小球處于靜止狀態，合力為0.根據平衡條件可知，此時擋板對小球的彈力FN2以及斜面對小球的支持力FN1的合力，與重力大小相等、方向相反.作出小球在不同位置的受力分析圖，如圖4所示，可以觀察到在變化過程中，斜面對小球施加的支持力會逐漸減小，擋板施加給小球的彈力則先減小后增大.當FN1和FN2垂直時，彈力減小至最小值，然后逐漸開始變大.因此答案為BD.

2 “一力恒定，另兩力方向均變化”的動態平衡問題

例3如圖5所示，ON是一根柔性的輕繩，在其中間某點懸掛一重物M，O點固定，手持N端.初始狀態時，OM保持豎直，且MN段被拉直，∠OMN為MN和OM之間的夾角，記作α且α＞π2.某一時刻，將重物沿著右上方的方向緩慢提起，并保證夾角α不發生任何變化，則在OM由豎直被緩慢拉至水平的過程中，以下說法正確的是（）.

A．MN上的張力逐漸增大

B．MN上的張力先增大后減小

C．OM上的張力逐漸增大

D．OM上的張力先增大后減小

解析以重物M為研究對象進行分析，其受力情況如圖6所示，受重力mg、OM繩上拉力F2、MN上拉力F1三個力的共同作用.根據題干，緩慢移動，即代表三個力的合力一直為0，可以構建矢量三角形完成分析過程.在將OM由豎直被緩慢拉至水平的過程中，拉力F2的方向由豎直變為水平，F1、F2的夾角π-α保持不變， 轉動過程中，矢量三角形在同一外接圓上，如圖6所示，動態變化過程中，MN上的張力F1會逐漸增大，OM上的張力F2會先增大，后減小，所以A、D正確.

例4如圖7所示，粗糙地面上放置有傾斜角為30°的斜面，斜面上有一物體A，其質量為2m，通過輕繩和光滑的定滑輪，與質量為m的物體B相連.O點為輕繩與滑輪之間的接觸點.開始時，在水平拉力F的作用下，輕繩的OB段和拉力的方向形成一個大小為120°的夾角，物體A和B的狀態均為靜止狀態.現改變力F，將小球B沿著右上方的方向緩慢移動，直至將OB段拉至水平.在該過程中，物體A仍處于靜止狀態，且OB段和拉力方向的夾角也不發生變化，下列說法錯誤的是 （）.

A.拉力F的最大值為F=233mg

B.拉力F一直在變大

C.繩子拉力T在不斷增大

D. A物體所受到的摩擦力，先變小后變大

解法一圖解法

以B為研究對象進行分析，其受到重力、拉力F和繩子拉力T三個力的作用，在三力的共同作用下，保持靜止狀態.因為拉力F和繩子拉力T的夾角不發生變化，可以構建矢量三角形，并借助輔助圓進行分析，如圖8所示.根據輔助圓可知，在緩慢移動過程中，拉力F的大小在不斷變大，繩子拉力T在不斷減小.根據受力平衡由圖可知，當最終OB段拉至水平狀態時，拉力F達到最大值，為F=mgcos30°=233mg.初始狀態時，此時拉力T最大，Tmax=mgcos30°=233mg＞2mgsin30°，摩擦力方向沿著斜面向下；最后停止緩慢移動時，此時拉力T最小，為Tmin=mgtan30°=33mg＜2mgsin30°，摩擦力方向沿斜面向上，摩擦力先變小后變大，答案為C.

解法二解析法

A選項，設OB段與水平面的夾角為α，根據題意知，θ=120°，且小球B受力平衡，則有

Fcos60°-α=Tcosα

Fsin60°-α+Tsinα=mg

求解得，F=233mgcosα，當α=0°時，拉力取得最大值，為F=233mg，因此A選項正確；B選項，α的取值范圍為0°≤α≤60°，且α是從60°逐漸減小到0°，則拉力F一直變大，故B正確；C選項，根據受力分析，繩子的拉力T滿足Fcos60°-α=Tcosα，所以T=233mgcos（60°-α）.初始狀態時，α=60°，此時拉力T最大，Tmax=233mg＞2mgsin30°.最后停止緩慢移動時，α=0°，此時拉力T最小，為Tmin=33mg＜2mgsin30°.選項C錯誤，選項D正確.

3 “活結”的動態平衡問題

例5如圖9所示，有一豎直的穹形支架，在其上掛著一根長度一定，不可伸長的輕繩.該輕繩通過輕質光滑動滑輪，懸掛一重物G.將繩子的一端固定在支架的A處，另一端從B點沿支架緩慢地向C點靠近（已知C點和A點是等高的）.則在此過程中繩子拉力大小（）.

A．繩子的拉力先變大后不變

B．繩子的拉力先變小后變大

C．繩子的拉力保持不變

D．繩子的拉力先變大后變小

解析以滑輪為研究對象進行分析，如圖10甲所示，滑輪受到重物對其的拉力和繩子兩部分的拉力.因為同一根繩子上的拉力大小相等，即F1＝F2.由幾何關系易知繩子拉力方向與豎直方向夾角相等，設為θ，則有：

F1＝F2＝mg2cosθ①

如圖10乙所示，設輕繩的長為L，根據幾何關系，有

sinθ＝dL②

其中d為兩端點間的水平距離，由B點向C點移動過程中，d先變大后不變，因此θ先變大后不變，由①式可知繩中拉力先變大后不變，故A正確.

4 結束語

文章基于 “一力恒定，另一力方向不變”“一力恒定，另兩力方向變化”“活結”三種常見類型，對動態平衡問題進行了解析.在求解過程中，需要靈活運用合力、分力概念及關系.解析法和圖解法均可以解答，但解析法的求解過程較為復雜，容易出現計算錯誤.如果是定性的動態平衡問題，圖解法更為合適，通過相似三角形、輔助圓等方法，即可快速完成求解過程；如果是定量類的動態平衡問題，選擇圖解法和解析法均可.在實際應用中，需要根據具體情況選擇合適的方法，以便更好地理解和解決動態平衡問題.

參考文獻：

[1]李婷.淺談高中物理力學中動態平衡問題的解決方法[J].高中數理化，2019（18）：41.

[2] 徐磊，侯慶騰.“活結類”動態平衡問題的分析方法[J].高中數理化，2018（20）：28.

［責任編輯：李璟］