問題解決模式下高中數學復習課教學

王智星

摘要：在高中數學復習課教學中，引入問題解決理念，嘗試搭建開放式問題學習和探究情境，從問題啟思、合作討論、追問溯源、回問總結中，可更好地幫助學生全面掌握數學知識點.

關鍵詞：高中數學；問題解決模式；復習課教學

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）12-0035-03

復習課，顧名思義是對所學章節知識點的再現與回顧，也是高中數學重要課型之一.對于復習課的設計，總體上聚焦章節內知識點的邏輯關系，幫助學生認識、理解數學思想和解題方法，升華學生數學學習能力[1].問題解決模式，最顯著特點是將“問題”作為課堂教學的主線，引領學生去發現問題、思考問題、探索問題、解決問題.依托問題解決模式教學，可以強化學生對數學問題的學習力、思維力和解題力.

1 問題的提出

問題解決模式是數學學科素養落地的有效途徑，能夠讓學生從問題解決中獲得必備品格和關鍵能力.高中數學學科，數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、數據分析、直觀想象等都是必備素養，而這些素養的獲得，可以通過問題解決教學模式來實現.

本節課程的教學設計以“直線與方程”復習課為例，引入問題解決模式.問題的選擇由學生提，解決思路的確定由學生想，解題方法由學生說.課堂由“四問”構成，即啟問、探問、追問、回問，依托問題情境，激活數學課堂.考慮到一節課課程容量的有限性，本節復習重點滲透“大單元”理念，從“直線”學習入手，探究與“直線”相關的解題方法，再延伸到對一般“曲線”的解題路徑.讓學生體認“坐標法”在解決幾何問題中的重要價值，感悟數形結合思想的運用.

2 案例呈現與教學過程分析

在對“直線與方程”章節復習課設計上，按照循序漸進的認知規律，將整個課程分為淺度開放、中度開放、深度開放三個環節，每一環節均由問題展開.通過問題來解釋本章節知識點，在問題解決中探究數學解題思路和方法，讓學生認識、掌握“坐標法”，并抓住高中數學解析幾何問題的解題精髓.

2.1 淺度開放設計環節

在課堂伊始，引出問題：對本節所學的直線，請回憶并思考，采用的是什么方法？在直角坐標系中，對于直線，需要通過兩個坐標點來確定.如圖1所示，點P的坐標為（1，2），有直線l經過點P，請思考，再增加一個條件，來確定并求出該直線l所對應的方程.顯然，復習課設計，教師所設定的問題，要指向本節主要知識點.對于“直線”的學習，認識直線的構成要素，了解直線方程及表示方法，分析直線與直線之間的關系，等等.

在本例中，有學生想到，可以增加“斜率”條件來確定直線l所對應的方程；有學生想到，可以增加“某一個點”的坐標，來確定直線l所對應的方程；還有學生想到，可以增加“截距”來確定直線l所對應的方程.斜率、點、截距，都是本節所涉及直線方程所要考慮的知識點.在課堂上，為了便于學生對相關問題完成解答，結合學生的回答分別給出相應條件，讓學生對照條件，來推導出直線l所對應的方法.

問題1：當增加的斜率為“2”時，則該直線方程如何表達？

問題2：當直線l同時經過點P（1，2）、點Q（3，0）時，直線方程如何表達？

問題3：當直線l在x軸、y軸上的截距相等時，直線方程如何表達？

問題1的解題思路：已知條件有點P坐標，還有斜率k，則根據直線方程表達式y=kx+b，代入方程求出b的值，則推導出該直線l所對應的方程；對于問題2：根據點P、點Q兩個點所對應的坐標，可以分別代入直線方程y=kx+b，求出k、b的值，即得到直線方程；對于問題3：給出的條件是經過點P的坐標，還有與x軸、y軸截距相等.在兩軸上，截距相等，可以有多種情形，而不同情形所對應的直線方程也不同.比如，當直線l過點P，并在第二象限與x軸、y軸截距相等時，可以計算出直線的斜率為“1”，還可以在第一象限、第四象限共計三種情形.可見，截距相等關系具有開放性，需要學生能夠打開思維，考慮多種情況下的直線方程.

最后，引出“回問”，從上述直線方程的求解中，請學生思考：表示直線方程有哪幾種形式？這些形式能否表示平面內的所有直線？直線方程之間能互化嗎？在組織學生對直線方程表達形式的討論后，對所復習的知識點進行綜合，借助思維導圖來厘清知識點之間的邏輯關系如圖2所示.

對直線方程的表達方式主要有三種，即點斜式、兩點式、一般式.考慮到特殊情況，對垂直于坐標軸的情形除外.點斜式中，還存在斜截式情形；兩點式中，還存在截距式.對于一般式，則可以表示平面內的所有直線.

2.2 中度開放設計環節

復習課上，對問題解決模式的應用，所設置的問題還要強調對學生問題意識、質疑精神的激發，讓學生能夠從問題解決中積累數學知識經驗.關于“直線與方程”章節的復習，引入變式問題，如圖3所示.

某直線l過點P（1，2），與x軸、y軸相交于A、B兩點.請思考，增加某一條件，來確定直線并求出直線l所對應的方程.問題的引出，要給予學生思考的時間.教師要適當啟發學生，聯系本章所學的知識點，翻閱教材，拓寬思路.對該問題的設計，意圖在于讓學生選擇恰當的方式來求解直線方程.題意中，直線的位置具有開放性，為學生討論、探究搭建了空間.對相關題型的回憶，有學生想到了“待定系數法”.將學習主動權交給學生，鼓勵學生展開交流、碰撞思維，突出“學中做”“做中學”.對方程思想的學習，有助于學生主動去發現、分析和解決問題.有學生根據題設已知條件，想到了三角形的周長、面積、線段PA=2PB、向量PA·PB等條件，讓一道題目變成了多道題目.

比如，結合圖3，當S△AOB=3時，求直線l所對應的方程.在解析中發現，當△AOB的面積為3，所得結果無解.有學生對“無解”感到疑惑，懷疑自己是不是解錯了.通過檢驗，之所以出現“無解”情形，主要是因為三角形的面積，與邊長有一定范圍有關.如果改變面積值，再對比有解的條件下，求出直線l所對應的方程.在這個過程中，對于三角形的面積，又適度延伸新的數學問題“最值問題”.

再如，某例題中，過點P（1，2）的直線l與x軸、y軸交于A、B兩點，當△AOB面積最小時，直線l所對應的方程是什么？針對條件△AOB面積最小，學生需要運用不等式來求解，最終得出直線方程為2x+y-4=0.對該題進行變式訓練，同樣過點P（1，2）的直線l，再給出l′所對應的方程為x+y-5=0.請思考，對這兩條直線，可以提出哪些問題？這一設計旨在轉變教學重點.前面所講內容，側重于對直線方程的求解方法，接下來，通過兩條直線方程，讓學生思考直線與直線之間的位置關系.在平面坐標系中有兩條直線，以提問的方式，帶領學生復習兩條直線的位置關系問題，進而滲透數形結合思想、方程思想，夯實學生的“四能”.

學生通過回顧，同一平面內，兩條直線的位置關系有三種，即平行、垂直、相交.對已知直線l與直線l′，前者的條件有過點P的坐標，后者有具體的直線方程.由此，學生對這兩條直線編寫問題如下：當直線l與l′平行時，直線l所對應的方程是什么？在解法上，兩條直線平行，則具有相同的“斜率”，可以根據l′的斜率，點P（1，2）的坐標，得到直線l方程.還可以編寫問題如下：當直線l與l′垂直時，直線l所對應的方程是什么？在解法上，兩條直線垂直，根據兩個斜率乘積之值為“-1”，可以據直線l′的斜率，得出直線l的斜率，進而求解出直線l的方程.還可以編寫問題如下：當直線l與l′相交時，求解直線l的斜率k的取值范圍.這一問題的設計具有開放性，兩直線相交，交點的位置有幾種情況？如果兩條直線的交點在第一象限，則直線l的斜率k取值范圍是多少？

2.3 深度開放設計環節

前面兩個環節所設計的問題，利用變式訓練為學生創設多種可能的解題空間.接下來，走向深度的開放題設計：某題中，已知點P（1，2），直線l′對應的方程為x+ty-5=0.據此，可以提出哪些問題？該題題設條件y項系數由“1”變成了“t”，將固定的直線變成了可動的直線.再對照點P的左邊，一個點與一條可變的直線之間，有學生想到了利用點到直線的距離來設置問題，也有學生想到了定點問題.這些問題，其設計較為簡單.比如，某直線l′，恒過某定點；或者，某直線l′，求點P到該直線的距離最大值.

教師通過啟發，讓學生從“代數”視角，再延伸新的問題.比如，在坐標系中，有直線l′，對應方程為x+ty-5=0，直線l，對應方程為tx-y-t+2=0.當這兩條直線相交于點Q，可以提出哪些問題？直線l′和直線l都變成了動線，由前面的“一動”過渡到“兩動”，讓學生運用直線的性質，來分析兩條可動直線之間的關系.顯然，對該題提出問題，難度較大，對兩條動態直線的討論，進一步提升學生的“四能”能力.如圖4中，直線l′與直線l相較于點Q，求△QAP的面積最大值.

據直線l′方程可知，該直線交x軸于點A（5，0）該點為恒定點.據直線l方程可知，該直線恒過定點P（1，2）.再對照圖形可知，兩直線始終處于垂直狀態.由此可得，兩直線垂直，則可以根據線段QA與QP的長度，得到△QAP的面積.再對該題進行變式訓練，當直線l′與直線l相交于點Q，求點Q的軌跡圖形是什么？

3 結束語

問題解決模式下的復習課教學，教師要對接“四基”和“四能”.借助章節主要知識點，通過問題變式設計，指導學生分析、思考、解決數學問題.

參考文獻：

［1］ 孫丙虎，葛勇.高中數學中“智慧課堂，問題解決”復習課教學模式探究[J].讀寫算，2020，1181（34）：111-112.

［責任編輯：李璟］